2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 记的内角，，的对边分别为，，，若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知某圆柱的高为，底面半径为，则该圆柱的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在正方形网格中，向量，满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件“两枚骰子的点数都是奇数”，事件“两枚骰子的点数都是偶数”，事件“两枚骰子点数之和为奇数”，则事件与事件(    )

A. 不互斥 B. 互斥但不对立 C. 互为对立 D. 以上说法都不对

6. 一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，若这组数据的极差为，则这组数据的方差为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分除去两个球冠如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 如图，四边形的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则(    )

A.
B.
C. 四边形的周长为
D. 四边形的面积为

10. 已知复数，，，，且为纯虚数，，则(    )

A.  B.
C.  D. 的共轭复数为

11. 从参加安全知识竞赛的学生中随机抽出名学生，将其成绩均为整数整理后画出的频率分布直方图如图所示．已知分以下的学生共人，则下列说法正确的是(    )

A.
B. 这名学生的平均成绩约为分
C. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的中位数约为分
D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数约为分

12. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面交棱于，则(    )

A. 当时，截面为等腰梯形
B. 当时，截面为六边形
C. 当时，截面面积为
D. 当时，截面与平面所成的锐二面角的正切值为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. ______．
14. 驾照考试一共有四个科目：科目一驾驶员理论考试、科目二场地驾驶技能考试、科目三道路驾驶技能考试、科目四安全文明驾驶常识考试只有四个科目都通过才能取得驾照．若某学员四个科目通过的概率依次是，，，，且每个科目是否通过相互之间没有影响，则该学员拿到驾照的概率为______．
15. 记的内角，，的对边分别为，，，若，且，则______，边上的高为______．
16. 剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了年北京冬奥会的节目雪花之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”如图所示，它的平面图可简化为图的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，为该平面图形上的一个动点含边界，六边形为正六边形，，，为等边三角形，则的最大值为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知点，，．
    求向量与夹角的余弦值；
    若向量，求实数的值．
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，且平面底面，，为与的交点．
    求四棱锥的体积：
    证明：．

19. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，在，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题．
    求的大小；
    若的面积为，且，求的周长；
    注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 某农户从一批待售的苹果中随机抽取个，对样本中每个苹果称重，数据如表．

若将这批苹果按质量大小进行分级，质量不小于千克的苹果为一级果；质量不小于千克且小于千克的苹果为二级果；质量在千克以下的苹果为三级果．
从样本中按等级进行分层抽样，随机抽取个苹果放入袋子，现采用不放回方式从袋子中依次随机取出个苹果，求第二次取到二级果的概率．
若将这批苹果按等级出售，一级果的售价为元千克；二级果的售价为元千克；三级果的售价为元千克．经估算，这批苹果有个，求该批苹果的销售收入约为多少元．同一组中的数据用该组区间的中点值作代表

21. 如图，四棱柱的底面为正方形，为的中点，底，．
    求证：平面平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

22. 甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜局得分，负局或平局都不得分，积分先达到分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，设有人积分达到分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
    求第三局结束时乙获胜的概率；
    求甲获胜的概率．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出对应点的坐标得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为，则为锐角，且，
因为，由正弦定理可得．
故选：．
利用同角三角函数的基本关系以及正弦定理可求得的值．
本题考查正弦定理，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得该圆柱的体积为．
故选：．
直接利用圆柱体积的公式求解．
本题考查了圆柱的体积公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：以为轴，为轴建立坐标系，则，．
，，，．
．
令．
得到．
解得，．
所以．
故选：．
以为轴，为轴建立坐标系，求出各点坐标即可判断选项．
本题主要考查向量的坐标表示，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：事件“两枚骰子的点数是奇数或偶数”，事件“两枚骰子点数之和为奇数”即“两枚骰子点数为一个奇数，一个偶数”，
事件与事件一次试验不可能同时发生，但其中一个一定发生，
故选：．
根据随机事件的并事件、互斥事件、对立事件的概念直接判断．
本题考查了随机事件互斥事件、对立事件的概念，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，，这组数据的极差为，
，
，
这组数据的平均数为，
这组数据的方差为．
故选：．
根据这组数据的极差为可得，进一步确定值即可求出方差．
本题考查一组数据的极差与方差，考查学生数学运算的能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设事件为“他们的座位正好相邻”，
甲乙二人买到同一排，，，，个座位中的两个形成的样本空间为，
则，共包含个样本点，
其中事件，包含个样本点，则有，
所以他们的座位正好相邻的概率为．
故选：．
根据给定条件，利用古典概率公式结合列举法求解作答．
本题考查了古典概型概率计算相关知识，属于简单题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，得，，
所以两个球冠的表面积之和为，
灯笼中间球面的表面积为．
因为上下两个圆柱的侧面积之和为，
所以围成该灯笼所需布料的面积为．
故选：．
由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积．
本题考查球的性质，球冠的表面积，球的表面积，圆柱的侧面积，属基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图易得，由斜二测画法得，
在原图直角梯形中，，
易得，所以四边形的周长为，
面积为．
故选：．
根据斜二测画法的定义，求得边长，再求周长与面积即可．
本题考查斜二测画法，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为，，，，
又纯虚数，
所以，即，A正确；
因为，
且，
则，B错误；
因为，
所以，C错误；
的共轭复数为，D正确．
故选：．
由已知结合复数的四则运算及复数的概念分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了复数的四则运算及复数基本概念的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，得，A正确；
由，得，
所以名学生的平均成绩约为分，故B正确；
设这名学生成绩的中位数为分，则，得，故C错误；
设这名学生成绩的上四分位数为分，则，得，故D正确．
故选：．
利用频率分布直方图的性质直接求解．
本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于：当时，是当的中点，所以，又易证，

