河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题含答案

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青龙一中2025-2026学年第一学期高二年级9月考试试卷
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每个小题只有一个选项符合题目要求
1. 已知平面向量，，若，则（ ）
A. -9B. -4C. 4D. 9
2. 在复平面内，i为虚数单位，若复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度人均碳排放强度（单位：吨/人·年）后，得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的分位数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 12
4. 若m，n为两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，则
5. 已知直角梯形的上底长为1，下底长为2，高为，则直角梯形绕下底所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在棱长为2的正四面体中，点D为边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之积是偶数”，“至少有一颗骰子的点数为5”，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 体育教学是学校开展素质教育不可缺少重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用．某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛．甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下：
记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，对任意的非零实数和，则
B. 若，，则向量，的夹角为钝角
C. 若，，且和的夹角为，则
D. 若点在同一平面内，且，则三点共线
11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ）

A. 存在点使得平面
B. 直线与平面所成角正弦值为
C. 的最小值为
D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为
三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分）
12. 已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生近视情况，准备抽取320人进行调查，则按比例分配的分层抽样应该抽取高中生______人.
13. 甲､乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是，这道题被解出（至少有一人解出来）的概率是__________.
14. 在平面四边形中，，，，若为边BC上一动点，当取最小值时，的值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 知向量，
（1）若，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
16. 遂宁市为进一步发展遂宁文旅，提升遂宁经济，现对“五一”假期部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中.
（1）求图中的值，并估计此次调查中综合满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）求此次调查综合满意度的第75百分位数
（3）若参与本次调查游客共有2000名，请估计在参与调查的2000名游客中综合满意度打分不低于平均分的人数.
17. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，E，F分别为，中点．

（1）求证：直线∥平面；
（2）若，求侧面与侧面所成角的余弦值．
18. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面.
（1）证明：平面
（2）求证：平面平面
（3）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正切值.同学
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
甲（投中个数）
6
7
5
6
4
3
8
9
乙（投中个数）
8
4
6
7
6
5
7
5