安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高一上学期第一次联考数学试卷（解析版）

这是一份安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高一上学期第一次联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合的交运算即可求解.
【详解】集合，，
则.
故选：C
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】全称性命题的否定是特称性命题，所以命题“”的否定是“”.
故选：C.
3. 对于实数，“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由于不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac＞bc”必须有c＞0这一条件．解：主要考查不等式的性质．当c=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边．故选B
考点：不等式的性质
点评：充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件．
4. 若不等式，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】注意到，根据不等性质直接计算即可.
【详解】由，
因为，所以，
又，所以，
即的取值范围为，
故选：D.
5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得且，然后代入不等式，即可得到结果.
【详解】由题意可知，是关于的方程的两实根，且，
则，解得，
则不等式可化为，
即，所以，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
6. 若正实数满足，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由正实数满足，则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
7. 集合或， ，若，则实数的取值范围是（ ）
A. 且B.
C. 或D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，列出不等式，即可求解.
【详解】当时，不等式，即为不成立，即，满足；
当时，不等式，解得，即，
要使得，则满足，解得；
当时，不等式，解得，即，
要使得，则满足，解得，
综上可得，，即实数的取值范围为.
故选：D.
8. 已知集合，对于集合中的任意元素和，记．其中表示两个数的最小数，例如．若集合，均满足，则中元素个数最多为（ ）
A. 4B. 5C. 15D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】分析得和同时为时，和至少有一个为时，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论得到集合元素个数的最值．
【详解】依题意，对于中元素和，
当和同时为时，当和至少有一个为时，
要使的一个子集中任两个不同元素、，均满足，
设集合中的元素记为，则的所有元素的位置至多有一个，
若位置为，其它位置为的元素有个，
若全为的有个，
综上，中元素最多有个．
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据集合定义判断，注意集合中代表元形式．
【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合，
A正确，B错，C正确，D正确，
故选：ACD．
【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．
10. 已知命题，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】解不等式，根据逻辑关系得出不等式所表示范围的包含关系，即可得出答案.
【详解】由，解得.设，
所以，设命题成立的一个必要不充分条件所表示的范围为，则，
由，且，故AD满足题意，
选项B，不满足；
选项C，不是的真子集，不满足题意.
故选：AD.
11. 下列说法正确的为（ ）
A. 若，则的最大值是
B. 若，则的最小值为2
C. 已知，，且，则的最小值是
D. 已知，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
分析】根据基本不等式及对勾函数单调性分别判断各选项.
【详解】A选项：，，则，
又，
即，
当且仅当，即时，取等号，A选项正确；
B选项：由，设，则，
又函数在上单调递增，
则当，即时，取得最小值为，B选项错误；
C选项：由已知，，且，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，C选项正确；
D选项：由，，
当且仅当，即时取等号，D选项错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，则的子集个数为__________．
【答案】8
【解析】
【详解】由题意，集合中有三个元素，则集合的子集个数为.
13. 若命题：是真命题，则实数取值范围是______．
【答案】.
【解析】
【详解】试题分析：命题：“对，”是真命题.当时，则有；当时，则有且，解得.综上所示，实数的取值范围是.
考点：1.全称命题；2.不等式恒成立
14. 设，若时均有，则______.
【答案】
【解析】
【分析】当a＝1时，不等式不可能恒成立；当a≠1，若对任意的x＞0时均有，则构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x2﹣3ax﹣1，与x轴交于同一点，代入可得答案．
【详解】当a＝1时，代入题中不等式得，明显不恒成立，舍．
当a≠1，构造函数y1＝（a﹣1）x﹣1，y2＝x2﹣3ax﹣1，它们都过定点P（0，﹣1）．
在函数y1＝（a﹣1）x﹣1中，令y＝0，得M（，0）；
在函数y2＝x2﹣3ax﹣1，∵x＞0时，均有成立，
又∵y2＝x2﹣3ax﹣1开口向上，随着的增加，y2＞0成立，所以a﹣1＞0.
∴y2＝x2﹣3ax﹣1显然过点M（，0），代入得：（）2﹣3a•﹣1＝0，
解之得：a＝或a＝0（舍去）．
故答案为：.
【点睛】本题考查的知识点为函数不等式恒成立问题，函数的图象和性质，分类讨论思想，数形结合思想，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知．
（1）若，求；
（2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答．
问题：若___________，求实数的所有取值构成的集合．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当根据题意，分别求得和，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）选择①：分和，两种情况讨论，集合补角和并集的运算，即可求解；
选择②：由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解；
选择③：分和，两种情况讨论，结合交集和补集的运算，即可求解.
【小问1详解】
解：当，可得，
由方程，即，解得或，即，
所以.
【小问2详解】
解：若选择①：由（1）知，
当时，此时，此时，满足；
当时，集合，
要使得，则或，解得或，
综上可得，集合.
若选择②：由，可得，
当时，此时，满足；
当时，集合，则满足或，解得或，
综上可得，集合.
若选择③：当时，此时，满足；
当时，集合，则满足或，解得或，
综上可得，集合.
16. 设命题对任意，不等式恒成立；命题存在，使得不等式成立．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由全称命题为真，即恒有成立，求出左侧最小值，应用一元二次不等式求参数范围；
（2）由特称命题为真，即使能成立，求出左侧最小值求得参数，再由有且仅有一个真命题确定参数范围.
【小问1详解】
若为真命题，即恒有成立，
所以恒成立，故，
所以；
【小问2详解】
若为真，即使能成立，
所以，当时最小为，
所以，故为假，则，
结合（1），若为真，则，故为假，则或，
所以真假，则，假真，则，
综上，若有且只有一个是真命题，只需或.
17. 已知
（1）求ab的最大值；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得范围，再分析等号取到条件即可；
（2）将条件等式转化为积为定值的形式，再结合整体元，利用基本不等式求解最值可得.
【小问1详解】
由，
可得，当且仅当时等号成立.
令，则，即，
解得，又，则.
则，
当且仅当时等号成立.
故的最大值为.
【小问2详解】
由，
得，且，
则
.
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为.
18. 已知二次函数
（1）若的解集为，解关于的不等式；
（2）若且，求的最小值；
（3）若，且对任意，不等式恒成立，求最小值．
【答案】（1）不等式的解集为.
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【解析】
【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集；
（2）由已知可得，结合基本不等式求结论；
（3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值.
【小问1详解】
由已知的解集为，且，
所以是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
因为，
所以
因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当， 时等号成立；
所以的最小值为；
【小问3详解】
因为对任意，不等式恒成立，
所以，，
所以，，
，
令，则，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.
19. 设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集．
（1）当时，写出集合的积集；
（2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
（3）若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和．
【答案】（1）
（2）5 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到；
（2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5；
（3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，.
【小问1详解】
，故，
，
故；
【小问2详解】
是由4个正实数构成的集合，
不妨设，
因为，故中的元素个数大于等于5，
当时，此时，
故中元素个数最小值为5；
【小问3详解】
由条件可知，对于一个4元集合，
中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数，
同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数，
由此知，的绝对值互不相等，不妨设，
则中最小的与次小的两个数分别为与，
最大与次大的两个数分别为与，
从而必有，
于是，
所以，
当时，，解得，
又为有理数，不合要求，舍去，
当，解得，满足要求，
易得或，
经检验，均满足要求，故，
集合中的所有元素之和为.
【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.