新高考数学二轮复习多选题高频考点讲练专题06 概率与统计（2份，原卷版+解析版）

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二、考点梳理
1.频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①eq \f(频率,组距)×组距＝频率．
②eq \f(频数,样本容量)＝频率，eq \f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于 .
2.频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积．
3.百分位数
（1）定义
一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值．
（2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据．
②计算．
③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数．
（3）四分位数
我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
4.样本的数字特征
（1）众数、中位数、平均数
①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平．
②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平．
③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：．
5.标准差和方差
（1）定义
①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差．
②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差．
（2）数据特征
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小．
（3）平均数、方差的性质
如果数据的平均数为，方差为，那么
①一组新数据的平均数为，方差是．
②一组新数据的平均数为，方差是．
③一组新数据的平均数为，方差是．
6.二项分布
（1）定义
一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，不发生的概率，那么事件恰好发生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二项式展开式
各对应项的值，称这样的离散型随机变量服从参数为，的二项分布，记作，并称为成功概率．
注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式．
（2）二项分布的期望、方差
若，则，．
7.超几何分布
（1）定义
在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件发生的概率为，，1，2，…，，其中，且，，，，，称分布列为超几何分布列．如果随机变量的分布列为超几何分布列，则称随机变量服从超几何分布．
8.正态分布
求正态变量在某区间内取值的概率的基本方法：
（1）根据题目中给出的条件确定与的值．
（2）将待求问题向，，这三个区间进行转化；
（3）利用在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
三、专项突破训练
题型一：统计
1．（2023·全国·校联考模拟预测）甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中，下列判断正确的是（ ）
A．甲城市日均气温的中位数与平均数相等
B．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定
C．乙城市日均气温的极差为
D．乙城市日均气温的众数为
【答案】AD
【分析】根据图表中的数据，计算平均值、极差、众数结合图形即得.
【详解】甲城市的气温分别为，，，，，，；
乙城市的气温分别为，，，，，，．
对于A，甲城市气温的中位数为；平均数为，故A正确；
对于B，根据折线图知乙城市的日均气温更稳定，故B错误；
对于C，乙城市日均气温的极差为，故C错误；
对于D，乙城市日均气温众数为，故D正确．
故选：AD．
2．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）如图是国家统计局公布的2021年5月至2021年12月的规模以上工业日均发电量的月度走势情况，则（ ）．
A．2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量呈现下降趋势
B．2021年5月至2021年12月，规模以上工业月度日均发电量的中位数为228
C．2021年11月，规模以上工业发电总量约为6758亿千瓦时
D．从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为
【答案】AD
【分析】根据柱状图，结合中位数的定义、古典概型运算公式逐一判断即可.
【详解】由图可知，2021年7月至2021年10月，规模以上工业月度日均发电量数据由大变小，故A正确；
将2021年5月至2021年12月的月度日均发电量的数据从小到大排序，第4个数为225，第5个数为228.7，则所求中位数为226.85，故B错误；
2021年11月，规模以上工业发电总量为亿千瓦时，故C错误；
从2021年5月至2021年12月中随机抽取2个月份，规模以上工业月度日均发电量都超过230亿千瓦时的概率为，故D正确．
故选：AD
3．（2023·山东·河北衡水中学统考一模）近年来，我国人口老龄化持续加剧，为改善人口结构，保障国民经济可持续发展，国家出台了一系列政策，如2016年起实施全面两孩生育政策，2021年起实施三孩生育政策等．根据下方的统计图，下列结论正确的是（ ）
2010至2022年我国新生儿数量折线图
A．2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万
B．2010至2022年每年新生儿数量的第一四分位数低于1400万
C．2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势
D．2010至2016年每年新生儿数量的方差大于2016至2022年每年新生儿数量的方差
【答案】AC
【详解】对于A，由折线图可知：2010至2022年每年新生儿数量13个数据中有2010至2018年的数量（9个）均高于1500万，3个数据低于1400万，根据数据之间的差距可得 2010至2022年每年新生儿数量的平均数高于1400万，故选项A正确；
对于B，由图可知共有13个数据，因为，所以第一四分位数是按照从小到大排列的数据的第4个数据，由折线图可知，第4个数据为2019年新生儿的数量，其值大于1400万，故选项B错误；
对于C，由折线图可知2015至2022年每年新生儿数量呈现先增加后下降的变化趋势，故选项C正确；
对于D，由折线图可知：2010至2016年每年新生儿数量的波动比2016至2022年每年新生儿数量的波动小，所以2010至2016年每年新生儿数量的方差小于2016至2022年每年新生儿数量的方差，故选项D错误，
故选：AC.
