安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一下学期3月第四次联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高一下学期3月第四次联考数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在斜三角形ABC中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，则下列选项错误的是（ ）
A．的最小正周期为B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为D．曲线关于直线对称
6．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（ ）
A．B．C．D．
7．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列式子的运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，均为锐角，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．的最小值为
11．已知函数，，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的值域为
三、填空题
12．已知，则 ．
13．设函数，若是奇函数，则 ．
14．已知，，则 ．
四、解答题
15．在平面直角坐标系中，角的终边经过点.
(1)求，的值
(2)求的值.
16．（1）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值；
（2）已知，且，求的值.
17．已知函数，当时，的最大值为．
(1)求函数在上的单调区间；
(2)若且满足，求的取值集合．
18．已知函数．
(1)，，求的值；
(2)对任意的，都有，求实数的取值范围．
19．已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在上的最大值和最小值；
(3)若函数在内恰有781个零点，求实数m、n的值．
1．B
应用扇形面积公式计算即可.
【详解】扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积.
故选：B.
2．C
根据的范围求得是第一､三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断.
【详解】因为在第一象限，所以，，
所以，，所以是第一､三象限角，
当是第一象限角时，，，，；
当是第三象限角时，，，，；
综上，一定成立.
故选：C
3．D
通过特例说明即可判断；
【详解】解：三角形中，若A为锐角，B为钝角，则，此时，，
故“”不能推出“”；
当A为钝角，B为锐角时有，此时，故不能推出“”.
综上，三角形ABC中，“”是的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．A
由诱导公式和和差角公式化简等式求得的值，从而知道的值，然后得到的值.
【详解】，，
，可得，
，．
故选：A．
5．B
对于选项A：将函数化为形式，求出周期，判断A.
对于选项B：代入验证得到判断B. 对于选项C：求出，最大值是，判断C.
对于选项D：根据对称轴性质，代入求出值，看是否是最值即可判断D.
【详解】已知，所以.
那么，所以选项A正确.
若曲线关于点中心对称，则.
计算，所以曲线不关于点中心对称，选项B错误.
因为正弦函数的最大值为，在中，，选项C正确.
若曲线关于直线对称，则为函数的最值.
计算，是函数的最大值，所以曲线关于直线对称，选项D正确.
故选：B.
6．C
利用换元法结合函数与方程的关系转化为函数交点问题，再结合正弦函数的对称性求解即可.
【详解】因为，所以，故，
而方程在区间上有两个不相等的实数根，
且令，则在区间上有两个不相等的实数根，
故，，两个根为，
则与在区间上有两个不同的交点，
记两个交点横坐标为，由正弦函数性质得关于对称，
则，解得，而，
得到，即，故C正确.
故选：C
7．A
根据题意可得，根据倍角公式以及齐次化问题解得，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】由题意可知：，
则，，
可得，解得或（舍去），
所以．
故选：A.
8．D
由方程解得，得到的可能取值，根据题意可得，解出的取值范围即可.
【详解】由方程，可得，
所以，
当时，，
所以的可能取值为，
因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，即的取值范围是，
故选：D
9．ABC
利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，
所以，故B正确；
对于C：
，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：ABC
10．ACD
对A、B选项，将已知条件代入消元，即可求解；对于D选项，将角进行分离，得到，然后构造函数，用判别式法即可求得的最小值，从而得解，C选项可以借助D选项的结论，即可得解.
【详解】对于A选项，若，由得，
即
又为锐角，所以，故A正确
对于B选项，若，则，
由得，
所以，故B错误
对于D选项，由，得
，
令，则，两边平方得：
，
由判别式法可得，解得，即，
又为锐角，所以的最小值为，当时，取最小值,故D正确，
对于C选项，由D选项可知，，而，所以 ，故C正确，
故选：ACD
11．BD
利用特例法判断AC；利用降幂公式与余弦函数的周期公式判断B；根据函数的奇偶性转化为求时函数的值域，再结合辅助公式、正弦函数的值域判断D.
【详解】因为，，的最小正周期不是，A选项错误；
因为，所以的最小正周期为，B选项正确；
，，
因为与有可能不相等（例如取），所以不恒成立，
函数的图象不关于直线对称，C选项错误；
因为，
所以为偶函数，所以只需考虑的情况，
当时，，且；
当时，；
当时，；
当时，，
所以时，函数的值域为，
根据周期性可得时函数的值域为，
根据函数是偶函数可得函数的值域为，
D选项正确；
故选：BD.
12．
根据诱导公式化简，再结合二倍角公式以及已知条件进行求解.
【详解】根据诱导公式.
根据二倍角公式可得.
故答案为：.
13．/
化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质列方程求.
【详解】因为
所以，
因为是奇函数，
所以，，又，
所以，，
故答案为：.
14．/
利用正弦的和差公式及同角三角函数的商数关系计算即可
【详解】由题意可知
，
即，
由题意可知，
则.
故答案为：
15．(1)，
(2)
（1）利用任意角的三角函数的定义即可求解；
（2）利用诱导公式化简即可.
【详解】（1）由于角的终边经过点，则，所以，；
（2）由诱导公式化简得：
16．（1）；（2）
（1）根据题意得到的值，将除以，分子分母同时除以，即可得到有关的式子，代入即可得到答案；
（2）先根据完全平方公式得到的值，然后再利用完全平方公式得到的值，构造等式即可求得结果.
【详解】（1）由，得或，
是方程的一个实根，且是第三象限角，，
.
（2），
，则，
，所以，
故，
.
17．(1)单调递增区间为，减区间．
(2)．
（1）结合余弦函数性质求函数的递增区间和递减区间，再求区间上的单调区间；
（2）结合余弦函数性质求函数在上的最大值的表达式，列方程求，方程可化为，结合余弦函数性质解方程即可.
【详解】（1）令，，得，，
所以函数的递增区间为，，
令，，得，，
所以函数的递减区间为，，
因为，
所以的单调递增区间为，减区间．
（2）由，可得，
所以，
所以当时，，
所以函数在上的最大值为，此时，
所以．解得．
所以，可得，
则，或，，
即，或，，
又，可解得，，，，
所以的取值集合为．
18．(1)
(2)
（1）结合二倍角公式和辅助角公式化简可得，结合已知可得，再由同角关系求，结合利用两角和正弦公式求结论；
（2）先结合正弦函数性质求的范围，条件可转化为，解对数不等式可得结论.
【详解】（1）．
，得，
由，，，得，
所以．
（2），
由，，所以，
即，
由，得在恒成立，
所以，
所以，所以．
19．(1)，．
(2)最大值为，最小值为0．
(3)，．
【详解】（1）
，所以，，
由，，
得，，
所以单调递增区间为，．
（2）由题意得
，
因为，所以，
从而可知，即，
因此，故在上的最大值为，最小值为0．
（3）因为
，令，
可得，令，得，
易知，方程必有两个不同的实数根、，由，则、异号，
①当且或者且时，
则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；
②当且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；
③当，时，当时，只有一根，有两根，
所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
由于方程在区间上有两个根，
方程在区间上有一个根，因此，不合题意，舍去；
④当，时，当时，只有一根，有两根，
所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，此时，满足题意；
因此，，，得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
B
C
A
D
ABC
ACD
题号
11









答案
BD