2026届高考一轮复习基础练数学第二章 函数及其性质（第9节 函数模型的应用）

这是一份2026届高考一轮复习基础练数学第二章 函数及其性质（第9节 函数模型的应用），共10页。试卷主要包含了[人A必修-P119习题4，5微克，[人A必修-P156习题4，某企业的生产成本 y，某食品的保鲜时间 y，某景区的每日游客人数 y等内容，欢迎下载使用。
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解决图表型函数的实际应用问题的策略：
(1) 明确横轴、纵轴的意义，分析其在题目中的具体含义；
(2) 由图象判断出函数模型；
(3) 抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点（最大值点）、最低点（最小值点）及折线的拐点等；
(4) 通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题，根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势进行求解。
教材素材变式
1.[人A必修-P119习题4.2第5题变式] 已知一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据所满足的规律，其中最接近的一个函数是（ ）
A. y=2lg2x
B. y=2x−2+1
C. y=12x2−12
D. y=3x−3
2.[多选][人A必修-P161复习参考题4第13题变式] 某医药研究机构研发了一种新药，患者每次按规定剂量注射后，每毫升血液中的含药量 y（单位：微克）随时间 t（单位：小时）变化的图象近似符合如图所示的曲线，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时治疗该病有效，则下列说法正确的是（ ）
A. a=3
B. 注射一次该药物的有效治疗时长为6小时
C. 注射后 18 小时后每毫升血液含药量为0.5微克
D. 按规定注射一次该药物,治疗该病的有效时 长为19132小时
3.[2022北京卷][人A必修一P155习题4.5第9题变式] 国家速滑馆“冰丝带”使用二氧化碳跨临界直冷制冰技术，下图中描述了二氧化碳所处状态与温度 T（单位：K）和 lgP（P 为压强，单位：bar）的关系。下列结论正确的是（ ）
A. 当 T=220，P=1026 时，二氧化碳处于液态
B. 当 T=270，P=128 时，二氧化碳处于气态
C. 当 T=300，P=9987 时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当 T=360，P=729 时，二氧化碳处于超临界状态
变式探究
变式1：某社区超市统计了一周内顾客人数 y 与时间 x（x=1 表示周一，x=7 表示周日）的关系，得到如下数据：
若用一次函数模型拟合，则函数关系式为（ ）
A. y=50x+270
B. y=60x+260
C. y=70x+250
D. y=80x+240
变式2：某工厂的废气处理设备在运行过程中，排放的污染物浓度 y（mg/m³）与运行时间 t（h）的关系如图所示，其中前2小时为直线变化，2小时后为指数型变化。已知初始浓度为80mg/m³，2小时后浓度为20mg/m³，则2.5小时时的污染物浓度为（ ）
A. 10mg/m³
B. 102mg/m³
C. 15mg/m³
D. 52mg/m³
变式3：某电商平台统计了近5个月的销售额 y（万元）与月份 x 的数据，如下表所示：
若用指数型函数模型 y=abx+c 拟合，且已知 a=100，c=20，则 b 的值约为（ ）（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
变式4：某商场统计了近6个月的销售额 y（万元）与月份 x 的关系，得到如下数据：
若用二次函数模型拟合，设 y=ax2+bx+c，则下列说法正确的是（ ）
A. a>0，b>0，c>0
B. a>0，b0
C. a0，c>0
D. a10p3 C. p3=100p0 D. p1≤100p2
4.[人A必修-P156习题4.5第14题变式] 某型号电动汽车在平坦道路测试，每小时耗电量 M（Wh）与速度 v（km/h）的数据如下：
现有三种函数模型：
M(v)=150v3+bv2+cv，M(v)=2000(34)v+a，M(v)=400lgav+b。
(1) 当 0≤v≤60 时，选择最符合数据的函数模型并求解析式；
