安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一下学期第四次联考数学试卷（解析版）

这是一份安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一下学期第四次联考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】扇形的圆心角为，半径为，
则扇形的面积.
故选：B.
2. 若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为在第一象限，所以，，
所以，，所以是第一､三象限角，
当是第一象限角时，，，，；
当是第三象限角时，，，，；
综上，一定成立.
故选：C.
3. 在斜三角形ABC中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】三角形中，若A为锐角，B为钝角，则，此时，，
故“”不能推出“”；
当A为钝角，B为锐角时有，此时，故不能推出“”.
综上，三角形ABC中，“”是的既不充分也不必要条件.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，可得，
，．
故选：A．
5. 已知函数，则下列选项错误的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 曲线关于点中心对称
C. 的最大值为D. 曲线关于直线对称
【答案】B
【解析】已知，所以.
那么，所以选项A正确.
若曲线关于点中心对称，则.
计算，
所以曲线不关于点中心对称，选项B错误.
因为正弦函数的最大值为，在中，
，选项C正确.
若曲线关于直线对称，则为函数的最值.
计算，
是函数的最大值，所以曲线关于直线对称，选项D正确.
故选：B.
6. 已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，故，
而方程在区间上有两个不相等实数根，
且令，则在区间上有两个不相等实数根，
故，，两个根为，
则与在区间上有两个不同的交点，
记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称，
则，解得，而，
得到，即，故C正确.
故选：C.
7. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知：，
则，，
可得，解得或（舍去），
所以．
故选：A.
8. 已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由方程，可得，
所以，
当时，，
所以的可能取值为，
因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，
即的取值范围是.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列式子的运算结果为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：，
所以，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，若，由得，
，
即，
又为锐角，所以，故A正确；
对于B选项，若，则，
由得，，
所以，故B错误；
对于D选项，由，得
，
令，则，两边平方得：
，
由判别式法可得，解得，即，
又为锐角，所以最小值为，当时，取最小值，故D正确，
对于C选项，由D选项可知，，而，所以，故C正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的最小正周期为
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的值域为
【答案】BD
【解析】因为，
，
的最小正周期不是，A选项错误；
因为，所以的最小正周期为，B选项正确；
，，
因为与有可能不相等（例如取），所以不恒成立，
函数的图象不关于直线对称，C选项错误；
因为，
所以为偶函数，所以只需考虑的情况，
当时，，且；
当时，；
当时，；
当时，，
所以时，函数值域为，
根据周期性可得时函数的值域为，
根据函数是偶函数可得函数的值域为，D选项正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则__________．
【答案】
【解析】根据诱导公式.
根据二倍角公式可得.
13. 设函数，若是奇函数，则__________．
【答案】
【解析】因为
所以，
因为是奇函数，所以，，又，
所以，.
14. 已知，，则______．
【答案】
【解析】由题意可知
，
即，
由题意可知，
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点.
（1）求，的值；
（2）求的值.
解：（1）由于角的终边经过点，则，所以，.
（2）由诱导公式化简得：
.
16. （1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
解：（1）由，得或，
是方程的一个实根，且是第三象限角，，
.
（2），
，则，
，所以，
故，
.
17. 已知函数，当时，的最大值为．
（1）求函数在上的单调区间；
（2）若且满足，求的取值集合．
解：（1）令，，得，，
所以函数的递增区间为，，
令，，得，，
所以函数的递减区间为，，
因为，所以的单调递增区间为，减区间．
（2）由，可得，所以，
所以当时，，
所以函数在上的最大值为，此时，所以．解得．
所以，可得，
则，或，，
即，或，，
又，可解得，，，，
所以的取值集合为．
18. 已知函数．
（1），，求的值；
（2）对任意的，都有，求实数的取值范围．
解：（1）
．
，得，
由，，，得，
所以
．
（2），
由，，所以，
即，由，
得在恒成立，
所以，
所以，所以．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值；
（3）若函数在内恰有781个零点，求实数m、n的值．
解：（1）
，所以，
由，，得，，
所以单调递增区间为，．
（2）由题意得
，
因为，所以，
从而可知，即，
因此，故在上的最大值为，最小值为0．
（3）因为
，令，
可得，令，得，
易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，
①当且或者且时，
则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；
②当且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；
③当，时，当时，只有一根，有两根，
所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
由于方程在区间上有两个根，
方程在区间上有一个根，因此，不合题意，舍去；
④当，时，当时，只有一根，有两根，
所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，
方程在区间上两个根，此时，满足题意；
因此，，，得，
综上，，．