甘肃省嘉峪关市2025届九年级下学期开学摸底考试数学试卷(含解析)

这是一份甘肃省嘉峪关市2025届九年级下学期开学摸底考试数学试卷(含解析)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在如图所示的数轴上，“？”处对应的实数可能是（ ）
A．B．C．D．4
2．马扎是中国传统手工艺制品，腿交叉，上面绷帆布或麻绳等，可以合拢，方便携带，如图，已知，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．，则“？”是（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为．关于数据“”，下列说法正确的是（ ）
A．用科学记数法可表示为B．用科学记数法可表示为
C．该数是一个18位数D．该数是一个19位数
5．将一个正方体展开后可以得到六个拼在一起的正方形，图1是其中的四个，则剩余两个可能在图2中的（ ）
A．位置①和②处B．位置②和③处C．位置③和④处D．位置①和④处
6．若关于的不等式组的整数解共有个，则的值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．已知．若，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
8．综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了；使．图图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）
A．B．C．D．
9．淇淇的妈妈买了支牙刷和盒牙膏共花了元，一段时间后淇淇以同样的价格（牙刷和牙膏的单价保持不变）又买了支牙刷和盒牙膏共花了元，淇淇的妈妈看到淇淇的购物小票时，说：“记录单的总全额应该算错了”．下列判断正确的是（ ）
A．淇淇妈妈说的不对，总金额就是元B．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了元
C．淇淇妈妈说的对，淇淇少付了元D．淇淇妈妈说的对，淇淇多付了元
10．如图，背面图案，形状大小都相同的四张卡片的正面分别写有关于的方程的四个说法．现将卡片背面朝上，随机抽取一张，则抽到卡片上的说法正确的概率是（ ）
A．B．C．D．1
11．如图，嘉淇用绘图软件绘制曲线；，且与直线交于点，现将直线向上平移个单位长度得到直线，交曲线于点，交轴于点．若直线交轴于点，点与点恰好关于原点对称，则（ ）
A．B．2C．D．3
12．如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
13．珍珍爸爸收藏了一套巴黎奥运会纪念邮票，其中“游泳”版式的大版邮票由12枚“游泳”邮票组成，形状恰好是一个正方形，如图所示．若图中每枚“游泳”邮票的长为高米，则每枚“游念”邮票的宽可以用的式子表示为 毫米．
14．已知，其中为正整数，则 ．
15．如图，矩形的边，分别在轴和轴上，其中顶点的坐标为．若抛物线与矩形的边总有两个公共点，则的取值范围是 ．
16．某同学仿照图1手机相机快门打开过程中光圈大小的变化绘制了图2所示的图形，大的正六边形是由6个全等的四边形和一个小正六边形拼成，点恰好落在所在的直线上．经过测量已知，，则图中小正六边形的边长是 （结果保留根号）．
三、解答题
17．利用电脑办公程序可反复进行同一公式的计算．如图是表格设置运算的一部分，设置公式为“”，每行从左至右均按公式规则进行计算．例如，第一行（单元格“”）表示的算式及显示的结果为．
(1)求第二行“？”处（单元格“”）应显示的计算结果；
(2)要使第三行显示的计算结果（单元格“”处）为最小的正整数，求“■”处（单元格“”）应输入的数值．
18．观察下面习题的解答过程．
(1)解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程；
(2)若代入求值后的计算结果为3，求题目中被墨水遮住的的值．
19．某校园广播站计划招聘一批广播员，有19名学生报名参加选拔，报名的学生需参加普通话，情境表达，个人才艺三项测试，每项测试均由五位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再按普通话占，情境表达占，个人才艺占计算出每人的总评成绩，根据以下图表解答相关问题．
表1三项测试成绩和总评成绩统计表
表2个人才艺评委评分表
(1)根据表2的数据，淇淇的个人才艺评委评分的中位数是______分，众数是______分；
(2)请结合表1和表2的数据，计算淇淇的总评成绩；
(3)如图是参加选拔的19名学生总评成绩的频数直方图（不完整），该校园广播站根据总评成绩择优选拔9名广播员．
①补全图的总评成绩频数直方图；
②嘉嘉和淇淇能够成功人选的是______（填“嘉嘉”或“洪淇”或“嘉嘉和淇淇”）．
20．为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具．如图是自行车后轮及部分车架示意图，其中表示自行车后轮，，，为自行车车架，点，，均在上．已知与相切，与的延长线交于点，且，，与交于点，的半径为6．

(1)求的度数；
