苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义第13讲圆锥的侧面积(2种题型)(学生版+解析)

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1.体会圆锥侧面积的探索过程.
2.会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题.
重点：体会圆锥侧面积的探索过程，了解圆锥侧面积的计算公式，并会应用其解决问题.
难点：会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题.
一、圆柱的计算
（1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
（2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高
（3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积
（4）圆柱的体积＝底面积×高．
二、圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
一．圆锥的计算（共21小题）
1．（2023•新吴区二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．12πB．15πC．20πD．24π
【分析】先根据勾股定理的逆定理可知为直角三角形，以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，母线是5，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵32+42＝52，
∴这个三角形为直角三角形，两直角边为3，4，斜边为5，
∴以直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，母线是5，
∴×2π×4×5＝20π．
故选：C．
【点评】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，勾股定理的逆定理和圆锥的计算，解题关键是熟练运用公式．
2．（2023•盐城二模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．6B．12C．6πD．12π
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面半径为3，则底面周长＝6π，侧面积＝×6π×4＝12π．
故选：D．
【点评】本题考查圆锥的面积，解题的关键是利用圆的周长公式和扇形面积公式求解．
3．（2023•金坛区二模）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．12πcm2
【分析】已知底面半径即可求得底面周长，即展开图中，扇形的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：底面周长是2×4π＝8π，
则圆锥的侧面积是：×8π×6＝24π（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
4．（2023•建邺区一模）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点O在BD上，则BO的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接AC交BD于P点，如图，利用菱形的性质得到AC⊥BD，PB＝PD，∠ABP＝∠ABC＝30°，AB∥DC，则可计算出PA＝3，∠CDB＝∠ABD＝30°，BP＝3，则BD＝6，设圆锥的底面圆的半径为r，利用这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2πr＝，解得r＝1，由于⊙O于DA、DC相切时，BO的值最大，过O点作OH⊥DC于H，如图，则OH＝1，然后求出OD，从而得到BO的最大值．
【解答】解：连接AC交BD于P点，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，PB＝PD，∠ABP＝∠ABC＝30°，AB∥DC，
∴PA＝AB＝3，∠CDB＝∠ABD＝30°，
∴BP＝AP＝3，
∴BD＝2BP＝6，
设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝1，
当⊙O与DA、DC相切时，BO的值最大，
过O点作OH⊥DC于H，如图，则OH＝1，
∴OD＝2OH＝2，
∴BO＝BD﹣OD＝6﹣2，
即BO的最大值是6﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了菱形的性质．
5．（2023•姑苏区校级一模）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设该圆锥母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×1＝，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥母线长为l，
根据题意得2π×1＝，
解得l＝2，
即该圆锥母线长为2．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．（2023•宜兴市一模）如果圆锥的母线长为5，底面半径为2，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．10B．10πC．20D．20π
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵圆锥的底面半径为2，
∴圆锥的底面周长为4π，
∴这个圆锥的侧面展开图扇形的弧长为4π，
∴这个圆锥的侧面积为：×4π×5＝10π，
故选：B．
【点评】本题考查的是扇形的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
7．（2023•苏州一模）一个圆锥的母线长为3cm，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则这个圆锥的底面圆半径为 （ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．cm
【分析】根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长＝＝2π（cm），设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，根据圆的周长公式得出2πr＝2π，再求出r即可．
【解答】解：圆锥的底面圆的周长＝＝2π（cm），
设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
则2πr＝2π，
解得：r＝1，
即这个圆锥的底面圆半径为1cm，
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，已知扇形的圆心角为n°，半径为r，那么扇形所对的弧的长度是．
8．（2023•锡山区模拟）如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．4πB．3πC．2πD．π
【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：锥的母线长＝＝3，
