湖南省衡阳市2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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1.下列几何体中，顶点个数最少的是（ ）
A.四棱锥B.长方体C.四棱台D.四面体
2.（ ）
A.B.
C.D.
3.已知直线，及平面，，且，，下列命题正确的是（ ）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
4.已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ）
A.0B.C.D.
5.将颜色为红、黄、白的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球，乙分得黄球或甲分得黄球、乙分得红球”互为对立事件的是（ ）
A.甲分得黄球B.甲分得白球
C 丙没有分得白球D.甲分得白球，乙分得黄球
6.在矩形中，若，且，则（ ）
A.3B.1C.2D.4
7.如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）
A.300mB.600mC.D.
8.在正三棱柱中，，M是AB的中点，N是棱上的动点，则直线与平面所成角的正切值的最大值为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.如图，在长方体中，点M，N，E，F分别在棱，，，上，且平面平面，下列结论正确是（ ）
A.B.
C D.平面
10.Z国进口的天然气主要分为液化天然气和气态天然气两类.2023年Z国天然气进口11997吨，其中液化天然气进口7132吨，气态天然气进口4865吨.2023年Z国天然气及气态天然气进口来源分布及数据如图所示：
下列结论正确的是（ ）
A.2023年Z国从B国进口的液化天然气比从A国进口的多
B.2023年Z国没有从A国进口液化天然气
C.2023年Z国从C国进口的液化天然气一定比从D国进口的多
D.2023年Z国从B国进口的液化天然气一定比从D国进口的多
11.在中，D是BC的中点，，，下列结论正确的是（ ）
A.若，则B.面积的最大值为
C.D.若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知复数，则__________.
13.在某次调查中，采用分层随机抽样的方法得到10个A类样本，30个B类样本.若A类样本的平均数为5.5，总体的平均数为4，则B类样本的平均数为______.
14.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.已知向量，.
（1）若，求；
（2）若向量，，求与夹角的余弦值.
16.在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的周长.
17.为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试.已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组，第二组，…，第六组.整理数据得到如图所示的频率分布直方图.
（1）该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；
（2）若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在内的概率.
18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.

（1）证明：；
（2）求三棱锥体积；
（3）求二面角的余弦值.
19.在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是，每场比赛的结果相互独立.
（1）求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；
（2）已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.