(2) 汽车从A地到B地，前40km为国道（限速60km/h），后50km为高速路，高速路上耗电量 N(v)=v2−90v+8500（600；对称轴x=−b2a，因x=1到x=6销售额递增，对称轴在x=6左侧，故−b2a0，得b>−12a，结合数据递增趋势，b>0；x=0时y=c，由x=1,y=100，a>0,b>0，得c=100−a−b0，故选A。
知识点25 已知函数模型或构造函数模型解决实际问题
1.答案：A
解析：指数函数y=15×1.1x呈爆炸式增长，长远看收益增长最快，故选A。
2.答案：D
解析：设弹跳n次，速度vn=32×(0.75)n4，n=8时v8≈4.272×0.75≈3.20410p3，B正确；p3=1000p0，C错误；p1≤p0⋅1011020=p0⋅105.5=100⋅103.5p0=100p2，D正确。
4.解：
(1) 选择三次函数模型M(v)=150v3+bv2+cv，代入v=20,M=1600：150×8000+400b+20c=160，即160+400b+20c=160，得400b+20c=0 ①；代入v=50,M=5000：150×125000+2500b+50c=2500+2500b+50c=5000，得2500b+50c=2500 ②；由①得20b+c=0，代入②得2500b+50(−20b)=2500，2500b−1000b=1500b=2500，解得b=53，c=−20×53=−1003，故解析式为M(v)=150v3+53v2−1003v。
(2) 国道上速度v1∈[0,60]，耗时40v1小时，耗电量M(v1)⋅40v1=(150v12+53v1−1003)⋅40；高速路上速度v2∈(60,120]，耗时50v2小时，耗电量N(v2)⋅50v2=(v22−90v2+8500)⋅50v2=50(v2+8500v2−90)。总耗电量W=40(150v12+53v1−1003)+50(v2+8500v2−90)。国道上求150v12+53v1−1003最小值，对称轴v1=−532×150=−12530，取v1=20时M=1600，对应单位能耗80Wh/km）；高速路上v2+8500v2≥28500≈184.39，当v2=8500≈92.195时取等，故总耗电量最小为40×(150×602+53×60−1003)+50(28500−90)，计算得约40×(72+100−1003)+50×(184.39−90)≈40×216+300−1003+50×94.39≈40×4163+4719.5≈5546.67+4719.5≈10266.17Wh，即约10266Wh，此时v1=60km/h，v2≈92.2km/h（注：实际计算需更精确，此处取近似值）。
5.答案：A
解析：由对勾函数性质，y=x+16x+10≥2x⋅16x+10=18，当且仅当x=16x，即x=4时取等，故选A。
6.答案：A
解析：由题意192=eb48=e22k+b，得e22k=48192=14，故e11k=12，则℃33℃时y=e33k+b=e33k⋅eb=(e11k)3⋅192=(12)3×192=24h，选A。
7.答案：C
解析：利润L=(x−20)y=(x−20)(−2x+200)=−2x2+240x−4000，对称轴x=−2402×(−2)=60，故x=60时，Lmax=−2×3600+240×60−4000=−7200+14400−4000=3200元，选C。
8.答案：B
解析：（1）当 050 时，当 x 趋近于 50 时，利润为：
L(50+)=1000−1000050=1000−200=800（千元）
然而，需注意 x=50 不属于 x>50 的区间，且当 x 增大时，L(x) 虽递增，但始终满足：
L(x)=1000−10000x50 时，利润始终小于 1000 千元，而在 00 且 a≠1，b≠0）
对数型函数模型
f(x)=blgax+c（a,b,c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0）
幂型函数模型
f(x)=axn+b（a,b,n 为常数，a≠0，n≠1）
对勾函数模型
f(x)=x+kx（k 为常数，且 k>0）
分段函数模型
实质上是以上两个或两个以上函数的综合，应用广泛
声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
80~110
混合动力汽车
10
70~80
电动汽车
10
60
v
0
20
50
60
M
0
1600
5000
7200