第13章 立体几何初步（复习课件）-2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

这是一份第13章 立体几何初步（复习课件）-2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版2019），共148页。
单元复习课件 第十三章 立体几何初步 苏教版必修第二册·高一学习内容导览单元知识图谱2单元复习目标13考点串讲针对训练5题型剖析46课堂总结空间平行、垂直关系之间的转化一、棱柱、棱锥和棱台棱柱、棱锥与棱台的区别及联系 棱柱、棱锥与棱台在结构上的相同点：它们都是由平面多边形围成的空间图形，它们都有底面且底面都是多边形.不同点：棱柱和棱台都有两个底面，而棱锥只有一个底面;棱柱的两个底面是全等的，棱台的两个底面是相似的.它们之间能够相互转化，棱台是由棱锥截取得到的，棱台的上底面扩大到上、下底面全等就是棱柱，棱台的上底面缩为一个点就是棱锥．它们的关系如图所示.一、棱柱、棱锥和棱台棱柱、棱锥、棱台的截面1 平行于底面的截面 （1）用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面与底面全等. （2）用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到的截面与底面相似. （3）用一个平行于棱台底面的平面去截棱台，得到的截面与两个底面都相似.2 经过不相邻的两条侧棱的截面 （1）在棱柱中（三棱柱除外），经过不相邻的两条侧棱的截面（也称为棱柱的对角面）是平行四边形. （2）在棱锥中（三棱锥除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形. （3）在棱台中（三棱台除外），经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形.二、正方体的截面 通过尝试、归纳,有如下结论. ①截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形，不可能是直角三角形、钝角三角形. ②截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形,截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行. ③截面可以是五边形，截面为五边形时必有两组分别平行的边，同时有两个角相等，截面五边形不可能是正五边形. ④截面可以是六边形，截面为六边形时必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形． 对应截面图形如图所示.二、正方体的截面三、圆柱、圆锥、圆台  不同点：圆柱和圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面；圆柱的两个底面圆的半径相等，圆台的两个底面圆的半径不相等.但它们之间能够相互转化，圆台可由圆锥截取而得到，当圆台的上底面扩大至上、下底面圆的半径相等时，就变成了圆柱，当圆台的上底面收缩为一个点时就变成了圆锥．它们的关系如图所示.#1.3三、圆柱、圆锥、圆台三、圆柱、圆锥、圆台 圆柱、圆锥、圆台的截面1 平行于底面的截面 （1）平行于圆柱底面的截面是与底面大小相同的圆面,如图（1）. （2）平行于圆锥底面的截面都是圆面但大小不同，如图（2）. （3）平行于圆台底面的截面都是圆面但大小不同，如图（3）.三、圆柱、圆锥、圆台 圆柱、圆锥、圆台的截面2 轴截面 （1）圆柱中，过轴的截面（轴截面）是全等的矩形，如图（1）. （2）圆锥中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰三角形，如图（2）. （3）圆台中，过轴的截面（轴截面）是全等的等腰梯形，如图（3）.四、球知识剖析 （1）球面是指球的表面，是旋转形成的曲面，内部是空的，就像篮球一样.球包括球面及其围成的内部空间,是实的，就像铅球一样.（2）球面可看成是与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合（轨迹）.（3）球的截面都是圆面. 三个基本事实及其表示五、三个基本事实 续表. .. .五、三个基本事实知识剖析对三个基本事实的理解 1.“不在一条直线上”和“三个点”是基本事实1的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有平面”，但可能不唯一；如果将“三个点”改成“四个点”，那么过四个点不一定存在一个平面.由此可见，“不在一条直线上的三个点”是确定一个平面的恰到好处的条件.这里的“有且只有”包括存在性和唯一性两个方面,“有”表示“平面存在”，“只有”表示平面唯一.#2.1.1五、三个基本事实 2.从集合的角度看基本事实2，即如果一条直线（集合）上有两个点（元素）属于一个平面（集合），那么这条直线就是这个平面的真子集.这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内.3.基本事实3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一.从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，那么公共点一定有无数个，且这无数个点的集合构成一条直线，就是两平面的交线.#2.1.2五、三个基本事实三个基本事实的作用  五、空间四边形1 异面直线的定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.2 空间两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有以下三种： 六、空间两条直线的位置关系知识剖析理解异面直线时的两个关键点 （1）异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件.