(2)求如图中阴影部分的面积．
21．如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，，直线经过点和点．
(1)当点与点重合时，求直线的解析式；
(2)已知点在线段上．
①当是整数时，直线就会发出红光，通过计算求出满足条件的的整数值，并在如图中直接画出此时直线的图象；
②若直线与轴交于点（不与点重合），直接写出面积的最大值．
22．如图，海上有一座小岛，一艘游艇在海中自东向西航行，游艇在A处测得小岛在北偏西方向，半小时后游艇到达离小岛处60海里的处，测得小岛在西北方向．（参考数据：，，）
(1)求游艇每小时航行多少海里？（结果保留整数）
(2)由于游艇在处突发故障，只能减速前行，于是立即以每小时30海里的速度沿北偏西方向航行，此航线记为，与此同时，在航线上处的救援船立即以每小时40海里的速度沿北偏东方向前往小岛取维修材料（救援船取维修材料的时间忽略不计），当游艇在航线上航行到离小岛最近的处时停下来等待，救援船取到维修材料后立即以原速沿最近的路线前往处．游艇到达处后，再过多少小时救援船能到达处？（结果精确到0.01）
23．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
24．如图1和图2，在平行四边形中，，，，点是上一点，且．点从点出发，沿折线运动，到终点停止，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设点在折线上运动的路径长为．
(1)当点恰好落在边上时，______；当点在边上运动时，长的最小值为______；
(2)①当时，点到的距离为______（用含的式子表示）；②当时，求点到的距离（用含的式子表示）；
(3)当射线恰好经过点时，如图3，求此时的长；
(4)连接，当恰好将线段分为的两部分时，请直接写出的值．
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点．
（2）以点为圆心，以长为半径画弧，与
（1）中的弧交于点，作射线．
（3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接．
题目：先化简，再求值：，其中解：原式……，
……，
……．
选手
测度成绩/分
总评
成绩/分
普通话
情境表达
个人才艺
嘉嘉
80
75
85
79.5
淇淇
86
80
▲
▲
选手
评委评分/分
平均数/分
嘉嘉
85，80，83，90，87
85
淇淇
85，84，84.5，84，87.5
▲
《甘肃省嘉峪关市2024——2025学年下学期开学摸底考试九年级数学试题》参考答案
1．B
解：，，
数轴上“？”处对应的实数是选项中的，
故选：B．
2．B
∵
∴
∵
∴．
故选：B．
3．C
解：依题意，
故选：C．
4．A
数据“”用科学记数法可表示为，故A正确，B错误；
该数是一个17位数，故C，D错误．
故选：A．
5．D
解：将一个正方体展开后可以得到六个拼在一起的正方形，图1是其中的四个，则剩余两个可能在图2中的位置①和④处，或位置②和④处，
故选：D．
6．C
解：，
由①得，，
∵关于的不等式组的整数解共有个，
∴，
∴的值可以是，
故选：C ．
7．A
，
，
，
即，
故选：A
8．B
由作图可得，，，
∴
∴在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是．
故选：B．
9．C
解：设每支牙刷元，每盒牙膏元．
根据淇淇妈妈的购买情况可列方程：，两边同时除以得到，
淇淇购买时可列花费表达式为，将其变形为，
把代入，可得（元）
淇淇实际花费元，（元），所以淇淇少付了元，淇淇妈妈说的对；
故选：C．
10．B
解：∵，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
若是原方程的两个根，则：，
∴说法正确的卡片有2张，
∴随机抽取一张，则抽到卡片上的说法正确的概率是；
故选B．
11．D
解：∵曲线；，且与直线交于点，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
∵直线向上平移个单位长度得到直线，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∵点与点恰好关于原点对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A为的中点，
设
根据中点坐标公式，得，
∴，
∴，
∵点B在上，
∴，
解得．
故选：D．
12．B
解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故选：．

13．
解：∵每枚“游泳”邮票的长为毫米，“游泳”版式的大版邮票由12枚“游泳”邮票组成，形状恰好是一个正方形，
∴正方形的边长为，
∴每枚“游泳”邮票的宽为（毫米）．
故答案为：．
14．4
解：∵，
∵，，
，
为正整数，
，
故答案为：4．
15．
解：抛物线的对称轴是轴，
当抛物线经过点时，抛物线与矩形只有一个交点，
点的坐标为，
点的坐标是，
把点代入，可得：，
当抛物线经过点时，抛物线与矩形只有一个交点，
