湖南衡阳祁东县2023~2024学年高一下册期末统考数学试卷[附解析]

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
4.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第二册.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3 给出下列四个结论：
①经过两条相交直线，有且只有一个平面；
②经过两条平行直线，有且只有一个平面；
③经过三点，有且只有一个平面；
④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.
其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知小王 4 次月考的数学成绩分别为 125，116，120，131，则这些成绩的第 75 百分位数是（ ）
A. 122.5 B. 125 C. 128 D. 131
5. 从标有数字 1，2，3，4 的四张卡片中任取两张，这两张卡片上的数字相邻的概率是（ ）
A B. C. D.
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6. 某商品 3〜5 月份在甲、乙、丙、丁四个地区的销量如下图所示，则在这四个地区中该商品 3〜5 月份销
量方差最小的为（ ）
A. 甲地区 B. 乙地区 C. 丙地区 D. 丁地区
7. 已知方程 的根分别为 ，则
（ ）
A 0 B. 2 C. D.
8. 在正方体 中， 为线段 的中点， 为线段 上的动点，则 与平面
所成角的正弦值的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 记 的内角 的对边分别为 ，下列结论正确的是（ ）
A 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则 的外接圆的半径为 4
D. 若 ，则
10. 在抛掷一个质地均匀的骰子的试验中，事件 A 表示“出现小于 5 的奇数点数”，事件 B 表示“出现不小于
5 的点数”，则下列结论正确的是（ ）
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A.
B.
C.
D. 事件 或 至少有一个发生的概率为
11. 如图 1，一圆形纸片的圆心为 O，半径为 ，以 O 为中心作正六边形 ，以正六边形的各边
为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆 O 上.现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形
如图 2 所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该正六
棱台的高为 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 正六边形 的边长为 4
B. 该正六棱台 侧面积为
C. 该正六棱台的外接球半径为
D. 该正六棱台的体积为
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 某中学高一年级有男生 640 人，女生 480 人.为了解该年级男､女学生的身高差异，应采用__________（从
“简单随机”和“分层随机”中选一个最合适的填入）抽样.若样本容量为 112，则应抽取的女生人数为
__________.
13. 现用一枚甲型导弹和一枚乙型导弹各射击目标一次，则目标被击中的概率为 .已知一枚甲型导弹击中
目标的概率是 ，且甲､乙两种导弹是否击中目标互不影响，则一枚乙型导弹击中目标的概率是__________.
14. 已知点 是 的内心， ，则 面积的最大值为__________.
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四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量 满足 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 与 夹角的大小．
16. 为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中 100 棵树木的底部周长（单位: ，
所得数据都在 内，按 分成五组，得到如图所
示的频率分布直方图.
（1）求图中 的值;
（2）估计这片林木中树木底部周长的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若这片林木有 10000 棵树木，估计这片林木中底部周长在 内的树木的数量.
17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，求 的周长．
18. 为普及防火救灾知识，某学校组织防火救灾知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手在第一轮比赛胜
出后才能进入第二轮比赛.若其在两轮比赛中均胜出，则赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的
概率分别为 ；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为 ，甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互
不影响，
（1）比较甲､乙两人谁赢得比赛的概率大；
（2）求甲赢得比赛且乙没赢得比赛的概率.
19. 在四棱锥 中， 平面 ，平面 平面
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分别为 的中点．
（1）证明： 平面 ．
（2）证明： ．
（3）若二面角 的正切值为 ，求三棱锥 的体积．
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