异面直线既不相交，也不平行. 六、空间两条直线的位置关系七、基本事实4与等角定理1 基本事实4 2 等角定理 （1）自然语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 七、基本事实4与等角定理知识剖析 （1）空间等角定理实质上是由如下两个结论合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补. （2）空间等角定理表明把空间中的一个角平移后角的大小不变. （3）由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.七、基本事实4与等角定理八、异面直线1 异面直线的画法 画异面直线时，为了充分表示它们既不平行也不相交的特点，常常以辅助平面作为衬托，以加强直观性.常见的异面直线的画法,如图所示.2 异面直线所成的角  八、异面直线 . .八、异面直线九、直线与平面平行 直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的性质定理 九、直线与平面平行直线与平面垂直的判定定理. .十、直线与平面垂直 十、直线与平面垂直直线与平面垂直的性质定理知识剖析 1.除基本事实4和直线与平面平行的性质定理外，这个定理也常被用来证明两条直线平行. 2.该性质定理揭示了平行与垂直之间的内在联系.. .十、直线与平面垂直与线面垂直相关的几个重要结论 （1）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. （2）如果平面外一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么这条直线平行于这个平面． （3）如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直． （4）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离.. .. .十、直线与平面垂直2 直线与平面所成的角 十一、直线与平面所成的角 直线与平面所成的角的范围 十一、直线与平面所成的角1.两个平面的位置关系 两个平面的位置关系有： 十二、两个平面平行的判定与性质2.判定定理 十二、两个平面平行的判定与性质3.性质定理知识剖析 性质定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知此性质定理可用来证明线线平行.十二、两个平面平行的判定与性质4.两个平面平行的其他性质 （1）两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. （2）平行直线被两个平行平面所截得的线段长度相等. （3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. （4）两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. （5）如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.（平行平面的传递性）十二、两个平面平行的判定与性质十三、二面角大小的度量1 二面角的定义 （1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面. 2 二面角的平面角十三、二面角大小的度量3 二面角大小的度量 . .. .. .十三、二面角大小的度量十四、两个平面垂直的判定与性质1. 平面与平面垂直的判定定理知识剖析 平面与平面垂直的判定定理是判定两个平面互相垂直的依据.例如，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理.2. 平面与平面垂直的性质定理十四、两个平面垂直的判定与性质知识剖析 1.平面与平面垂直的性质定理成立的条件有三个： （1）两个平面垂直；（2）有一条直线在其中一个平面内；（3）这条直线垂直于两个平面的交线. 2.如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交（含垂直）或异面. 3.平面与平面垂直的性质定理的作用：（1）证明线面垂直、线线垂直；（2）构造面的垂线.. .. .十四、两个平面垂直的判定与性质3. 平面与平面垂直的其他性质与结论 十四、两个平面垂直的判定与性质十五、空间图形的表面积1 直棱柱及其侧面积 （1）直棱柱的概念 侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱.底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱.直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高.（两底面所在平面之间的距离） 2 正棱锥及其侧面积 （1）正棱锥的概念 如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面中心,那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形. 十五、空间图形的表面积3 正棱台及其侧面积 （1）正棱台的概念 正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分叫作正棱台.正棱台的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰梯形.