所以这个圆锥的侧面积＝•2π•1•3＝3π．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．（2022秋•兴化市期末）已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．12B．24C．12πD．24π
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．
【解答】解：它的侧面展开图的面积＝×2π×2×6＝12π．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键．
10．（2023•盱眙县模拟）若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 160° ．
【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解．
【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n，
根据题意得：2，
解得n＝160，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是160°，
故答案为：160°．
【点评】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长是解答本题的关键．
11．（2023•仪征市模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分别剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点O在BD上，则BO的最大值是 6﹣2 ．
【分析】由题意可得当⊙O与AD，CD相切时，BO的值最大，设⊙O与AD相切于点M，连接OM，连接AC交BD于点P，则OM⊥AD，根据菱形性质及三角函数求得BD的长度，再根据⊙O的周长等于扇形ABC的弧长求得OM的长，继而求得OD的长，最后利用线段的和差即可求得答案．
【解答】解：如图，由题意可得，当⊙O与AD，CD相切时，BO的值最大，
设⊙O与AD相切于点M，连接OM，连接AC交BD于点P，则OM⊥AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABP＝∠ADP＝∠ABC＝×60°＝30°，BD＝2BP，
∵cs∠ABP＝cs30°＝，
∴BP＝ABcs30°＝6×＝3，
∴BD＝6，
∵扇形ABC和⊙O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，
∴⊙O的周长等于扇形ABC的弧长，
即＝2π•OM，
∴OM＝1，
∵∠OMD＝90°，∠ODM＝30°，
∴OD＝2OM＝2，
∴BO＝BD﹣OD＝6﹣2，
故答案为：6﹣2．
【点评】本题考查圆与菱形，圆与圆锥的综合问题，由题意得出⊙O与AD，CD相切时，BO的值最大，并根据圆锥中底面圆的周长等于其侧面展开图的弧长求得圆的半径是解题的关键．
12．（2023•盐都区三模）已知圆锥侧面展开图圆心角的度数是120°，母线长为3，则圆锥的底面圆的半径是 1 ．
【分析】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
则2πr＝，
解得：r＝1，
即圆锥的底面圆的半径为1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
13．（2022秋•苏州期末）在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为60°的扇形（图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的半径；
（2）若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
【分析】（1）连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，得到∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，根据垂径定理，求得BC＝2BD，判定△ABC是等边三角形，计算即可．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得，计算即可．
【解答】解：（1）如图，连接BC，OB，OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵∠BAC＝60°，，AB＝AC，
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等边三角形，
∴，AB＝BC＝AC，
∴这个扇形的半径为3．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意，得，
解得．
故圆锥底面圆的半径为．
【点评】本题考查圆锥的计算，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
14．（2023•工业园区校级模拟）如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC将扇形EAF围成圆锥时，AE、AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角∠BAC＝90°．
（1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值；
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π）
【分析】（1）由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到π•DE＝，从而求出ED：AD即可；
（2）先根据等腰直角三角形的性质得到BC＝2AD＝20cm，再利用扇形的面积公式，利用S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算．
【解答】解：（1）根据题意得π•DE＝，
∴DE＝AD，
∴ED与母线AD长的比值为；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
而AD＝2DE＝10cm，
∴BC＝2AD＝20cm，
∴S阴影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF
＝×10×20﹣
＝（100﹣25π）cm2．
答：加工材料剩余部分的面积为（100﹣25π）cm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形的性质．
15．（2022秋•广陵区校级期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，写出D点的坐标为 （2，0） ；
（2）连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为 ；
（3）连接BC，将线段BC绕点D旋转一周，求线段BC扫过的面积．
【分析】（1）线段AB与BC的垂直平分线的交点为D；
（2）连接AC，先判断∠ADC＝90°，则可求的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，由此可求底面圆的半径；
（3）设BC的中点为E，线段BC的运动轨迹是以D为圆心DC、DE分别为半径的圆环面积．
