第08讲 勾股定理的探究-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）（原卷版+解析版）

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知识点1 勾股定理的发现
1.如图，若将每个小正方形的面积看作1，以B′C′为边的正方形的面积是9，以A′C′为边的正方形的面积是16，那以A′B′的面积为多少呢？25
2.如图一，使用的方法是？如图二，使用的方法是？
图一的方法是拼补法；图二是分割法。

图一 图二
3.上图求完后，可以发现三个正方形的面积关系是？
两个小正方形的面积相加=大正方形的面积
而由于正方形的面积公式为边长²，所以可以得出B′C′²+A′C′²=A′B′²。
因此，直角三角形的斜边、直角边有如下关系：
直角三角形两个直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，这个定理称为勾股定理。也称为毕达哥拉斯定理。在古代我们把较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。因此有了勾三股四弦五的结论。
几何语言：∵∠C=90°∴a²+b²=c²
注：在使用勾股定理的时候，可以灵活运用公式，，，
知识点2 勾股定理的证明
图一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
证明： ，所以．
证明名称：邹元治证明
图二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
证明： ，所以．

证明名称：赵爽弦图
图三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．

证明： ，所以．
证明名称：1876年美国总统伽菲尔德证明
图四：如图（4）所示
证明：证▲ACI≌▲ADB，由同底等高可以得出
，由，得出
同理可得，，所以AB²+BC²=AC²
（4）
证明名称：欧几里得证明