（两底面是相似的正多边形） 十五、空间图形的表面积4 正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系5 圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式之间的关系 圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式之间的关系可用图表示.十五、空间图形的表面积十六、空间图形的体积1 柱体的体积 2 锥体的体积 十六、空间图形的体积3 台体的体积 4 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系十六、空间图形的体积5 球的体积 6 球的表面积 题型一、棱柱、棱锥与棱台例1 下列说法正确的是( )BA.棱柱中相邻两个面的公共边叫作侧棱B.棱柱中至少有两个面的形状完全相同C.棱柱中所有的棱长都相等D.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的空间图形一定是棱柱【解析】A错误，底面和侧面的公共边不是侧棱；B正确，根据棱柱的特征知，棱柱的两个底面一定是全等的，故棱柱中至少有两个面的形状完全相同；C错误，棱柱中所有的侧棱都相等，棱不一定都相等;D错误，如图所示的空间图形就不是棱柱.题型一、棱柱、棱锥与棱台［多选题］(2025·河南省许昌市期中)下列说法正确的有( )ACA.棱锥的各个侧面都是三角形B.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥C.三棱锥的任何一个面均可作为底面D.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的空间图形是棱锥. 可作为顶点，即任何一个面均可作为底面,故C正确;因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面是有一个公共顶点的三角形”, 如图所示的空间图形并不是棱锥,故D不正确.［教材改编P155 T4］下列空间图形是棱台的是( )DA. B. C. D.  题型二、圆柱、圆锥、圆台   ［多选题］下列说法正确的是( )ACA.球的半径是球面上任意一点与球心的连线B.球面上任意两点的连线是球的直径C.用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面D.以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转形成的曲面叫作球【解析】A是正确的；B是错误的，只有两点的连线经过球心时才为直径；C是正确的；球面和球是两个不同的概念，以半圆的直径所在直线为旋转轴旋转一周形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球，故D错误.题型二、圆柱、圆锥、圆台［多选题］下列命题中正确的是( )A.直角三角形绕其一边所在直线旋转一周形成的空间图形是圆锥B.用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台C.圆锥可以看作圆柱的一个底面收缩到圆心时形成的空间图形D.等腰直角三角形绕底边中线所在的直线旋转一周形成的空间图形是圆锥CD题型二、圆柱、圆锥、圆台【解析】A不正确,只有绕直角边所在直线旋转一周形成的空间图形才是圆锥，而当以斜边所在直线为轴旋转一周时，旋转形成的空间图形不是圆锥,如图所示,它是由两个共底面的圆锥组成的空间图形.B不正确,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.C,D显然正确.题型二、圆柱、圆锥、圆台若轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱.已知某等边圆柱的轴截面面积为16，求该等边圆柱的底面周长和高.题型三、圆柱、圆锥、圆台的计算问题  题型三、圆柱、圆锥、圆台的计算问题 题型三、圆柱、圆锥、圆台的计算问题  题型三、圆柱、圆锥、圆台的计算问题 题型三、圆柱、圆锥、圆台的计算问题 题型三、圆柱、圆锥、圆台的计算问题   题型三、圆柱、圆锥、圆台的计算问题 圆台的轴截面如图，  题型三、圆柱、圆锥、圆台的计算问题题型四、求空间图形表面上两点间最短离 （1）求这条绳长的最小值;（2）求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离.  题型四、求空间图形表面上两点间最短离 题型四、求空间图形表面上两点间最短离（2）求绳长最短时，圆台上底面圆周上的点到绳子的最短距离. 题型四、求空间图形表面上两点间最短离 题型五、点、线共面 题型五、点、线共面 题型五、点、线共面 题型五、点、线共面  题型五、点、线共面  题型五、点、线共面题型六、点共线、线共点 证明点共线的方法（1）先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知这些点都在这两个平面的交线上；（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.  题型六、点共线、线共点  题型六、点共线、线共点  题型六、点共线、线共点    题型六、点共线、线共点题型七、基本事实4及等角定理的应用    题型七、基本事实4及等角定理的应用 题型七、基本事实4及等角定理的应用   题型七、基本事实4及等角定理的应用  题型八、异面直线求角  题型八、异面直线求角 D 题型八、异面直线求角   题型八、异面直线求角（【另解】已知三边长，也可用余弦定理求角）   题型八、异面直线求角 C 题型八、异面直线求角   题型八、异面直线求角题型九、直线与平面平行的判定1 中位线模型  名师点评 从题中可以看到图中中点的特征（三等分点本身也提供了中点），尝试将它们放在一个三角形中进行探讨，寻找中位线，进而证明线线平行、线面平行.