【解答】解：（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点D，则D（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）连接AC，
∵A（0，4），B（4，4），C（6，2），
∴AD＝2，CD＝2，AC＝2，
∵AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴的长＝×2π×2＝π，
∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，
∴π＝2πr，
∴r＝，
故答案为：；
（3）设BC的中点为E，
∴E（5，3），
∴DE＝3，
∴S＝π×（CD2﹣DE2）＝2π，
∴线段BC扫过的面积是2π．
【点评】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键．
16．（2022秋•连云区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．
（1）请在图中标出圆心P点位置，写出点P的坐标；⊙P的半径为 2 ；
（2）判断点M（﹣2，1）与⊙P的位置关系；
（3）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积 5π ．
【分析】（1）利用网格特点画出BC和AB的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算PA长得到⊙P的半径；
（2）利用两点间的距离公式计算出PM，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△PAC为直角三角形，∠APC＝90°，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到2πr＝，求出r，从而得到该圆锥的底面积．
【解答】解：（1）如图，点P为所作，P点坐标为（2，﹣1），
PA＝＝2，
即⊙P的半径为2；
故答案为：2；
（2）∵P（2，﹣1），M（﹣2，1），
∴PM＝＝2，
∴PM的长等于圆的半径，
∴点M在⊙P上；
（3）∵PA＝PC＝2，AC＝＝2，
∴PA2+PC2＝AC2，
∴△PAC为直角三角形，∠APC＝90°，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，
解得r＝，
∴该圆锥的底面积＝π×（）2＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了坐标与图形性质和垂径定理．
17．（2022秋•姜堰区月考）一个水平放置的圆锥的主视图为底边长2cm、腰长4cm的等腰三角形．试求：（1）该圆锥的侧面积．
（2）圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求出底面半径OA＝1cm，根据圆锥侧面积的计算方法进行计算即可；
（2）根据弧长公式列方程求解即可．
【解答】解：如图，∵SA＝SB＝4cm，SO⊥AB，
∴OA＝OB＝AB＝1cm，
即圆锥的底面半径OA＝1cm，母线SA＝4cm，
∴S侧面积＝×底面周长×母线长
＝×2π×4
＝4π（cm2）；
（2）设扇形所占的圆心角的度数为n°，由题意可知，圆锥侧面展开图的扇形的弧长为2πcm，半径为4cm，设扇形所占的圆心角的度数为n°，
＝2π，
解得n＝90，
即圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角度数是90°．
【点评】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质，掌握弧长、扇形面积的计算公式是正确解答的前提．
18．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2）．请回答下列问题：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为点D，则点D的坐标为 （﹣2，0） ；
（2）在（1）的条件下，连接AD，CD，则扇形ADC所在圆的半径长为 2 ，∠ADC的度数为 90° ；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．（结果保留根号）
【分析】（1）利用垂径定理得出D点位置即可；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，再利用全等三角形的判定与性质得出∠ADC的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【解答】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）圆D的半径长＝＝2，
AC＝＝2，
AD2+CD2＝20+20＝40，
AC2＝40，
则AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
故答案为：2；90°；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为r，
则2πr＝，
解得，r＝．
【点评】此题主要考查了圆的综合以及圆锥侧面展开图以及弧长公式和全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合得出D点位置是解题关键．
19．（2022秋•盐都区期中）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D点，则D点坐标为 （﹣2，0） ；
（2）连接AD、CD，则圆D的半径长为 2 （结果保留根号）．∠ADC的度数为 90 °；
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长（结果保留根号）
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出D点位置，结合图形得到点D的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出⊙D的半径长，根据勾股定理的逆定理∠ADC的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【解答】解：（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）圆D的半径长＝＝2，
AC＝＝2，
AD2+CD2＝20+20＝40，
AC2＝40，
则AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
故答案为：2；90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为r，
则2πr＝，
解得，r＝．
【点评】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
20．（2022秋•鼓楼区校级月考）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝AD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr＝，解得r＝2，
这个圆锥的高h＝＝4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．
21．（2022秋•新吴区期中）如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，D点坐标为 （2，0） ；