4．（2023·江苏·统考一模）新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.我国的新能源汽车发展开始于世纪初，近年来发展迅速，连续8年产销量位居世界第一.下面两图分别是年至年我国新能源汽车年产量和占比（占我国汽车年总产盘的比例）情况，则（ ）
A．年我国新能源汽车年产量逐年增加
B．年我国新能源汽车年产量的极差为万辆
C．年我国汽车年总产量超过万辆
D．年我国汽车年总产量低于年我国汽车年总产量
【答案】BCD
【分析】根据我国新能源汽车年产量图可判断AB选项；计算出、、这三年我国汽车年总产量，可判断CD选项.
【详解】对于A选项，由图可知，从年到年，我国新能源汽车年产量在下降，A错；
对于B选项，年我国新能源汽车年产量的极差为万辆，B对；
对于C选项，年我国汽车年总产量约为万辆，C对；
对于D选项，年我国汽车年总产量为万辆，
年我国汽车年总产量为万辆，
所以，年我国汽车年总产量低于年我国汽车年总产量，D对.
故选：BCD.
5．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2022年到该地旅游的游客中随机抽取10000位游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则（ ）
A．估计2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人占游客总人数的80%
B．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的游客占游客总人数的26.25%
C．估计2022年到该地旅游且选择自助游的游客中青年人超过一半
D．估计2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人比到该地旅游的老年人还要多
【答案】ABC
【分析】根据已知条件可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数的比例，即可判断.
【详解】设2022年到该地旅游的游客总人数为，
由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，
其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为，，，
所以2022年到该地旅游的游客中中年人和青年人的人数为，所以A正确；
因为2022年到该地旅游的游客选择自助游的人数，
所以B正确；
因为2022年到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以C正确；
因为2022年到该地旅游的游客中选择自助游的青年人的人数为，而到该地旅游的老年人的人数为，所以D错误．
故选：ABC.
6．（2023·湖南岳阳·统考二模）2022年6月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100名学生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，为进一步了解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间内的学生中抽取6人，再从这6人中先后抽取2人的成绩作分析，下列结论正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的
B．估计100名学生成绩的中位数是85
C．估计100名学生成绩的80%分位数是95
D．从6人中先后抽取2人作分析时，若先抽取的学生成绩位于，则后抽取的学生成绩在的概率是
【答案】AC
【分析】根据频率之和为1可判断A,根据中位数为面积在0.5的位置可判断B,根据百位数的计算可判断C，根据条件概率的计算公式可判断D.
【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1，可得，解得，故A正确；
对于B：全校学生成绩的中位数为，
故中位数位于之间，故中位数为，故B错误，
对于C：全校学生成绩的样本数据的分位数约为分，故C正确．
对于D：在被抽取的学生中，成绩在区间，和的学生人数之比为，故抽取了2人，中抽取了4人，先抽取的学生成绩位于，则第二次抽取时，是在5个人中抽取，而此时学生成绩在的个数有4个，故概率为，故D不正确，
故选：AC
7．（2023·全国·高三专题练习）在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A．考生竞赛成绩的平均分为72.5分
B．若60分以下视为不及格，则这次知识竞赛的及格率为80%
C．分数在区间内的频率为0.02
D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人．
【答案】AB
【分析】计算平均值得到A正确，计算及格率得到B正确，分数在区间内的频率为，C错误，区间应抽取人，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：平均成绩为，正确；
对选项B：及格率为，正确；
对选项C：分数在区间内的频率为，错误；
对选项D：区间应抽取人，错误.