考点一、勾股定理解三角形
1．已知一个直角三角形，两直角边的平方和为400，则斜边长为（ ）
A．10B．20C．30D．40
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．直接根据勾股定理得到，根据题意计算，得到答案．
【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，
由勾股定理得：，
由题意得：，
∴，
∴，即斜边长为．
故选：B．
2．在中，，，，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴．
故答案为：4．
3．已知在中，，求的长．
【答案】
【分析】
利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴由勾股定理得．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键．
考点二、勾股定理与无理数
1．如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度．
【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度，
以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P，
所以数轴上的点P表示的数为：．
故选：C．
2．如图，，，若数轴上点所表示的数为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是求出，根据勾股定理求出，即可得a的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
3．如何在数轴上作出表示的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数即为．参照上述方法，在图2的数轴上画出表示的点，并说明该点表示的数是．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，由勾股定理求出的长是解题的关键．
【详解】解：在数轴上找出表示与的点，分别记为点A与点C，作，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数即为．
∵，
∴，
∵点位于点A的左侧，
∴点表示的数是．
考点三、勾股定理与网格问题
1．如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，的对称轴经过格点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理，得，根据线段的垂直平分线性质解答即可．
本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设小正方形的边长为1，根据勾股定理，得，
，
故是的垂直平分线，也是等腰三角形的对称轴，
，不在的垂直平分线上，
同理可证，，都不在的垂直平分线上，
故选：C．
2．如图，数轴上点表示的数为是的正方形网格上的格点（网格线的交点），以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于，两点，则点表示的数为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案．
【详解】解：∵轴，
∴，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴N点所表示的数为：．
故答案为：．
3．如图，在网格中，小正方形的边长为，已知格点（网格线的交点）线段．
(1)线段的长为______；
(2)画格点，使是等腰三角形，且是钝角；
(3)画格点，使．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)见详解
【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）因为是等腰三角形，且是钝角，进行作图即可；
（3）结合网格特征，运用证明，得出，，因为，故，则，故是等腰直角三角形，即．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：等腰三角形如图所示：
（3）解：如图所示．
考点四、勾股定理与折叠问题
1．如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理与折叠的问题．
【详解】解：设，由折叠可知：，
在中，
，
故选：A．
2．如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可．
【详解】解：设，则，
四边形是长方形，
，，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得，即，
解得：，即线段的长为，
故答案为：．
3．如图，直角三角形中，，，是的上的一点，若将沿折叠，点恰好落在所在直线上点处．
(1)求边的长；
(2)求的长；
(3)在所在直线上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】(1)10
(2)
(3)或或或
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质：
（1）直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）折叠的性质，得到，，设，在中利用勾股定理，进行求解即可；
（3）分，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：直角三角形中，，，
∴；
（2）∵折叠，
∴，，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：；
∴；
（3）由（2）可知：；
当点、、为顶点的三角形是等腰三角形时：
①当时：
则：；
②当时：
则：，或
③当时：
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴；
综上：或或或．
考点五、赵爽弦图
1．如图是由个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．若，，则直角的面积为（ ）
A．7B．7.2C．7.5D．8
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式的意义；设，根据题意以及勾股定理可得，，根据完全平方公式变形可得，代入数据求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设
依题意，，
∴
∴
∴
直角的面积为，
故选：A．
2．如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该图形是由四个全等的直角三角形（阴影部分）与中间的空白部分组成．若正方形的边长为，五边形的面积是，则图中空白部分的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，用五边形的面积减去正方形的面积求出两个全等的直角三角形的面积，进而即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：∵正方形的边长为，
∴正方形的面积为，
∴两个全等的直角三角形的面积五边形的面积正方形的面积，
∴图中空白部分的面积正方形的面积两个全等的直角三角形的面积，
故答案为：．
3．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：
(1)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是 ；
(2)如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？
(3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的值．
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合．
（1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可；
（2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证；
（3）在和中，根据勾股定理可得出，即可求解．
【详解】（1）解：设斜边的长为，
由题意，得：，，
，
，
小正方形的面积为：；
（2）解：图形的总面积可以表示为或，
，
；
（3）解：在中，，
在中，，
，
解得．
考点六、勾股定理的证明
1．【材料学习】
在勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1、图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律．
【问题解决】
（1）材料中的方法体现的数学思想是______；
A.函数思想 B.分类讨论思想 C.数形结合思想 D.整体思想
（2）如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，也能证明勾股定理，请你写出证明过程；
【灵活应用】
（3）如图，在四边形中，，过点作交于点，连接．若.，，求的长度（结果保留根号）．
【答案】（1）C；（2）见解析；（3）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的证明，解本题的关键是掌握勾股定理．
（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想；
（2）根据两种方式表示出直角梯形，即可证明勾股定理；
（3）根据平行线的性质得到，求得，得到，过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，再根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为： C；
（2）如图，
∵
∴
又