（2）连接AD、CD，求⊙D的半径及扇形DAC的圆心角度数；
（3）若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径．
【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标；
（2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°；
（3）求得弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：（1）如图；D（2，0）（4分）
（2）如图；；
作CE⊥x轴，垂足为E．
∵△AOD≌△DEC，
∴∠OAD＝∠CDE，
又∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠CDE+∠ADO＝90°，
∴扇形DAC的圆心角为90度；
（3）∵弧AC的长度即为圆锥底面圆的周长．l弧＝，
设圆锥底面圆半径为r，则，
∴．
【点评】本题用到的知识点为：非直径的弦的垂直平分线经过圆心；圆锥的弧长等于底面周长．
二．圆柱的计算（共3小题）
22．（2023•宿迁一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高．
23．（2022•宜兴市校级一模）如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是 20πcm2 ．
【分析】根据柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长和矩形的面积公式进行计算．
【解答】解：这个圆柱的侧面积＝5×2π×2＝20π（cm2）．
故答案为20πcm2．
【点评】本题考查了圆柱的计算：圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长．
24．（2021•江都区模拟）已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是 30π cm2．
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：π×2×3×5＝30πcm2，
故答案为30π．
【点评】本题考查了圆柱的计算，掌握圆柱侧面积的计算方法是解题的关键．
一、单选题
1．（2023·江苏·统考二模）已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则它的侧面展开图的面积是（ ）．
A．6B．12C．6πD．12π
【答案】D
【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可．
【详解】根据题意可知．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求圆锥的侧面积，掌握公式是解题的关键．即（其中r是底面半径，l是圆锥的母线）．
2．（2022·江苏无锡·校考二模）若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15B．12πC．15πD．30π
【答案】C
【分析】求出底面周长，即为侧面展开图的弧长，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】解：圆锥侧面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查求圆锥侧面积，掌握扇形面积公式是解题的关键．
3．（2020·江苏连云港·校考一模）如图所示，小红要制作一个母线长为，底面圆周长是的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则她所需纸板的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆锥的侧面积底面周长母线长即可得到解答．
【详解】解：∵底面圆周长是，母线长为，
∴圆锥形小漏斗的侧面积，
故选：．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．
4．（2023·江苏常州·校考一模）的斜边，一条直角边，以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆锥的侧面积公式求解即可．
【详解】解： 如图，圆锥的侧面积．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算，熟练掌握公式是解题的关键．
5．（2023·江苏常州·统考二模）已知圆锥的底面半径是，母线长为，则圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算．
【详解】解：圆锥的侧面积是．
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面积：，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．
6．（2023·江苏南通·统考二模）如图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三视图有圆，有三角形，由此可判断该几何体是圆锥；从图可看出该圆锥的底面圆的直径为12，圆锥的高为8，然后问题可求解．
【详解】解：由图可知：该几何体为圆锥，且该圆锥的底面圆的直径为12，圆锥的高为8，则该圆锥的母线长为，所以该几何体的侧面积为；
故选C．
【点睛】本题主要考查三视图及圆锥的侧面积，熟练掌握三视图及圆锥的侧面积公式是解题的关键．
7．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）将半径为4，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】设此圆锥底面圆的半径是，根据弧长公式可得，求解即可获得答案．
【详解】解：设此圆锥底面圆的半径是，
根据题意，可得 ，
解得 ，
即此圆锥底面圆的半径是1．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了计算弧长以及圆锥的相关计算，解题关键是理解圆锥的侧面展开图是一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长．
8．（2023·江苏扬州·校联考三模）如图，在菱形纸片中，，，分别剪出扇形和，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点在上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得的半径为，进而求得，当与相切时，取得最大值，根据含度角的直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴的长为，
∴的半径为，
连接，则是等边三角形，，
∴
当与相切时，取得最大值，
设与相切于点，则
∵在菱形纸片中，，
∴，
∴
∴的最大值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆锥侧面积公式，切线的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
9．（2023·江苏无锡·统考二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线施转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，然后利用圆锥的侧面积（为底面圆周长）计算即可．
