2024—2025学年度河北省秦皇岛市青龙满族自治县高二上学期11月（期中）数学试题[含解析]

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1．直线 与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（ ）．
A．7B．C．28D．11
3．已知椭圆一个焦点，离心率为，则椭圆的标准方程（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，，，若共面，则实数等于（ ）
A．B．C．D．
5．设抛物线的焦点为，点在上，，若以线段为直径的圆与轴相切，且切点为，则的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
6．将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，若直线与曲线交于两点，且中点坐标为，那么直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知为直角三角形，，点为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．过点且在，轴截距相等的直线方程为
B．直线的纵截距是．
C．直线的倾斜角为60°
D．过点并且倾斜角为90°的直线方程为
10．已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（ ）
A．2B．-4C．1D．-3
11．在四棱锥中，已知底面为正方形，平面、平面都与平面垂直，，点分别为的中点，点在棱上，则（ ）
A．四边形BCTS为等腰梯形
B．不存在点，使得∥平面
C．存在点，使得
D．点到两点的距离和的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线和，若，则实数 ．
13．如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 .
14．已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．二次函数与坐标轴交于三点，圆为的外接圆，斜率为1的直线与圆相交于不同两点，的中点为，为坐标原点，且.
（1）求圆的方程；
（2）求直线的方程.
16．在正四棱柱中，为的中点.
(1)求证:平面.
(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值，
17．已知椭圆过点，离心率为.直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求直线的斜率.
18．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接，这是中国航天史上的又一里程碑.如图1，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，与圆柱底切于，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线.点为线段中点，点在线段上，且已知圆柱底面半径为2，.
(1)线段上是否存在一点使得平面，若存在，求出的长；若不存在请说明理由.
(2)如图2，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图.天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线.核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形.已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，.在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距离保持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在椭圆上，是否存在点，使得直线：与圆：相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】C
【分析】确定直线恒过定点，确定曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，由直线与圆位置关系解决即可.
【详解】由题知，直线 恒过定点，曲线表示圆心为，半径为1，且位于直线右侧的半圆，包括点，
当直线经过点时，与曲线有2个交点，此时，不满足题意，直线记为，
当直线经过点时，与曲线有1个交点，此时，满足题意，直线记为，
如图，当直线与半圆相切时，由，解得，直线记为，
由图知，当或，与曲线有1个交点.
故选C.
2．【正确答案】C
【分析】
由向量，，是一组单位向量，且两两垂直，得且，然后利用向量的数量积的运算性质求解
【详解】
向量，，是一组单位向量，且两两垂直，
所以且．
因为，，
所以．
故选：C．
此题考查平面向量的数量积运算性质的应用，属于基础题
3．【正确答案】D
【详解】因为椭圆一个焦点，所以椭圆的的焦点在横轴上，且，
又因为该椭圆的离心率为，所以有，
所以，因此椭圆的方程为：，
故选：D
4．【正确答案】D
【分析】
利用共面向量基本定理列坐标关系，求解即可.
【详解】
解：因为共面，所以存在实数，使得，
所以
所以，解得：
故选：D
5．【正确答案】D
【详解】由题意知，，设点，线段的中点为，则，
由抛物线的定义知，①，，
因为以线段为直径的圆与轴相切于点，
，解得，
而，②，
由①②解得，或，所以，抛物线的方程为或．
故选：D．
6．【正确答案】B
【详解】将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，则设曲线上的点坐标为，
故在上，故，即曲线方程为.
设，则，，
利用点差法有，，
又中点坐标为，故，
即，直线的斜率为.
故直线的方程为，化简可得.
故选：B
7．【正确答案】D
【详解】设圆柱的底面半径为，则，
所以圆柱的体积为，
又球的体积为
所以球的体积与圆柱的体积的比
故选D
8．【正确答案】A
【详解】如图建系，,
设，，，
则
.
故选:A.
9．【正确答案】BD
【分析】根据直线的截距的定义，倾斜角和斜率的关系，结合直线的方程，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】A：因为直线也过点且在，轴截距相等，故错误；
：对直线方程，令，可得，则其纵截距为，故B正确；
C：直线的斜率，设其倾斜角为，
则，又，故该直线的倾斜角为，故C错误；
D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确.