∴
∴，
∴．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
在和中，
，
∴，
解得：
2．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，求图中阴影部分的面积．
【答案】．
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，利用三角形面积公式表示出阴影面积即可得答案．
【详解】解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，
∴，，，
∴，，，，
∵，，，
∴阴影部分的面积
，
∵，
∴阴影部分的面积．
3．为了求出湖两岸，两点之间的距离，观测者小林在点设桩，使恰好为直角三角形，如图所示，通过测量得长为，长为，请求出图中、两点之间的距离．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的形式．在中，利用勾股定理求出即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，，，
在中，．
答：点到点的距离为．
知识导图记忆
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形面积公式，三角形面积公式以及梯形面积公式，由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
、大正方形的面积为：，也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴原选项不能证明勾股定理，符合题意；
、大正方形的面积为：，也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
、梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，
∴，
∴，故原选项能证明勾股定理，不符合题意；
故选：．
2．如图，在中，，则的长是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边长的平方，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
故选：D．
3．如图，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，正确利用勾股定理求出是解题的关键．先利用勾股定理求出，再根据题意得到，则点所表示的数为．
【详解】解：由题意得，
∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为，
故选：C．
4．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若的周长为12，，则的周长为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，由三角形周长计算公式可推出，设，则，由勾股定理得，解方程可得，由线段垂直平分线的性质可得到，据此根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解；∵的周长为12，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴的周长，
故选：C．
5．已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形;已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：分两种情况：（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边的平方为：；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边的平方为：．
∴第三边长的平方是25或7，
故选：B．
6．某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，．若，则的长是（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，正方形面积的计算，整式的运算等，利用勾股定理结合正方形的面积公式以及面积关系列出等式，即可求解．掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设的长直角边为，短直角边为，斜边长为，则：，
由题意，得：，，，
，
，
，
即，
，
故选：C．
7．勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键．
【详解】解：如图，
在直角中，由勾股定理得，
，
，
将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形，
，
，
，
．
故答案为：．
8．如图，已知在直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为，则以斜边为边长的正方形的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中直角是解题的关键．根据正方形面积得出，，根据勾股定理得出即可得出答案．
【详解】解：由题意知，，，且，
∴．
∴以斜边为边长的正方形的面积是．
故答案为：．
9．在直角三角形中，，，，则 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理解直角三角形成为解题的关键．
直接根据勾股定理解直角三角形即可．
【详解】解：∵在直角三角形中，，，，
∴．
故答案为：3．
10．在中，，，边上的高的长为4，则边的长为 ．
【答案】5或
【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积计算，掌握勾股定理是解题关键．分是锐角、钝角两种情况讨论，分别求出的长即可．
【详解】解：当是锐角时，过点作于点，
∵，边上的高的长为4，
∴，
∵，
∴，
∴；
当是钝角时，过点作的延长线于点，
∵，边上的高的长为4，
∴，
∴，
则，
故答案为：5或．
11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为36．则小正方形的边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查与弦图为背景的问题，数形结合，表示出小正方形的边长为，再由完全平方差及勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，大正方形的面积为36，设大正方形边长为，则在“赵爽弦图”的直角三角形中，，
小正方形的边长为，则，
，
，
又小正方形的边长为，则小正方形的边长为，
故答案为：．
12．如图所示，已知 中，，点分别在线段上，将沿直线折叠，使点的对应点恰好落在线段上，当为直角三角形时，的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识，分类讨论是关键．
根据题意得到，，分类讨论：当时，设，则，，，即；当时，设，则，，即；由此解方程即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵将沿直线折叠得到，
∴，
当时，是直角三角形，
设，则，，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴；
当时，是直角三角形，
同理，设，则，
∴，即，
解得，，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或 ．
13．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，点A、B、C、D均在小正方形顶点上．
(1)在方格纸中画出以为底的等腰，且点F在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出面积为7.5的等腰，且点E在小正方形的顶点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由勾股定理得，故即为所求；
（2）由勾股定理得，且上的高为3，故即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）解：如上图，即为所求．
14．如图，已知，，，于点D，求AD的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理.
由勾股定理得到，设，求出，计算即可.
【详解】∵
∴,，
∴
设，则，
∴
整理得
解得
即
∴.
15．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】
（1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________；
【方法迁移】
（2）如图3，在中，，，，且是边上的高．求的长．
（3）如图4，在中，，，，，设，求的值．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】本题考查勾股定理的证明，等积法求线段的长，勾股定理，熟练掌握勾股定理，是解题的关键：
（1）用正方形的面积公式和大正方形的面积减去4个直角三角形的面积来表示阴影部分的面积，作答即可；
（2）勾股定理求出的长，等积法求出的长即可；
（3）利用勾股定理结合为公用直角边，列出方程进行求解即可．
【详解】解：（1），，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，设，
∴，
∵，，
∴在中，由勾股定理，得：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：．教材习题01
在中，，，．求的长．
解：在中，，，，
由勾股定理得，
教材习题02
在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．

解：如图所示：

教材习题03
【探究发现】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长，，之间的一个重要结论：
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点作，垂足为点．
(1)求证：，．
(2)请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：
（1）证明∶ ∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又， ，
∴．
∴；
（2）证明： 由题意得，第一种方法：

，
第二种方法：
，
，
，
；