安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一下第六次联考数学试卷（解析版）

这是一份安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一下第六次联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以复数的虚部为，
故选：A.
2. 已知等腰中，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，由正弦定理可得，
可得，在上的投影为，
所以在上的投影向量为，
即在上的投影向量为.
故选：A．
3. 已知直线，平面，，且，，，共面，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. 直线与内的任意直线均异面D. 交于一点或互相平行
【答案】D
【解析】令共面，则，若，，，则，
又，，所以，则；
若，则，而，所以，所以交于一点，
交于一点或互相平行.
故选：D
4. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
将函数的图象向左平移个单位后得到函数，
所以，则，，，，
对于A，若，代入得，故A错误；
对于B，若，代入得，故B错误；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，若，代入得，故D错误.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
所以.
故选：D.
6. 为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组.今欲测量学校附近淮河河岸的一座“望淮塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“望淮塔”塔顶的仰角为60°，则“望淮塔”高（ ）
A. B. C. D. 60m
【答案】C
【解析】在中，，，可得，
由正弦定理得：，则，
可得：，
再在直角中，，
故选：C.
7. 下列命题不正确的有（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】当时，，在单位圆中，点，
设，则，
过点作直线垂直于轴，交所在直线于点，
由，得，
设扇形的面积为，由图知，
即，即，
对于AC，由，得，AC正确；
对于B，，得，则，B错误；
对于D，由，则，
则，D正确.
故选：B
8. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点，与平面交于点，设，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】延长交于，连接，连接交于点，
则由，，得是中点，
是中点，是的重心，
，即.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 设复数为，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，，又，所以，故A正确；
对于B，，又，故B错误；
对于C，，又，故C错误；
对于D，因为，又，故D正确.
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 一个棱柱至少有5个面
B. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C. 若平面内任意直线和平面平行，则平面平面
D. 若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直
【答案】ACD
【解析】对于A选项：一个棱柱最少有5个面，且此棱柱为三棱柱，故A正确；
对于B选项：直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是由两个同底的两
个圆锥拼接而成的组合体，故B错误；
对于C选项：若平面内任意直线和平面平行，则平面内任选两条相交直线与平面平行，由面面平行判定定理可知平面，故C正确；
对于D选项：若直线平行于平面，则在平面内存在直线，使得，
则在平面内垂直于直线的直线都垂直于直线，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的值为
B. 若，则与的夹角为锐角
C. 若，则的值为
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，因为，所以，解得，故A正确；
对于B，若与的夹角为锐角，则，且与不共线，
所以，解得且，
所以当且时与的夹角为锐角，故B错误；
对于C，因为，所以，解得，故C正确；
对于D，由题意得，.
因为，所以，解得，
当时，，，
此时，，，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则与向量方向相同的单位向量为_____.
【答案】
【解析】依题意，，
所以与向量方向相同的单位向量为.
故答案为：
13. 已知是关于的方程的一个根，则______．
【答案】38
【解析】将代入方程
得，
所以，所以.
故答案为：38
14. 如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点E在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为__________.
【答案】10
【解析】由题意，平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，同理可得，
所以四边形为平行四边形，则周长，沿将右面和后面相邻两面展开，
当三点共线时，最小，最小值为，
所以截面四边形的周长的最小值为10.
故答案为：10.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因为的横坐标为，且圆为单位圆，所以的纵坐标为，
由三角函数定义，
（2）
16. 若函数的图象经过点，且相邻的两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，的值域．
解：（1）函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
记的周期为，则，
又，，.
函数的图象经过点，，
则，.
函数的解析式为；
（2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
由（1）得，，
函数的解析式为.
当时，，则.
综上，当时，函数的值域为.
17. 如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，.
（1）求证：为定值，并求这个值；
（2）若，，且，，求，的值.
解：（1）由，得
，
由是线段的中点，得，显然，
由，，得，，
因此，而M，E，N三点共线，则，即
所以为定值，此定值为6.
（2）由，，得，
由（1）知，，，
因此，
又，则，，由（1）知，解得，，
所以，.
18. 在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数.
解：（1）连接，则为中点，又点为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）由（1）得，异面直线与所成角即为与夹角，
在等腰直角三角形中，设，
则，，，
在中，由余弦定理得，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
（3）连接，如图所示，
因为为的中点，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
则，即，所以.
19. 我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若己知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则，这里.据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元1世纪的《测地术》中.在13世纪，我国南宋的数学家秦九韶在《数学九章》中推出了等价的结论.根据以上信息，回答下列问题.
（1）已知的面积为，且，求此三角形中大于60°的角所对的边长；
（2）三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段.若记的外接圆半径为R，内切圆半径为r，证明：；
（3）试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形的四边长分别，记.证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值.
解：（1）已知，设，，，，
半周长.
根据海伦公式，把值代入得.
又已知面积为，即，解得，
因为，所以，故，
所以所求边.
（2）由，，结合，
可得.
设，，，则.
根据均值不等式，，，
所以，
即，当即时等号成立.
（3）连结，在、中对算两次，
用余弦定理得，
化简得①式.
四边形面积，
化简得②式.
将①、②平方相加，利用及不等式，
得到，
故.
即
因为，所以，
当，即四边形是圆内接四边形时等号成立.