【数学】河北省秦皇岛市青龙满族自治县2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（解析版）

这是一份【数学】河北省秦皇岛市青龙满族自治县2024-2025学年高二上学期11月期中考试试题（解析版），共99页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 与曲线只有一个公共点，则实数范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，
当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，
当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，
如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，
由图知，当或，与曲线有1个交点，
故选：C
2. 已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（ ）．
A. 7B. C. 28D. 11
【答案】C
【解析】向量，，是一组单位向量，且两两垂直，
所以且．
因为，，
所以． 故选：C．
3. 已知椭圆一个焦点，离心率为，则椭圆的标准方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为椭圆一个焦点，所以椭圆的的焦点在横轴上，且，
又因为该椭圆的离心率为，所以有，
所以，因此椭圆的方程为：， 故选：D
4. 已知，，，若共面，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：因为共面，所以存在实数，使得，
所以所以，解得：
故选：D
5. 设抛物线的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆与轴相切，且切点为，则的方程为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】由题意知，，设点，线段的中点为，则，
由抛物线的定义知，①，，
因为以线段为直径的圆与轴相切于点，
，解得，
而，②，
由①②解得，或，所以，抛物线的方程为或． 故选：D．
6. 将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，若直线与曲线交于两点，且中点坐标为，那么直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，则设曲线上的点坐标为，故在上，故，即曲线方程为.设，则，，
利用点差法有，，
又中点坐标为，故，即，直线的斜率为.
故直线的方程为，化简可得. 故选：B
7. 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设圆柱的底面半径为，则，
所以圆柱的体积为，又球的体积为
所以球的体积与圆柱的体积的比
故选D
8. 已知为直角三角形，，点为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图建系，,
设，，，
则.
故选:A.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 过点且在，轴截距相等的直线方程为
B. 直线的纵截距是-2．
C. 直线的倾斜角为60°
D. 过点并且倾斜角为90°的直线方程为
【答案】BD
【解析】A：因为直线y=2x也过点且在，轴截距相等，故错误；
：对直线方程，令x=0，可得，则其纵截距为-2，故B正确；
C：直线的斜率，设其倾斜角为，
则，又，故该直线倾斜角为30°，故C错误；
D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确. 故选：.
10. 已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（ ）
A. 2B. -4C. 1D. -3
【答案】CD
【解析】由，得，取的中点，连接，如图，则.
由，得，则，
所以圆心到直线的距离，得或，故C、D正确.故选：CD.
11. 在四棱锥中，已知底面为正方形，平面、平面都与平面垂直，，点分别为的中点，点在棱上，则（ ）
A. 四边形BCTS为等腰梯形
B. 不存在点，使得∥平面
C. 存在点，使得
D. 点到两点距离和的最小值为
【答案】BC
【解析】因为平面、平面都与底面垂直，平面平面，所以平面．
选项A：如下图所示：
因为分别为的中点，故，又，所以，
故四边形为梯形，但，，
故四边形BCTS不是等腰梯形，故A错误．
选项B：连接，如下图：
因为平面与平面相交，而平面，且不会与平面和平面的交线平行，所以不存在点，使得平面，故B正确．
选项C：连接，设，易知为的中点，如下图所示，
当为的中点时，则，因为平面，所以平面．
又平面，所以．
因为四边形为正方形，所以．
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，故C正确．
选项D：易知，
将沿着展开，使与在同一个平面上，连接交于点，如图所示，
则由对称性可得，点到两点距离和的最小值为．
在中，其斜边上的高，所以，
所以D错误． 故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知直线和，若，则实数________．
【答案】1或
【解析】因为，所以，即，解得或．
故答案为：1或.
13. 如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于____.
【答案】
【解析】平面，则，
向量在上的投影向量为 故答案为：.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为________________.
【答案】
【解析】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，故，

故，当且仅当共线时取等号，
所以
，
当且仅当共线时取等号，而,
故的最小值为， 故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 二次函数与坐标轴交于三点，圆为的外接圆，斜率为1的直线与圆相交于不同两点，的中点为，为坐标原点，且.
（1）求圆的方程；
（2）求直线的方程.
解：（1）令 ，得，令得，
由题设知：，设圆心为，则，
∵，弦的中点为，
∴弦BC的垂直平分线的方程为： ，
由得圆心为，
，圆的方程为： ；
（2）设，直线，
∵，即，
则，即，
得，
，∴，
代入中得：， ∴，
直线方程为：
16. 在正四棱柱中，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：以所在直线为 轴，以所在直线为 轴，以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系
则有，，，，，
所以，，，；
， ， ，
又 ，平面
解：（2）由（1）知，平面的法向量为，易知，
设直线与平面所成角为，则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知椭圆过点，离心率为.直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的斜率.
解：（1）依题意，解得，故椭圆的方程为.
（2）依题意，联立方程组:，消去整理得，，
故，因为，所以，
所以，，即；
所以，即，得.
18. 2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，与圆柱底面相切于，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且已知圆柱底面半径为2，.
（1）线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出的长；若不存在请说明理由.
（2）如图2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值.
解：（1）依题意，由对称性知，平面，
由线段为圆柱的母线，得平面，而平面，则，
又平面，则平面，平面，
则，要使平面，只需，则，
在直角梯形中，，
点在线段上，且，则点到直线距离，
点到直线的距离，则，
，
因此，而，所以存在符合条件的点，.
（2）
以平面为参照面，令平面与圆交于，点在圆上，在圆上运动，到达点，设，在圆所在平面内过作于，
由平面垂直于圆所在平面，则平面，连，则为直线与平面所成角，
由图知，的正弦值最大时，，，
在直角梯形中，，
，
，设，
，
当且仅当，即时取等号，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为，所以，于.
设椭圆上任一点，椭圆方程为，，=
①当，即时，（此时舍去；
②当即时，
综上椭圆C方程为．
（2）圆心到直线的距离为，弦长，
所以的面积为
点,
当时，由得
综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为.