湖南省衡阳市祁东县2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省衡阳市祁东县2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得.
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，
所以“”不能推出“”，“”能推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的每个点的纵坐标变为原来的倍，得到函数的图象，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
可得函数的图象，
将函数的图象的每个点的纵坐标变为原来的倍，横坐标保持不变，
可得函数的图象，所以.
故选：A.
4. 若对任意恒成立，且，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】由对任意恒成立，
令，得，
解得.
故选：B.
5. 若矩形的周长为4，则的最小值为（ ）
A. 8B. 4C. 9D. 4.5
【答案】D
【解析】由矩形的周长为4，得，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
则的最小值为.
故选：D.
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，解得；
则
.
故选：D.
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵且，函数在0,+∞上单调递减，
∴；
∵且，函数在上单调递减，
∴，∴；
∵幂函数恒大于0，∴；
∴.
故选：C.
8. 已知函数恰有个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于函数，显然为偶函数，
不妨令，则，
且当时，，
当时，，
且函数在上是递增的，
所以可作草图如下，
因为恰有个零点，
所以方程有四个不同的解，
即与的图像有四个交点，
所以或.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列判断正确的是（ ）
A.
B. 若一个扇形的圆心角为2，半径也为2，则该扇形的弧长为4
C.
D. 若一个扇形的圆心角为2，半径也为2，则该扇形的面积为4
【答案】BCD
【解析】A项，由诱导公式，故A错误；
BD项，扇形的圆心角为2，半径也为2，
则由扇形弧长公式可得弧长；
由扇形面积公式可得，故BD正确；
C项，，故C正确.
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 为奇函数B. 在上单调递增
C. 的最小正周期为D. 的图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为，，定义域关于原点对称，
又，所以奇函数，A正确；
由可得，，所以函数，在上单调递增，
所以在上单调递增，B正确；
因为，
所以是函数的周期，C错误；
因为，
函数的定义域为，，定义域关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，故的图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数且在上单调递减，则的值可能为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】BC
【解析】由于函数且在上单调递减，设，
当时，关于在定义域内单调递增，则，
在上单调递减，且在上恒成立，
即，解得，综上可知
当时，关于在定义域内单调递减，
则在上，
单调递增，即，解得，与矛盾，因此这种情况不成立.
由此可知，因此和符合题意.
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 关于，这两个函数，小郑和小李有各自不同的判断，小郑认为这两个函数都不是幂函数，小李认为是幂函数.若小郑和小李的判断都是错误的，则的值为_____________.
【答案】4
【解析】由题意可知，不是幂函数，则一定是是幂函数.
所以，即.
13. 若集合，，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】，有，
所以集合，
又，所以，解得：.
14. 如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为_____________.
【答案】
【解析】设，则，，
则，
则，
设该风景区面积为，则，
令，则，即
函数对称轴，
即当时，面积取最大值，此时.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域.
解：（1）设的周期，在区间的长度为的，
故，
计算得：，故，，
即，解得，，
又因为，故，所以.
（2）在上，，故，
因此，即在上的值域.
16. 已知函数的定义域为，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）由有意义可得，解得且，
所以函数的定义域为且，所以且，
又，，故，
所以且.
（2）由（1）或，，
当时，即时，，此时，
当时，，由可得，或，解得，，
所以的取值范围为或.
17. 已知函数.
（1）证明：的图像关于直线对称.
（2）求的单调递减区间.
（3）若，求的值.
解：（1），
，
，
令，解得，令，则，
即的图像关于直线对称.
（2）令，
解得，
的单调递减区间：.
（3）由题意知，，
∵，∴，
∴，
∴，
∴.
18. 已知命题，.
（1）写出命题的否定；
（2）判断命题的真假，说明你的理由.
（3）若，比较与大小.
解：（1）命题的否定：，.
（2）命题为真命题，因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以命题为真命题.
（3）设，所以比较与大小即可，
由（2）可知当，，故时，，
故，即 ，等式在，即时也成立，
因此对于，.
19. （1）求函数的值域.
（2）已知.
①求的最大值；
②已知函数在上单调递减，在上单调递增，求的最小值.
解：（1）因为，
令，则，所以，，
因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
所以，
所以函数的值域为.
（2）①因为，所以，
根据方程左右两侧的结构特点考虑构造函数，则，
因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以，
所以，
所以的最大值为，此时，，
②由①知，，故，
所以，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数取最小值，最小值为，
所以当，即时，取最小值，最小值为.