苏教版高一下册数学必修第二册-第13章 立体几何初步章末综合检测【含答案】

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苏教版高一下册数学必修第二册-第13章 立体几何初步章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．正方体的8个顶点可以确定平面的个数为(　　)A．6　　　　　　　　　B．8C．14 D．202．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与对角线BD的位置关系是(　　)A．平行 B．相交但不垂直C．相交垂直 D．异面垂直3．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是(　　)A．等边三角形 B．矩形C．等腰梯形 D．以上都有可能4.已知圆台的侧面积(单位： cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆环(如图所示)，则圆台的下底面积与上底面积之差为(　　)A．1 cm2 B．π cm2C． eq \f(1,2)  cm2 D． eq \f(π,2)  cm25．如图，长方体ABCD ­A1B1C1D1中，BB1＝BC，P为C1D1的中点，则异面直线PB与B1C所成角的大小为(　　)A．30° B．45°C．60° D．90°6．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定7．如图，在三棱锥D ­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是(　　)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE8．已知四棱锥S ­ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4＋4 eq \r(3) ，则球O的体积等于(　　)A． eq \f(4\r(2),3) π B． eq \f(8\r(2),3) πC． eq \f(16\r(2),3) π D． eq \f(32\r(2),3) π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中一定正确的是(　　)A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β D．若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直10．如图，在三棱锥 P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(　　)A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PCC．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC11．正方体ABCD ­A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，则下列选项正确的是(　　)A．BC1∥平面AQP B．A1D⊥平面AQPC．异面直线A1C与PQ所成的角为90° D．平面AQP截正方体所得截面为等腰梯形12．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE(如图②).在折起的过程中，下列说法中正确的是(　　)A．AC∥平面BEF B．B，C，E，F四点不可能共面C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD D．平面BCE与平面BEF可能垂直三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6 cm.当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 eq \f(2,3) (细管长度忽略不计).细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高是________ cm.14．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________．15．如图，在四棱锥S ­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点E是SA上一点，当SE∶SA＝________时，SC∥平面EBD.16．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E是CD的中点，沿AE将△DAE向上折起，使D到D′的位置，且平面AED′⊥平面ABCE，则直线AD′与平面ABC所成角的正弦值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PB＝PD.(1)求证：BD⊥PC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC∥l.18．(本小题满分12分)已知正方体ABCD ­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，AC交BD于点O.(1)求证：BD1∥平面MAC；(2)求证：平面BDD1⊥平面MAC．19．(本小题满分12分)在①PA⊥平面ABC，②∠ABC＝60°，③点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，并解答．在三棱锥P­ABC中，PA＝AB＝AC＝6.若________，求三棱锥P­ABC的体积．20.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，B1C1⊥CC1，点E，F分别是BC，A1B1的中点，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1.(1)求证：B1C1⊥A1C；(2)求证：EF∥平面A1C1CA.21．(本小题满分12分)如图，四棱锥P­ABCD 的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ eq \r(3) .(1)求证：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A­BE­P的大小．22.(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ADE⊥平面ABCD, EF＝1，AE＝DE＝ eq \r(2) .(1)求证：CD∥平面ABFE；(2)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；(3)在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE? 说明理由．参考答案(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选D．①正方体本身有6个面；②正方体每两条平行的棱(不在正方体的同一面上)可以确定一个平面，有6个；③正方体共顶点的三条棱的另外三个顶点确定一个平面，有8个．所以正方体的8个顶点共可以确定20个平面．2．解析：选D．因为PC⊥平面α，所以PC⊥BD.