题型九、直线与平面平行的判定2 平行四边形模型  题型九、直线与平面平行的判定  题型九、直线与平面平行的判定  名师点评 由本题我们可以看到，相对于中位线模型，更容易得到平行四边形的结构特征，因此可尝试构造平行四边形寻找线线平行的条件.由方法2我们也可以利用平行线分线段成比例定理的逆定理得到线线平行，进而证明线面平行.题型九、直线与平面平行的判定使用直线与平面平行的判定定理的关键点使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，一般遵循“先找后作”的原则，即现有的平面中没有出现与已知直线平行的直线时，我们再考虑添加辅助线.具体操作中，我们可以利用空间图形的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.题型九、直线与平面平行的判定  题型九、直线与平面平行的判定题型十、直线与平面平行的性质    题型十、直线与平面平行的性质题型十一、直线与平面平行的垂直 4 题型十一、直线与平面平行的垂直   题型十一、直线与平面平行的垂直   . .题型十一、直线与平面平行的垂直 思路点拨▶ 要证线线垂直，可先证线面垂直. 名师点评 本题中的几何模型是线面垂直中另一种常见的模型——鳖臑，即四个面都为直角三角形的三棱锥.题型十一、直线与平面平行的垂直题型十二、两个平面平行的判定与性质    题型十二、两个平面平行的判定与性质知识回顾 三角形的“四心”（1）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心.重心到顶点的距离等于重心到对边中点的距离的2倍.（2）三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心.外心到三角形三个顶点的距离相等.（3）三角形三条高线的交点叫三角形的垂心.（4）三角形三个角的角平分线的交点叫三角形的内心.内心到三角形三边的距离相等.题型十二、两个平面平行的判定与性质  题型十二、两个平面平行的判定与性质   题型十三、求二面角   题型十三、求二面角 题型十三、求二面角 求二面角大小的步骤先作出（找出）二面角的平面角,然后证明它是二面角的平面角，接着求出这个角的大小，最后说明二面角为多少度，这个过程可以简记为:作（找）、证、求、答.题型十三、求二面角  题型十三、求二面角  题型十三、求二面角 题型十三、求二面角    题型十四、两个平面垂直的判定与性质     题型十四、两个平面垂直的判定与性质证明面面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过面面垂直的判定定理来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.除了用判定定理证明面面垂直之外还有如下方法可证明面面垂直：（1）利用平面与平面垂直的定义，若两个平面所成的二面角是直二面角，则两平面垂直.（2）若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直.（3）若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面.注意：（2）（3）不能用于解答题.题型十四、两个平面垂直的判定与性质   题型十四、两个平面垂直的判定与性质   题型十四、两个平面垂直的判定与性质  题型十四、两个平面垂直的判定与性质 题型十四、两个平面垂直的判定与性质  题型十四、两个平面垂直的判定与性质  题型十四、两个平面垂直的判定与性质题型十五、空间图形的表面积和体积   把一个棱长为2的正方体木块，切出一个最大体积的圆柱，则该圆柱的体积为( )C   题型十五、空间图形的表面积和体积   题型十五、空间图形的表面积和体积 B 【解析】由题意作图. 题型十五、空间图形的表面积和体积1.下列叙述正确的是( )BA.棱柱的侧面都是矩形B.五棱锥共有六个面C.用一平面去截棱锥，截面与底面之间的部分是棱台D.用一平面截三棱锥，所得截面一定是三角形【解析】棱柱的侧面是平行四边形，不一定是矩形，故A不正确；B显然正确；只有截面与底面平行时，截面与底面之间的部分才是棱台，故C不正确;用一平面截三棱锥，截面也可能是四边形，故D不正确.2.如图所示的物体，是旋转体的有__________（将所有正确的序号都填上）．①④⑦⑧【解析】图②③⑤⑥是多面体；图①是圆柱，图④是圆锥，图⑦是圆台，图⑧是球，因此①④⑦⑧是旋转体．3.(2025·福建省莆田第八中学月考)一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面图形不可能是( )DA. B. C. D. 【解析】当截面不经过正方体的顶点，且与正方体的两相对面不平行时截面图形为A；当截面过正方体的体对角线时截面图形为B；当截面与正方体的两相对面平行时截面图形为C；无论怎样作截面，都不可能出现截面图形为D的情况． BA.必定只有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线  ABC   AD    D   C                    我们首先从直观上认识了柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征.借助长方体模型，抽象出空间点、线、面的位置关系.学习了可作为推理依据的4个基本事实，以及线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理，并运用这些知识解决有关空间位置关系的简单推理论证及应用问题。感谢聆听!