故选：AB
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知两组样本数据和的均值和方差分别为，和，若且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】选项A，根据平均数公式和且即可判断；选项B利用公式计算即可；选项D分别写出，然后结合与即可.
【详解】因为，，
所以，
即，故A正确；
由
，
所以，B选项正确；
由，
，
又，
，
所以
所以，故D选项正确，C错误.
故选：ABD.
9．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）有一组样本数据，，…，，其平均数和方差分别为，．由这组数据得到一组新样本数据，，…，，其中，其平均数和方差分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的线性公式，即可求解.
【详解】由，有，，
所以有，.
故选：CD
10．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”．一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史．在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征．为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差．一组数据：）记其均值为，中位数为，标准差为，则（ ）
A．
B．
C．新数据：的标准差为
D．新数据：的标准差为
【答案】AD
【分析】利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项.
【详解】对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，
由中位数的定义可知，A对；
对于B选项，不妨令，则，B错；
对于C选项，数据的均值为，
方差为，
所以，数据的标准差为，C错；
对于D选项，数据的均值为
，
其方差为，
所以，新数据：的标准差为，D对.
故选：AD.
题型二：概率
11．（2023秋·河北保定·高三统考期末）某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是（ ）
A．两次讲座都在东礼堂的概率是
B．两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是
C．两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是
D．若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是
【答案】ABC
【分析】利用古典概型求概率的公式计算概率即可.
【详解】总的情况有种，两次讲座都在东礼堂有1种情况，所以的概率是，故A正确；
两次讲座安排在东、西礼堂各一场有第一次安排在东礼堂，第二次安排在西礼堂和第一次安排在西礼堂，第二次安排在东礼堂两种情况，所以概率是，故B正确；
两次讲座至少有一次安排在东礼堂的对立事件为两次讲座都安排在西礼堂，所以概率是，故C正确；
第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是，故D错.
故选：ABC.
12．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知甲袋内有a个红球，b个黑球，乙袋内有b个红球，a个黑球，从甲、乙两袋内各随机取出1个球，记事件“取出的2个球中恰有1个红球”，“取出的2个球都是红球”，“取出的2个球都是黑球”，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据古典概型的概率计算公式，结合独立事件概率的乘法公式，分别计算三个事件的概率，可得答案.
【详解】解：若取出的2个球为1个红球1个黑球，其概率，
若2个球都是红球，其概率，
若2个球都是黑球，其概率，且，
故B正确，C错误；
而，故A错误；
，D正确，
故选：BD．
13．（2023春·重庆·高三重庆市长寿中学校校考期末）一个袋中有大小､形状完全相同的3个小球，颜色分别为红､黄､蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（ ）
A．B．为互斥事件
C．D．相互独立
【答案】AC
【分析】结合随机事件的概率，及互斥事件、相互独立等知识点逐一对选项进行分析.
【详解】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D错误；
故选：AC.
14．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过X的最大整数，则（ ）
A．B．
C．事件“”与“”互斥D．事件“”与“”对立
【答案】AC
【分析】结合互斥事件和对立事件的定义，结合古典概型公式即可得出结论.
【详解】由题意，
6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．
∴共有36种可能的情况，其中的情况共有：，
∴，故A正确.
∵两次取球数字之和为5的情况有以下四种：，，，，
∴，故B错误.
当时，，
∴事件“”与“”互斥，故C正确.
∵当时，，
当，时，
∴事件“”与“”不对立，故D错误.
故选：AC.