故选.
10．【正确答案】CD
【详解】由，得，取的中点，连接，如图，
则.
由，得，则，
所以圆心到直线的距离，得或，故C、D正确.
故选CD.
11．【正确答案】BC
【详解】因为平面、平面都与底面垂直，平面平面，所以平面．
选项A：如下图所示：
因为分别为的中点，故，又，所以，
故四边形为梯形，
但，，故四边形BCTS不是等腰梯形，故A错误．
选项B：连接，如下图：
因为平面与平交，而平面，且不会与平面和平面的交线平行，
所以不存在点，使得平面，故B正确．
选项C：连接，设，易知为的中点，如下图所示，
当为的中点时，则，
因为平面，所以平面．
又平面，所以．
因为四边形为正方形，所以．
因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，故C正确．
选项D：易知，
将沿着展开，使与在同一个平面上，连接交于点，如图所示，
则由对称性可得，点到两点的距离和的最小值为．
在中，其斜边上的高，所以，
所以D错误．
故选：BC.
12．【正确答案】1或
【详解】因为，所以，
即，解得或．
故1或.
13．【正确答案】
【详解】平面，
则，
向量在上的投影向量为
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，
故，

故，当且仅当共线时取等号，
所以
，
当且仅当共线时取等号，
而,
故的最小值为.
15．【正确答案】（1）；（2）
【详解】（1）令 ，得，令得，
由题设知：，设圆心为，则，
∵，弦的中点为，
∴弦BC的垂直平分线的方程为： ，
由得圆心为，
，
圆的方程为： ；
（2）设，直线，
∵，即，
则，即，
得，
，
∴，
代入中得：， ∴，
直线方程为：
16．【正确答案】(1)详见解析.
(2)
【分析】（1）连接AC与BD交于点O，根据E，O为中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，分别求得的坐标和平面的一个法向量，再由.
【详解】（1）证明：如图所示：
连接AC与BD交于点O，
因为E，O为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即 ，
令，得，则，
设直线与平面所成的角为，
则.
17．【正确答案】（1）（2）
（1）由椭圆过点，离心率为，列出关于的方程组，可得椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆，消去整理可得的值，由，可得，代入可得关于的方程，可得答案.
【详解】解：（1）依题意，解得，
故椭圆的方程为.
（2）依题意，联立方程组:，
消去整理得，，故，
因为，所以，
所以，，即；
所以，即，得.
18．【正确答案】(1)存在，；
(2).
【详解】（1）依题意，由对称性知，平面，
由线段为圆柱的母线，得平面，而平面，则，
又平面，则平面，平面，
则，要使平面，只需，则，
在直角梯形中，，
点在线段上，且，则点到直线距离，
点到直线的距离，则，
，
因此，而，所以存在符合条件的点，.
（2）
以平面为参照面，令平面与圆交于，点在圆上，
在圆上运动，到达点，设，
在圆所在平面内过作于，由平面垂直于圆所在平面，
则平面，连，则为直线与平面所成角，
由图知，的正弦值最大时，，，
在直角梯形中，，
，
，设，
，
当且仅当，即时取等号，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
19．【正确答案】（1）；（2）存在，M的坐标为、、、，最大值为．
【详解】试题分析：（1）离心率，得到，即此时椭圆方程为，设椭圆上的点为P，
两点间的距离等于3，可得到b=1，所以可求得椭圆方程；（2）在解析几何中，三角形的面积公式通常有两种计算方式，，，本题由于没有给出角度的关系，所以采用第一种方法．通过联立方程即可得到M的坐标．
试题解析：（Ⅰ）因为，所以，于是.
设椭圆上任一点，椭圆方程为，，=
①当，即时，（此时舍去；
②当即时，
综上椭圆C的方程为．
（Ⅱ）圆心到直线的距离为，弦长，所以的面积为
点,
当时，由得
综上所述，椭圆上存在四个点、、、，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，且最大值为.
考点：直线与椭圆的位置关系