又在菱形ABCD中，AC⊥BD，PC∩AC＝C，所以BD⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC，所以BD⊥PA.显然PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．3．解析：选D．当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图①；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图②；当点Q不与点D，D1重合时，令Q，R分别为DD1，C1D1的中点，则截面图形为等腰梯形AQRB1，如图③.故选D．4.解析：选B．设圆台上、下底面半径分别为r1，r2，因为圆台的侧面展开图是一个半圆环，所以圆台的侧面积为 eq \f(1,2) π(2r2)2－ eq \f(1,2) π(2r1)2＝2π，所以πr eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) －πr eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝π，所以圆台的下底面积与上底面积之差为πr eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) －πr eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝π；故选B．5．解析：选D．如图，连接B1C，BC1，AD1，因为在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，BB1＝BC，所以BC1⊥B1C.因为四棱柱ABCD ­A1B1C1D1是长方体，所以AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥B1C.因为AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABC1D1.因为PB⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥PB，故异面直线PB与B1C所成角的大小为90°.故选D．6．解析：选D．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C．若l4＝DC1，则l1与l4相交；若l4＝BA，则l1与l4异面；若l4＝C1D1，则l1与l4相交且垂直．综上，l1与l4的位置关系不确定．故选D．7．解析：选C．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ABC，AC⊂平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE.故选C．8．解析：选B．由题意可知四棱锥S­ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的一半为球的半径r，且四棱锥的高h＝r，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为 eq \r(2) r的正三角形，底面为边长为 eq \r(2) r的正方形，所以该四棱锥的表面积为S＝4× eq \f(\r(3),4) ( eq \r(2) r)2＋( eq \r(2) r)2＝2 eq \r(3) r2＋2r2＝(2 eq \r(3) ＋2)r2＝4＋4 eq \r(3) ，因此r2＝2，r＝ eq \r(2) ，所以球O的体积V＝ eq \f(4,3) πr3＝ eq \f(4,3) π×2 eq \r(2) ＝ eq \f(8\r(2)π,3) ，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．解析：选CD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α，β的位置关系不确定，故A不正确；若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，因为c⊂α，所以α⊥β，故B不正确，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，故C正确；若m⊥α，m，n不平行，则n与α平行或相交或n在α内，但不垂直，故D正确．故选CD．10．解析：选ABC．因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，所以AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥PC，故B，C正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，因此PB与CD不垂直，从而PB不与平面ADC垂直，D错误．故选ABC．11．解析：选ACD．对于选项A，P，Q分别为棱BC和CC1的中点，所以PQ∥BC1，利用线面平行的判定定理可得BC1∥平面AQP，所以A正确；对于选项B，在正方体中AB⊥平面AA1D1D，所以AB⊥A1D，又A1D⊥AD1，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，若A1D⊥平面AQP，则平面ABC1D1∥平面AQP，这与平面ABC1D1与平面AQP相交矛盾，所以B不正确；对于选项C，与选项B同理可证BC1⊥平面A1B1C，又PQ∥BC1，所以PQ⊥平面A1B1C，从而得到PQ⊥A1C，即异面直线A1C与PQ所成角为90°，所以C选项正确；对于选项D，在正方体中，平面AA1D1D∥平面BB1C1C，平面AQP∩平面AA1D1D＝AD1，平面AQP∩平面BB1C1C＝PQ，所以AD1∥PQ，所以平面AQP截正方体所得截面为四边形APQD1，因为PQ≠AD1，AP＝D1Q，即四边形APQD1为等腰梯形，所以D正确；故选ACD．12．解析：选ABC．在A中，连接AC，取AC的中点O，BE的中点M，连接MO，MF(图略)，易证明四边形AOMF是平行四边形，即AC∥FM，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF，所以A正确；在B中，设B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，所以AD∥EF，这与已知相矛盾，故B，C，E，F四点不可能共面，所以B正确；在C中，连接CF，DF，在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，所以EF⊥平面CDF.所以CD⊥EF.又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，所以C正确；在D中，延长AF到G，使得AF＝FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直．其垂足在BE上，前后矛盾，故D错误．故选ABC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.解析：由题意得当细沙全部在上部时，底面半径为2 cm.高为4 cm，所以体积为 eq \f(1,3) ×4π×4＝ eq \f(16π,3) ( cm3)，当细沙全部在下部时，底面半径为3 cm，高为h cm，所以体积为 eq \f(1,3) ×9π×h＝3πh(cm3).所以 eq \f(16π,3) ＝3πh，解得h＝ eq \f(16,9) .故答案为 eq \f(16,9) .