（预习）人教A版高二数学暑假自主学习讲义01 空间向量及其线性运算（2份，原卷版+解析版）

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1空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，用字母a、b 、c……表示，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
解释
(1) 空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示；
(2) 向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为|a|或|AB|；
(3) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；
(4) 向量具有平移不变性.
(5) 在空间，零向量、单位向量、相等向量、反向量与在平面的对应向量一样.
【例】下列说法中正确的是( )．
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．若|a|=|b|，则a与b的长度相等，方向相同或相反
D．若a与b是相反向量，则|a|=|b|
解析 对于A，单位向量的模相等，但是方向不一定一样，故A错；对于B，零向量与其反向量相等；对于C，|a|=|b|只能说明两向量的模相等，方向可以是多样的，故C错；对于D，相反向量的模是相等的，故D是正确的.故选D.
【练】给出下列命题：
①若空间向量a,b满足|a|=|b|，则a=b；
②若空间向量m,n,p满足m=n，n=p，则m=p；
③零向量没有方向；
④若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同．
其中假命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 对于①，向量方向不相同，则a≠b，故①错；对于②，空间向量也具有传递性，故②正确；对于③，零向量的方向是任意的，故③错；对于④，相等向量的起点与终点不一定相同，故④错.故选C.
2 运算
(1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图).

OA=OB+OC=a+b， CB=OB−OC=a−b， OP=λa (λ∈R)
(2) 运算律
① 加法交换律:a+b=b +a ；
② 加法结合律:(a+b)+c =a+(b +c)；
③ 数乘分配律:λ(a+b)=λ a+λb ；
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则.
PS 平行六面体法则:在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC1=AB+AD+AA1.
【例】已知空间四边形ABCD中，AB=a，CB=b，AD=c ，则CD等于( )．
A．a+b－c B．－a－b+c C．－a+b+c D．－a+b－c
解析 CD=CB+BA+AD=b−a+c=－a+b+c ，故选C.
【练】化简(AB−CD)−(AC−BD)．
解析 AB−CD−AC−BD=AB−CD−AC+BD=AB+DC+CA+BD=0.
3 共线向量
(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a平行于b ，记作a//b .
(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a ，b (b≠0 ) ， a// b⇒ 存在实数λ，使a=λb .
(3) 三点共线：A、B、C三点共线⇒AB=λ AC；
(4) 与a共线的单位向量为±aa.
【例】如图，在平行六面体ABCD−A'B'C'D'中，E,F分别是BD,BC'的中点，判断以下向量是否共线向量，若是，则判断是同向向量还是反向向量：①AB与D'C'； ②AD与BC'；
③EF与C'D；④AD'与C'B；
解析 ①AB=D'C'，AB与D'C'是同向向量；②AD与BC'是异面直线，AD与BC'不是共线向量；③EF//C'D且EF=12C'D，则EF=−12C'D，则EF与C'D是反向向量；
④AD'=−C'B，AD'与C'B是反向向量.
【练】已知向量a,b且AB=a+2b,BC=−5a+6b,CD=7a−2b，则一定共线的三点为( )．
A．A,B,D B．A,B,C C．B,C,D D．A,C,D
解析：因为BD=BC+CD=−5a+6b+7a−2b=2a+4b=2AB，
所以AB与BD共线，即A,B,D三点共线．
4 共面向量
(1) 定义
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.说明:空间任意的两向量都是共面的.
(2) 共面向量定理
如果两个向量a , b 不共线，p与向量a , b 共面的充要条件是存在唯一实数对(x , y)，使p=xa+yb .
(3) 四点共面
方法1 若要证明A、B、C、P四点共面，只需要证明AP,AB, AC共面，即AP=x AB+y AC.
方法2 若要证明A、B、C、P四点共面，只需要证明 OP=x OA+y OB+z OC (其中x+y+z=1)

证明 若x+y+z=1，
则OP=x OA+y OB+z OC=x OA+y OB+1−x−yOC
=OC+xOA−OC+yOB−OC=OC+xCA+yCB，
∴OP−OC=xCA+yCB，∴CP=xCA+yCB，
即CP,CA,CB共面，即A、B、C、P四点共面.
【例】在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．OM=OA−OB−OCB．OM=15OA+13OB+12OC
C．MA+MB+MC=0D．OM+OA+OB+OC=0
解：在C中，由MA+MB+MC=0，得MA=−MB−MC，则MA,MB,MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面；对于A，由OM=OA−OB−OC，得1－1－1=－1≠1，不能得出M、A、B、C四点共面；
对于B，由OM=15OA+13OB+12OC，得15+13+12≠1，所以M、A、B、C四点不共面；
对于D，由OM+OA+OB+OC=0，得OM=−(OA+OB+OC)，其系数和不为1，所以M、A、B、C四点不共面．故选：C．
【练1】下列说法中正确的是( )．
A．平面内的任意两个向量都共线 B．空间的任意三个向量都不共面
C．空间的任意两个向量都共面 D．空间的任意三个向量都共面
答案C
【练2】O为空间中任意一点，A,B,C三点不共线，且OP=34OA+18OB+tOC，若P,A,B,C四点共面，则实数t= ．
解：由题意得，OP=34OA+18OB+tOC，且P,A,B,C四点共面，∴34+18+t=1，∴t=18.