【详解】解：绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，
∴侧面积为：，
故选：C
【点睛】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥及圆锥的侧面积（为底面圆周长）．
10．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（ ）
A．8B．11C．10D．9
【答案】B
【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断；
【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．
底面圆的周长等于：
解得：n=120°；
连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°．

AB=6， BD=3，
∴
AC=2AD=，
即这根绳子的最短长度是，
故这根绳子的长度可能是11，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．（2023·江苏徐州·统考二模）用半径为20，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为___________．
【答案】5
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可．
【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r
根据题意得
解得
故答案为：5．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．（2022·江苏泰州·统考二模）底面半径为3，母线长为5的圆锥的高是 _________ ．
【答案】4
【分析】圆锥的母线长、底面半径与高组成一个直角三角形，其中母线长为斜边，由勾股定理即可完成．
【详解】由勾股定理得，圆锥的高为
故答案为：4
【点睛】本题考查了圆锥的母线、底面半径与高间的关系，用勾股定理是关键．
13．（2023春·江苏连云港·九年级校考期中）如图，正五边形的边长为4，以顶点A为圆心，长为半径画圆，若图中阴影部分恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥底面圆的半径是______．

【答案】
【分析】先利用正多边形内角和定理求出的度数，再根据圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长进行求解即可．
【详解】解：设这个圆锥底面圆的半径是r，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，正多边形内角，熟知圆锥底面圆的周长即为其展开图中扇形的弧长是解题的关键．
14．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的底面直径为________cm．
【答案】10
【分析】根据圆锥侧面的计算公式，求得底面半径，即可求解．
【详解】解：；
解得，所以直径为
故答案为：10．
【点睛】此题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥侧面积的计算公式．
15．（2023·江苏连云港·统考二模）如图，一把打开的雨伞可近似的看成一个圆锥，伞骨（面料下方能够把面料撑起来的支架）末端各点所在圆的直径长为12分米，伞骨长为10分米，那么制作这样的一把雨伞至少需要绸布面料为______平方分米．

【答案】
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据题意可得该圆锥的母线长为，则扇形的直径为，根据的长度可求出圆锥地面周长，即可得出扇形的弧长，最后根据扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵分米，
∴该圆锥底面周长为分米，
∴该圆锥侧面积（平方分米），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求圆锥侧面积，解题的关键是掌握圆锥的侧面展开图为 ，以及扇形面积公式．
16．（2022·江苏扬州·校考三模）圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长是___________．
【答案】4
【分析】利用弧长等于底面圆的周长方程求解即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为R，由题意得：
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握弧长公式各字母代表的含义正确代入计算，解此题的关键是掌握圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长．
17．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在菱形纸片中，，分别剪出扇形和，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面．若点在上，则的最大值是__________．

【答案】/
【分析】根据已知条件求得的半径为，进而求得，当与相切时，取得最大值，根据含度角的直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴的长为，
∴的半径为，
连接，则是等边三角形，，
∴
当与相切时，取得最大值，

设与相切于点，则
∵在菱形纸片中，，
∴，
∴
∴的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆锥侧面积公式，切线的性质，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
18．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为______°．
【答案】108
【分析】根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
【详解】解∶圆锥的底面半径为，底面周长为，
设原扇形纸板的圆心角度数为度，
解得．
故答案为∶108
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
三、解答题
19．（2021秋·江苏泰州·九年级统考期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ．
(1)求圆锥的高；
(2)求所需铁皮的面积（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径，
∴，，，
∴有中，
∴圆锥的高为．
（2）圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长，
∴扇形的弧长为，
∴扇形的面积为，
∴所需铁皮的面积为．
【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
20．（2022秋·江苏常州·九年级常州实验初中校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、、，