点的坐标为，
点的坐标是，
把点代入，可得：，
解得：，
只有抛物线经过过或之间时，抛物线与矩形有两个交点，
的取值范围为．
故答案为：．
16．
解：设两个正六边形的中心为，连接，，，过作，，
由题意，得，
∴，
∵正六边形，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
由小正六边形得是正三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴在中，由勾股定理得
即，
解得：，
∴，
即小正六边形的边长为，
故答案为：．
17．(1)6；
(2)．
（1）解：由题意，得
，
∴第二行“？”处（单元格“”）应显示的计算结果为6；
（2）解：设“■”处应输入的数值为，最小的正整数为1，由题意，
得，解得，
∴“■”处（单元格“”）应输入的数值为．
18．(1)，见解析；
(2)2．
（1）解：，
正确的化简过程如下：
原式，
，
，
；
（2）解：原式的计算结果为，
，
解得，
经检验，是分式方程的解，
题目中被墨水遮住的的值为．
19．(1)，
(2)84分
(3)①见解析；②淇淇
（1）解：淇淇的个人才艺评委评分排在中间位置的是，所以中位数为；出现次数最多的是84，所以众数是84．
（2）解：淇淇的个人才艺评委评分的平均数为：
（分），
即淇淇的个人才艺成绩为85分，
∵（分）
∴淇淇的总评成㭥为84分；
（3）解：①C组的人数为：
（人），
补全直方如图：
②由总评成绩频数分布直方图可得：选拔9名广播员应在C：；D：内，而嘉嘉的总评成绩79.5分不在C、D范围内，淇淇的总评成绩84分在C、D范围内，
∴嘉嘉不能入选，淇淇入选．
20．(1)；
(2)．
（1）连接，
∵与⊙O相切于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在中，，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作于点，连接OC，如图；

∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴阴影部分的面积为．
21．(1)；
(2)①见解析；②8．
（1）解：将点，代入中，
，
解得：，
直线的解析式为；
（2）解：①当直线过点时，
即把代入，
得，
由（1）知直线，
过点时，，
当点在线段上时，，
的整数值是1；
此时函数的表达式为：，
直线的函数图象如下：
；
②令，则，
解得，
∴直线与轴的交点的坐标为，
∴的面积，
∵，
∴当，的面积有最大值，最大值为．
22．(1)62海里
(2)0.08小时
（1）解：过点作的垂线交延长线于点，
由题意可知：，，
在中，，，
，
在中，，
，
，
（海里）．
答：游艇每小时航行62海里．
（2）解：过点作于点．
由题意可知：，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
（小时）．
答：游艇到达处，再过0.08小时救援船就能到达处．
23．(1)
(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析
(3)这条钢架的长度为米
（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点，
设水滑道所在抛物线的解析式为，
将代入，得：，即，
，
水滑道所在抛物线的解析式为；
（2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米．
24．(1)4；；
(2)①；②；
(3)；
(4)或．
（1）解：①过点D作于点，
∴，
∴设，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
由旋转得：，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴当点在上时，，
∴；
②∵，
∴当时，最小，即最小，如图：
∵，
∴，
∴，
∴最小值为，
故答案为：4，；
（2）解：①当时，，而
∴点到的距离为；
②当时，如图：过点分别作的垂线，垂足分别为，则，
由题意得，此时，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：，；
（3）解：过点作交延长线于点，
则，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，而，
∴，
∴，
而，
∴，
由上得：，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∴由勾股定理得：；
（4）解：记与交于点O，构造如图辅助线（均是水平线，铅垂线）
①当时，由平行线分线段成比例定理得：，由上知，
∴，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，
∴
∴，
而，
∴ ，
∵， ，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②当时，构造如图辅助线（均是水平线，铅垂线）
同理可得： ，
解得：，
∴，
∴．
综上所述：或．