【题型一】空间向量的线性运算
【典题1】 在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，则EF等于( )
A．EF=12AC+12AB−23AD B．EF=−12AC−12AB+23AD
C．EF=12AC−12AB+23ADD．EF=−12AC+12AB−23AD
解析 在四面体ABCD中，点F在AD上，且AF=2FD，E为BC中点，
所以EF=AF−AE=23AD−12AB+12AC=−12AC−12AB+23AD．故选：B．
变式练习
1.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB+AD−CC1= （ ）
A．AC1B．A1CC．D1BD．DB1
答案 B
解析 ABCD−A1B1C1D1为平行四面体，∴AB+AD−CC1=DC+AD+C1C=AC+C1C=A1C1+C1C=A1C．故选：B．
2. 在空间四边形ABCD中，连结AC，BD．若△BCD是正三角形，且E为其中心，则AB+12BC−32DE−AD的化简结果为__________．
答案 0
解析 如图，延长DE交BC于点F，根据题意知F为BC的中点．
又因为E为正三角形BCD的中心，所以DE=23DF，即DF=32DE，
所以AB+12BC−32DE−AD=(AB−AD)+BF−32DE=DB+BF−DF=DF−DF=0．
3.如图，平行六面体A1B1C1D1−ABCD中，AM=12MC，A1N=2ND，设AB=a，AD=b，AA1=c，试用a，b，c表示MN．
答案 −13a+13b+13c
解析 MN=MC+CD+DN=23AC−AB+13DA1
=23AB+AD−AB+13DD1+D1A1=23AB+AD−AB+13AA1−AD
=−13AB+13AD+13AA1=−13a+13b+13c．
【题型二】 空间向量共线问题
【典题1】 对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P,A,B共线的是 （填序号）．
①OP=OA+tAB(t∈R,t≠0)；②5OP=OA+AB；
③OP=OA−tAB(t∈R,t≠0)；④OP=−OA+AB．
解析 对于①，∵OP=OA+tAB(t≠0)，
∴OP−OA=tAB(t≠0)，∴AP=tAB(t≠0)，∴点P、A、B共线，故①正确；
对于②，∵5OP=OA+AB，∴5OP=OB，∴OP,OB共线，∴P,O,B共线，点P,A,B不一定共线，故②错误；
对于③，∵OP=OA+AB(t≠0),∴OP−OA=−tAB(t≠0)，∴AP=−tAB(t≠0)，∴AP,AB共线，∴P,A,B共线，故③正确；
对于④，∵OP=−OA+AB，∴OP=−OA+OB−OA，∴OP=−2OA+OB,∴OP−OB=−2OA，
∴BP=−2OA，∴BP,OA平行或重合，故BP,OA平行时，点P,A,B不共线，故④错误．
故选：①③．
变式练习
1.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别是C1D1,AB的中点，E在AA1上且
AE=2EA1，F在CC1上且CF=12FC1，判断ME与NF是否共线？
答案 共线
解析 由已知可得：ME=MD1+D1A1+A1E=12BA+CB+13A1A=−NB+CB+13C1C=CN+FC=FN=−NF．所以ME=−NF，故ME与NF共线．
【题型三】空间向量共面问题
【典题1】 已知A,B,M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A,B,M是否共面．
（1）OB+OM=3OP−OA；（2）OP=4OA−OB−OM．
解析 （1）∵A,B,M三点不共线，故A,B,M三点共面，
又∵对于平面ABM外的任意一点O，若OB+OM=3OP−OA，则，
∵13+13+13=1，故点P与A,B,M共面，
（2）∵A,B,M三点不共线，故A,B,M三点共面，又对于平面ABM外任意一点，
若OP=4OA−OB−OM，则4−1−1=2≠1，故点P与A,B,M不共面．
变式练习
1.下列等式中，使点M与点A,B,C一定共面的是（ ）
A．MA+MB+MC=0B．OM=12OA+13OB+15OC
C．OM+OA+OB+OC=0D．OM=3OA−2OB−OC
答案 A
解析 对于A，由向量共面定理的推论知，A对；对于B，因为12+13+15≠1，所以B错，对于C，因为OM=−OA−OB−OC,−1−1−1≠1所以C错；对于D，因为3−2−1=0≠1，所以D错故选：A．
2.已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，用向量法证明：E,F,G,H四点共面．
证明 连结BG，如图所示，则EG=EB+BG=EB+BF+FG=EB+BF+12BD=EB+BF+EH=EF+EH，
由平面向量共面定理可知，EG,EF,EH共面且它们有公共点E，所以E,F,G,H四点共面．
3.如图所示，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN:NC=2，求证：A1,B,N,M四点共面．
证明：设AA1=a,AB=b,AD=c，则A1B=b−a，∵M为DD1的中点，∴A1M=c−12a，
又∵AN:NC=2，∴AN=23AC=23(b+c)，∴A1N=AN−AA1=23(b+c)−a=23(b−a)+23c−12a=23A1B+23A1M，∴A1N,A1B,A1M为共面向量，又三向量有相同的起点A1，∴A1,B,N,M四点共面．

【A组---基础题】
1.当a=|b|≠0，且a，b不共线时，a+b与a－b的关系是( )．
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
答案 A
解析 空间中任何两个向量都是共面向量，但不一定共线．