答案： eq \f(16,9) 14．解析：因为Aeq \o(∈,\s\up0(/))a，所以点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以 eq \f(AF,AC) ＝ eq \f(EG,BD) .于是EG＝ eq \f(AF·BD,AC) ＝ eq \f(5×4,5＋4) ＝ eq \f(20,9) .答案： eq \f(20,9) 15．解析：连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．因为SC∥平面EBD.且平面EBD∩平面SAC＝EO，所以SC∥EO，所以点E是SA的中点，此时SE∶SA＝1∶2.答案：1∶216．解析：由题意，知△AED′为等腰直角三角形，因为平面AED′⊥平面ABCE，所以AD′在底面的射影在AE上，所以∠D′AE为直线AD′与平面ABC所成的角，且∠D′AE＝45°，其正弦值为 eq \f(\r(2),2) ，故答案为 eq \f(\r(2),2) .答案： eq \f(\r(2),2) 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．证明：(1)连接AC，交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC.又因为PB＝PD，O为BD的中点，所以BD⊥PO.因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC.(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l.所以BC∥l.18．证明：(1)连接MO，因为M，O分别为DD1，BD的中点，所以BD1∥MO，因为BD1⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，所以BD1∥平面MAC.(2)正方体ABCD ­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥AC.因为正方体ABCD ­A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.因为BD，DD1是平面BDD1内两相交直线，所以AC⊥平面BDD1，因为AC⊂平面MAC，所以平面BDD1⊥平面MAC.19．解：若选择①和②，因为AB＝AC＝6，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以S△ABC＝ eq \f(\r(3),4) ×62＝9 eq \r(3) ，因为PA⊥平面ABC，所以PA即为点P到平面ABC的距离，且PA＝6，所以VP­ABC＝ eq \f(1,3) ·S△ABC·PA＝ eq \f(1,3) ×9 eq \r(3) ×6＝18 eq \r(3) .若选择①和③，因为PA⊥平面ABC，所以点A为点P在平面ABC内的射影，又因为点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，所以点A即为△ABC的垂心，所以∠BAC＝90°，因为AB＝AC＝6，所以三角形ABC是等腰直角三角形，所以S△ABC＝ eq \f(1,2) ×62＝18，因为PA⊥平面ABC，所以PA即为点P到平面ABC的距离，且PA＝6，所以VP­ABC＝ eq \f(1,3) ·S△ABC·PA＝ eq \f(1,3) ×18×6＝36.若选择②和③，因为AB＝AC＝6，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以S△ABC＝ eq \f(\r(3),4) ×62＝9 eq \r(3) ，设△ABC的中心为点O，则点O即为等边△ABC的重心、垂心，且OA＝ eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×6)) ＝2 eq \r(3) ，因为点P在平面ABC内的射影为△ABC的垂心，即O点，所以PO⊥平面ABC，所以PO即为点P到平面ABC的距离，且PO＝ eq \r(62－（2\r(3)）2) ＝2 eq \r(6) ，所以VP­ABC＝ eq \f(1,3) ·S△ABC·PO＝ eq \f(1,3) ×9 eq \r(3) ×2 eq \r(6) ＝18 eq \r(2) .20.证明：(1)因为B1C1⊥C1C，平面A1C1CA⊥平面BCC1B1，平面A1C1CA∩平面BCC1B1＝C1C，B1C1⊂平面BCC1B1，则B1C1⊥平面ACC1A1.又因为A1C⊂平面A1C1CA，所以B1C1⊥A1C.(2)取A1C1的中点G，连接FG，GC.在△A1B1C1中，因为F，G分别是A1B1，A1C1的中点，所以FG∥B1C1且FG＝ eq \f(1,2) B1C1.在平行四边形BCC1B1中，因为E是BC的中点，所以EC∥B1C1且EC＝ eq \f(1,2) B1C1，所以EC∥FG，且EC＝FG，所以四边形FECG是平行四边形，所以EF∥GC.又因为EF⊄平面A1C1CA，GC⊂平面A1C1CA，所以EF∥平面A1C1CA.21．解：(1)证明：如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形且∠BCD＝60°，所以△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.因为AB∥CD，所以BE⊥AB.因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.因为PA∩AB＝A，所以BE⊥平面PAB.又因为BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.(2)由(1)知BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A­BE­P的平面角．在Rt△PAB中，tan ∠PBA＝ eq \f(PA,AB) ＝ eq \r(3) ，所以∠PBA＝60°，故二面角A­BE­P的大小是60°.22.解：(1)证明：在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.因为CD⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，所以CD∥平面ABFE.(2)证明：因为AE＝DE＝ eq \r(2) ，AD＝2，所以AE2＋DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，即AE⊥DE.因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE ∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面ADE.因为DE⊂平面ADE，所以AB⊥DE.因为AB∩AE＝A，所以DE⊥平面ABFE.因为DE⊂平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF.(3)在线段CD上存在点N，使得FN⊥平面ABFE.证明如下：取CD的中点N，连接FN.由(1)知，CD∥平面ABFE，又CD⊂平面CDEF，平面ABFE∩平面CDEF＝EF，所以CD∥EF.因为EF＝1，ND＝ eq \f(1,2) CD＝1，所以EF＝DN.所以四边形EDNF是平行四边形．所以FN∥DE.由(2)知，DE⊥平面ABFE，所以FN⊥平面ABFE.