易证截面为等腰梯形，故A正确；
对于：当时，截面与的交点在的延长线上，
可得截面是五边形，故B错误，
对于：当时，则与重合，是的中点，截面即是菱形，
易得，，所以面积为，故C正确；

对于：当时，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设截面的一个法向量为，
则，令，则，，，
又易得为平面的法向量，
所以，，
所以可得截面与平面所成的锐二面角的余弦值为，可得正切值为，故D正确．
故选：．
当时，是当的中点，可得截面为等腰梯形判断；当时，截面是五边形可判断；当时，则与重合，是的中点，截面即是菱形，可求面积判断；当时，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求锐二面角的正切值判断．
本题考查空间几何体的性质，考查截面的形状，面面角的求法，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
结合复数的四则运算进行化简即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由独立事件的概率乘法公式可得，该学员拿到驾照的概率为，
故答案为：．
利用独立事件的概率乘法公式直接求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

15.【答案】  

【解析】解：由题意得，得，
所以为锐角，
所以，
由余弦定理，得．
设边上的高为，则，
得．
故答案为：；．
化简得到，再利用余弦定理求出，设边上的高为，利用三角形的面积公式得解．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：可以是与在上投影向量的数量积．
如图，把题中图的平面图形顺时针旋转，设正六边形的中心为，

连接，，连接，交于点，易得，在上，．
过作，垂足为点，过作，垂足为点．
由题意得，，所以，，
所以，所以易证四边形为矩形，
所以易得，
所以．
所以当与重合时，的最大值为，
即．
故答案为：．
由题意可知可以是与在上投影向量的数量积．结合图形可知当与重合时，取到最大值．
本题主要考查平面向量数量积的计算，平面向量的实际应用等知识，属于中等题．
 

17.【答案】解：根据题意，设向量与夹角为，
点，，，则，，
则有，，，
故；
根据题意，，，
若向量，则，
解可得；
故． 

【解析】根据题意，设向量与夹角为，求出、的坐标，进而可得、和的值，计算可得答案；
根据题意，向量，则，代入数据计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算和向量垂直的判断，属于基础题．
 

18.【答案】解：取的中点，连接，
为正三角形，，
平面底面，且平面底面，
底面，
；
证明：连接，
底面是正方形，，，
，平面，，平面，
，
，． 

【解析】取的中点，连接，得到底面，代入棱锥体积公式即可求解；
连接，得到平面，又，即可得证．
本题考查了四棱锥的体积计算和线线垂直的证明，属于中档题．
 

19.【答案】解：选择
由题意得，
得，
即；
选择
由题意得，即，
所以，
即；
由的面积，得，
由，得，
得，即，
故的周长为． 

【解析】选，由诱导公式以及二倍角的余弦公式可得出关于的二次方程，求出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
选，由正弦定理边角互化结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，进而可求得的周长．
本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由分层抽样法的定义知，从样本中按照等级分层抽样，随机抽取的个苹果中，
一级果有个，记为，二级果有个，记为，，，三级果有个，记为，
依次不放回地取出个，共包含个基本事件：，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，
设“第二次取到二级果”为事件，则事件包含个基本事件，
，
第二次取到二级果的概率为；
由样本知，这批苹果中一级果占，二级果占，三级果占，
所以个苹果中一级果有个，二级果有个，三级果有个，
一级果的质量约为千克，
二级果的质量约为千克，
三级果的质量约为千克，
总售价约为元，
该批苹果的销售收人约为元． 

【解析】根据分层抽样得定义分别求出三种等级得果子得个数，然后利用列举法结合古典概型即可得出答案；
先分别求出三个等级果子得个数，然后再求出三个等级果子得质量，从而可得出答案．
本题考查古典概型的概率公式，分层抽样，用样本估计总体，属基础题．
 

21.【答案】证明：因为四棱柱的底面为正方形，
所以，，，，
所以，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
同理平面，
又，
所以平面平面；
解：如图，连接，交于，连接，

则，
又，
所以，即，
因为底面，底面，
所以，又，
所以平面，
在平面内作，垂足为，则，
又，所以平面，
连接，则就是直线与平面所成的角，设为，
因为，，
所以，，
在中，，
在中，，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】由四棱柱的性质和已知可证得四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定可得平面，同理可证得平面，从而由面面平行的判定定理可证得结论；
连接，交于，连接，可证得平面，在平面内作，垂足为，连接，则就是直线与平面所成的角，再由已知求出，，从而可求出结果．
本题考查了面面平行的证明和线面角的计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：设事件为“第三局结束乙获胜”．
由题意知，乙每局获胜的概率为，不获胜的概率为．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有种情况：胜，不胜，胜，不胜，胜，胜．
故．
设事件为“甲获胜”．
若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率．
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有种情况：胜，不胜，胜，不胜，胜，胜．
此时的概率，
若第四局结束甲以积分分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为胜平或胜平负，总共有种情况：胜，平，平，胜，平，胜，平，胜，平，平，胜，胜，胜，平，负，胜，胜，负，平，胜，平，胜，负，胜，负，胜，平，胜，平，负，胜，胜，负，平，胜，胜．
此时的概率．
若第四局结束甲以积分分获胜，则乙的积分为分，总共有种情况：胜，平，平，平，平，胜，平，平，平，平，胜，平，平，平，平，胜．
此时的概率．
故． 

【解析】若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有种情况：胜，不胜，胜，不胜，胜，胜，利用相互独立事件概率乘法公式求解；
甲获胜分为：甲两局连胜，第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，第四局结束甲以积分分获胜，则甲第四局必定获胜，第四局结束甲以积分分获胜，则乙的积分为分，利用相互独立事件概率乘法公式求解．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．