2.下面关于空间向量的说法正确的是( )．
A．若向量a，b平行，则a，b所在的直线平行
B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面
C．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB,CD不共面
D．若A，B，C，D四点不共面，则向量AB,AC,AD不共面
答案 D
解析 可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A不正确，可用反证法证明D是正确的．
3.已知三棱锥A－BCD中，E是BC的中点，则AE−12(AC+AD)=( )
A．BDB．DBC．12BDD．12DB
答案 D
解析 如图，取CD中点F，连结AF，EF，∵三棱锥A－BCD中，E是BC的中点，
∴AE−12(AC+AD)=AE−AF=FE=12DB．故选：D．
4.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若AB=a,AD=b,AA1=c，则与BM相等的向量是（ ）
A．12a+12b+cB．−12a+12b+cC．12a−12b+cD．−12a−12b+c
答案 B
解析 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，AB=a,AD=b,AA1=c
∴BM=BB1+B1M=AA1+12BD=AA1+12BA+BC=−12AB+12AD+AA1 =−12a+12b+c．故选：B．
5.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A．OM=OA−OB−OCB．OM=15OA+13OB+12OC
C．MA+MB+MC=0D．OM+OA+OB+OC=0
答案 C
解析 在C中，由MA+MB+MC=0，得MA=−MB−MC，则MA,MB,MC为共面向量，即M、A、B、C四点共面；对于A，由OM=OA−OB−OC，得1－1－1=－1≠1，不能得出M、A、B、C四点共面；
对于B，由OM=15OA+13OB+12OC，得15+13+12≠1，所以M、A、B、C四点不共面；
对于D，由OM+OA+OB+OC=0，得OM=−(OA+OB+OC)，其系数和不为1，所以M、A、B、C四点不共面．故选：C．
6.如图所示，已知空间四边形ABCD中，F为BC的中点，E为AD的中点，若EF=λ(AB+DC)，则λ＝______．
答案 12
解析 如图所示，取AC的中点G，连结EG，GF，
则EF=EG+GF=12(AB+DC).∴λ=12．
7.已知A,B,三点不共线，对平面ABC外一点O，给出下列表达式：2OM=xOA+yOB+13OC，其中x,y是实数，若点M与A,B,C四点共面，则x+y= ．
答案 53
解析 ∵2OM=xOA+yOB+13OC，∴OM=12xOA+12yOB+16OC，
∵点M,A,B,C四点共面，∴12x+12y+16=1,∴x+y=53．
8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2ED1，F在对角线A1C上，且A1F=23FC．若AB=a,AD=b,AA1=c．
（1）用a,b,c表示EB；（2）求证：E,F,B三点共线．
答案 （1）a−c−23b（2）略
解析 （1）EB=EA1+A1A+AB=23DA−AA1+AB=a−c−23b，
证明：（2）设AB=a,AD=b,AA1=c，
∵A1E=2ED1,A1F=23FC，∴A1E=23A1D1,A1F=25A1C，
∴A1E=23AD=23b，A1F=25AC−AA1=25AB+AD−AA1=25a+25b−25c，
∴EF=A1F−A1E=25a−415b−25c=25a−23b−c，
又∵由（1）知EB=a−23b−c，∴EF=25EB，且有公共点E，所以E,F,B三点共线．
【B组---提高题】
1.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足BE=34BB1，BF=12BC，BG=12BA，O是平面B1GF，平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设BO=xBG+yBF+zBE，则x+y+z=( )
A．45B．65C．75D．85
答案 B
解析 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，BE=34BB,BF=12BC,BG=12BA，
BO=xBG+yBF+zBE=12xBA+12yBC+zBE=xBG+yBF+34zBB1，
∵O，A，C，E四点共面，O，D，E，B1四点共面，
∴12x+12y+z=1x+y+34z=1，解得x+y=25，z=45；∴x+y+z=65．故选：B．
2.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接
PA、PB、PC、PD，设点E,F,G,H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．试用向量法证明E,F,G,H四点共面．
证明：分别延长PE,PF,PG、PH，交对边于M,N,Q,R点，
因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心，
所以M,N,Q,R为所在边的中点，
顺次连接M,N,Q,R得到的四边形为平行四边形，
且有PE=23PM,PF=23PN,PG=23PQ,PH=23PR；如图所示，
∴MQ=MN+MR=PN−PM+PR−PM
=32(PF−PE)+32(PH−PE)=32(EF+EH)；
又∵MQ=PQ−PM=32PG−32PE=32EG，
∴32EG=32(EF+EH)，∴EG=EF+EH
由共面向量定理知：E,F,G,H四点共面．