2026届高考一轮复习基础练数学第三章 导数及其应用（第3节 导数与函数的极值、最值）

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可导函数在某点处 取得极值的条件：
课标要求：借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大 值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值 的关系.
易错提醒：函数的极值点不是点,是使函数f(x)取得极值的x的值,是一个实数.
题型分类：①求函数的极值或极值点的个数；②已知函数的极值(点)求参数:14-T5.
教材素材变式
1.[多选][人A选必二P92练习第1题变式] 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 点(1,0)是f(x)的极大值点
B. f(x)在x=−1处取得极值
C. f(x)在区间(−1,2)上单调递增
D. f(x)的图象在x=1处的切线斜率大于零
2.[2023新高考II卷] 函数f(x)=(x−1)ex−13x3的极值点个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.[2025广东模拟][多选] 设函数f(x)=ex(x2−ax+1)，若f(x)在x=2处取得极小值，则实数a的可能值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.[2024浙江高考] 若函数f(x)=13x3−bx2+(2b+1)x无极值，则实数b的取值范围是________。
变式探究
变式1：已知极值求参
[2023北京高考] 已知函数f(x)=x3+mx2+nx在x=1处取得极小值−2，则m+n=________。
变式2：在区间上有极值
[2024江苏模拟] 若函数f(x)=ex−kx在区间(1,3)上有极值，则实数k的取值范围是（ ）
A. (e,e3) B. (0,e) C. (e3,+∞) D. (1,e3)
知识点32 利用导数研究函数的最值问题
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求函数f(x) 在区间[a,b]上的最值的方法：
1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(递减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值.
2.若函数f(x)在区间[a,b]上有极值,则要先求出函数f(x)在(a,b)上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值。
3.若函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,则这个极值点一定是最值点.
注意：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,一般要根据函数的极值及单调性画出函数的大致图象,借助图象求解.
题型分类：①求函数的最值 ②已知函数的最值求参数 ③函数的最值的应用.
教材素材变式
1.[2024全国乙卷] 函数f(x)=xcsx−sinx在区间[0,2π]的最大值、最小值分别为（ ）
A. 0,−π B. π2,−π2 C. 0,−2π D. π,−π
2.[2025山东模拟][多选] 已知函数f(x)=x2ex，下列结论正确的是（ ）
A. f(x)在x=2处取得最大值4e2
B. f(x)在x=0处取得最小值0
C. 若x∈[0,t]时f(x)max=4e2，则t≥2
D. f(x)有2个零点
3.[2023新课标I卷] 当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值2，则f′(2)=（ ）
A. −1 B. −12 C. 12 D. 1
变式探究更新
变式1：区间含参求最值
[2024天津高考] 若函数f(x)=x3−3x在(a,6−a2)上有最大值，则实数a的取值范围是________。
变式2：最值的应用
[2025湖南模拟] 已知函数f(x)=lnx+1x，若对任意x∈[1,e]，f(x)≤ax恒成立，则实数a的最小值为________。
知识点31 利用导数研究函数的极值问题
教材素材变式
1.答案：B, C, D
解析：
A选项：点(1,0)是导函数的零点，但根据图象，导数在x=1左右两侧均为正，故不是极值点。
B选项：x=−1处导数为零且两侧导数异号，故f(x)在x=−1处取得极值。
C选项：在区间(−1,2)上，导数f′(x)>0，故f(x)单调递增。
D选项：x=1处的导数值大于零，故切线斜率大于零。
2.答案：C
解析：求导f′(x)=xex−x2=x(ex−x)，令f′(x)=0，得x=0或ex=x（无解）。分析导数符号：x0，故x=0为极小值点；再求二阶导数f″(x)=(x+1)ex−2x，当x很大时f′(x)递增，存在x0>0使f′(x0)=0，故共有2个极值点。
3.答案：B, C
解析：f′(x)=ex[x2+(2−a)x+(1−a)]，由f′(1)=0得1+(2−a)+(1−a)=0，解得a=2。但需验证极值：当a=2时，f′(x)=ex(x2+0x−1)，x=1两侧导数由负变正，为极小值；当a=3，f′(x)=ex(x2−x−2)，根为x=−1,2，x=2处导数由负变正，为极小值。
4. 答案：b=1
解析：f′(x)=x2−2bx+2b+1，无极值则Δ=4b2−4(2b+1)≤0，即(b−1)2≤0，故b=1。
变式1：答案：−3
解析：f(1)=1+m+n=−2，f′(1)=3+2m+n=0，联立得m=0，n=−3，故m+n=−3。
变式2：答案：A
解析：f′(x)=ex−k=0在(1,3)有解，即k∈(e,e3)。
知识点32 利用导数研究函数的最值问题
教材素材变式
1. 答案：A
解析：f′(x)=−xsinx，在[0,π]上f′(x)≤0，递减；[π,2π]上f′(x)≥0，递增。f(0)=0，f(π)=−π，f(2π)=0，故最大值0，最小值−π。
2. 答案：A, B, C,
解析：f′(x)=2x−x2ex，极值点x=0,2，x=2为极大值点，f(2)=4e2；x=0为极小值点，f(0)=0；零点为x=0和x=0,选项D错误，正确应为1个零点。
3.答案：C
解析：f′(1)=a−b=0，a=b=2，f′(2)=22−24=1−12=12。
变式1：答案：(−5,−2]
解析：f′(x)=3(x2−1)，极大值点x=−1，f(−1)=2。需满足a