15．（2023·全国·模拟预测）已知某签盒内有2支不同的礼物签、6支不同的问候签，某寝室8位室友不放回地从该签盒中依次抽签，直到2支礼物签都被取出．记事件Ai表示“第i次取出的是礼物签”，，则下列结论正确的是（ ）
A．A1和A2是互斥事件B．
C．A2与A5不相互独立D．
【答案】BCD
【分析】根据互斥事件的定义判断A选项根据题意计算，判断B选项根据题意计算，，利用相互独立事件及条件概率的计算公式判断C，D选项.
【详解】显然事件A1和事件A2可能同时发生，故A错误；
由题意知，故B正确；
，，
显然，A2与A5不相互独立，故C正确；
又，故D正确．
故选：BCD
16．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳市襄州区第一高级中学校考开学考试）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A．四名同学的报名情况共有种
B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种
C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D．
【答案】ACD
【分析】根据分步乘法计数原理可求得四名同学的报名情况的种数，判断A;根据古典概型的概率公式可判断；根据条件概率的概率公式，可判断D.
【详解】由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，
则共有种，A正确；
“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，
故此时报名情况有种，B错误；
“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，
报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，
故共有种报名情况，
则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；
事件A为“恰有两名同学所报项目相同 ”，有 种报名方法，
则 ，
事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，
若同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目，
则有种报名方法，则，
故 ，D正确，
故选：
17．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到，，，四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到学校的概率是
C．若学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到学校支教的前提下，学校有两名志愿者的概率是
【答案】ABD
【分析】先将5人分成4组，然后排入4所学校即可判断A；
分A学校只有一个人和A学校只有2个人，两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A学校的排法，再根据古典概型即可判断B；
先将A学校的两名志愿者排好，再将剩下的3名志愿者安排到其他3所学校即可判断C；
求出甲志愿者被安排到A学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可判断D.
【详解】甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，
则共有种安排方法，故A正确；
甲志愿者被安排到A学校，
若A学校只有一个人，则有种安排方法，
若A学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；
若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；
甲志愿者被安排到A学校有种安排方法，
在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确.
故选：ABD.
18．（2023·全国·高三专题练习）甲､乙两人拿两颗质地均匀的正方体骰子做抛掷游戏.规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第次由甲掷的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】求出两颗骰子的点数之和为两位数的概率，然后由与的关系列出递推关系式，用凑配法得等比数列，从而得出通项公式，再判断各选项．
【详解】两颗骰子的点数之和为两位数的概率为.
第次由甲掷有两种情况：
一是第次由甲掷，第次由甲掷，概率为；
二是第次由乙掷，第次由甲掷，概率为.
这两种情况是互斥的，所以，即，
所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以正确.
故选：AC．
19．（2022秋·江苏常州·高三统考期中）在棱长为1的正方体中，以8个顶点中的任意3个顶点作为顶点的三角形叫做K－三角形，12条棱中的任意2条叫做棱对，则（ ）
A．一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率为
B．一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率为
C．一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率为
D．一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率为
【答案】BCD
【分析】由条件求出K－三角形中的直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形，等边三角形的个数，利用古典概型概率公式判断A，B，再求平行的棱对数，及其中距离为棱对数，结合古典概型概率公式判断C，再求垂直的棱对数和异面且垂直的棱对数，利用古典概型概率公式判断D.
【详解】对于A，从8个顶点中的任取3个顶点构成的直角三角形共有个，其中等腰直角三角形有24个，所以一个K－三角形在它是直角三角形的条件下，它又是等腰直角三角形的概率，A错．
对于B，从8个顶点中的任取3个顶点构成的等腰三角形共有，其中的等边三角形有8个，一个K－三角形在它是等腰三角形的条件下，它又是等边三角形的概率，B正确．
对于C，相互平行的棱对有对，其中距离为的棱对有6对，一组棱对中两条棱所在直线在互相平行的条件下，它们的距离为的概率，C正确．
对于D，相互垂直的棱对有12×4＝48对，其中相互异面的棱对有12×2＝24对，故一组棱对中两条棱所在直线在互相垂直的条件下，它们异面的概率，D正确．
选：BCD．
20．（2022秋·山西阳泉·高三统考期末）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（ ）
A．B．一等奖与三等奖的作品数之比为
C．D．
【答案】ABD
【分析】依题意设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，即可表示男、女生获一、二、三等奖的作品数，再根据求出与的关系，从而一一判断即可.
【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，
则男生获一、二、三等奖的作品数为、、，
女生获一、二、三等奖的作品数为、、，
因为，所以，
所以，故A正确；
，故C错误；
一等奖与三等奖的作品数之比为，故B正确；
，故D正确；
故选：ABD
题型三：随机变量及其分布
21．（2023·福建莆田·统考二模）“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为X，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】A选项，由正态分布的对称性可知，A正确；B选项，由得到；C选项，求出和，得到大小关系；D选项，由二项分布计算出，利用对立事件概率公式求出.
【详解】A选项，由正态分布的对称性可知：，
故，A错误；
B选项，，故，B正确；
C选项，，，故，C错误；
D选项，因为，所以，
故，D正确.
故选：BD
22．（2022·全国·高三专题练习）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据随机变量服从两点分布推出，根据公式先计算出、，由此分别计算四个选项得出结果．
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D错误．
故选：AB．
23．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．时，
C．时，随着的增大而增大D．时，随着的增大而减小
【答案】ABC
【分析】选项A利用概率的基本性质即可，B选项由条件可知满足二项分布，利用二项分布进行分析，选项C，D根据题意把的表达式写出，然后利用单调性分析即可.
【详解】对于A选项，由概率的基本性质可知，，
故A正确，
对于B选项，由时，离散型随机变量服从二项分布，
则，
所以，
，
所以，故B正确，
对于C,D选项，，
当时，为正项且单调递增的数列，
故随着的增大而增大故选项C正确，
当时，为正负交替的摆动数列，
故选项D不正确.
故选：ABC.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量从二项分布，则（ ）
A．B．
C．D．最大时或501
【答案】AD
【分析】结合二项分布的性质，逐项计算，即可得到本题答案.
【详解】对A，，所以A对；
对B，因为，且，
所以，所以B错；
对C，因为，
所以，所以C错；
对D，因为，由组合数的性质得，最大时或501，所以D对.
故选：AD
25．（2023秋·河北唐山·高三统考期末）甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲手中的概率为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】结合全概率公式和递推数列等知识求得正确答案.
【详解】表示第次传球后球在甲手中的概率，所以，A选项正确.
表示第次传球后球在甲手中的概率，则，B选项错误.
，即，C选项正确.
，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
，D选项错误.
故选：AC
26．（2022秋·江苏徐州·高三期末）为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用“10合1混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一起检测．如果该采样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是安全的．否则，立即对该混采的10个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这10个人中的阳性者．某地区发现有输入性病例，需要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为p（每个人受感染的概率），则（ ）
A．该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为人
B．随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为次
C．该区采用“10合1混采检测”，需要重新采集单管拭子的平均人数为人
D．该区采用“10合1混采检测”比一人一检大约少用份检测试剂
【答案】BD
【分析】根据二项分布即可求解A，设随机变量表示这10个人一共所需的检验次数，求出所有取值和相应的概率，再求出的期望即可即可判断B,根据B选项可求解10万人采用“10合1混采检测”需要检测的次数，即可判断CD.
【详解】感染率为，没有感染的概率为，则为阴性的人数为,则 ，
所以核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为，故A错误，
感染率为，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量表示这10个人一共所需的检验次数，若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，；若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时，且，，
于是平均检测次数是，故B正确，
采用“10合1混采检测”，1管中需要重新采样的概率为，所以10万人中需要重新采集单管拭子的平均人数为人，故C错误，
采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：
，
即进行“10合1混采检测”方案，比“一人一检”方案少使用约份检测试剂,故D正确，
故选：BD
27．（2023·全国·高三专题练习）已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则（ ）
A．P(25.35