(1)经过A，B，Ｃ三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为___________
(2)的半径为___________（结果保留根号），的度数为___________
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径___________（结果保留根号）
(4)点M是第一象限网格中的一个格点，直线与相切，写出满足条件的点M的坐标___________
【答案】(1)；
(2)：，；
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据垂径定理可作和的垂直平分线，它们的交点即为D点；
（2）利用勾股定理可求得半径的长，根据勾股定理的逆定理可求得；
（3）先根据弧长公式求出的长，再根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长列式求出底面半径即可；
（4）根据和切线的性质可得，作出图形即可得到点M的坐标．
【详解】（1）解∶如图，分别作，的垂直平分线交于点D，则点D为所求圆心，
由图得，点D的坐标为，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，， ，
∴的半径为：，
∵，且，
∴，
∴，
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴的长为：，
设该圆锥底面半径为r，
则，
解得：，
即该圆锥底面半径为，
故答案为：；
（4）解：∵，
∴，
∵直线与相切，
∴，
∴，
如图，当，点M是第一象限网格中的一个格点时，M的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，弧长公式，圆锥的有关计算，切线的性质等知识，掌握确定圆心的方法是解题的关键．
21．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点均落在格点上．
(1)用无刻度直尺画出的最小覆盖圆的圆心（保留痕迹）；
(2)用圆规画出的最小覆盖圆，则的半径为 ， ；
(3)若将扇形围成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面圆的半径（结果保留根号）．
【答案】(1)见解析
(2)半径
(3)该圆锥的底面圆的半径为
【分析】（1）根据网格的特点画出的垂直平分线的交点，即为所求；
（2）根据网格的特点以及勾股定理即可求得半径，根据网格可得是等腰直角三角形，进而根据圆周角定理可得；
（3）根据（2）的结论代入弧长公式进行计算，进而求得该圆锥的底面圆的半径
【详解】（1）如图，点O即为所求.
（2）如图所示，半径，
∵是等腰直角三角形，
则，
∵，
∴，
（3）设该圆锥的底面圆的半径为

．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，画三角形的外接圆，网格中找等腰三角形，圆周角定理，弧长公式，求圆锥底面半径，综合运用以上知识是解题的关键．
22．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作：
(1)若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为_____；
(2)连接、，则的半径长为______，的度数为______；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_______．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)2，90°
(3)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出点位置，结合图形得到点的坐标；
（2）利用点的坐标结合勾股定理得出的半径长，根据勾股定理的逆定理的度数；
（3）利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长即可得出答案．
【详解】（1）解：分别作、的垂直平分线，两直线交于点，
则点即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点的坐标为，
故答案为：；
（2）圆的半径长，
，
，
，
则，
，
故答案为：；90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得，．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算、勾股定理及其逆定理，掌握扇形面积公式、正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
23．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期末）在半径为的圆形纸片中，剪出一个圆心角为的扇形（图中的阴影部分）．
(1)求这个扇形的半径；
(2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆半径．
【答案】(1)3
(2)
【分析】(1)连接，，过点O作，垂足为D，得到，，根据垂径定理，求得，判定是等边三角形，计算即可．
(2)设圆锥底面圆的半径为r，根据题意，得，计算即可．
【详解】（1）如图，连接，，过点O作，垂足为D，
∵，，，
∴，，是等边三角形，
∴，，
∴这个扇形的半径为3．
（2）设圆锥底面圆的半径为r，
根据题意，得，
解得．
故圆锥底面圆的半径为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，弧长公式，圆锥与扇形的关系，熟练掌握弧长公式，垂径定理，勾股定理是解题的关键．
24．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点．
(1)求证：与相切；
(2)过点B作的切线；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(3)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)能，理由见解析
【分析】（1）过点作于点，勾股定理求得可得是的半径，即可得证；
（2）作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，根据作图可得，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解；
（3）根据弧长公式求得的长，继而求得圆锥的底面半径，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切，继而求得的半径，比较与的大小，进而比较与圆锥底面半径的大小即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点作于点，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴是的半径，
又，
∴是的切线；
（2）如图，作线段的垂直平分线，交于点，作直线，则即为所求，
理由，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴是的切线；
（3）解：∵
∴，
∴
则圆锥的底面圆的半径为
如图，连接交于点，过点作于点，交于点，过点作于点，则与相切，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
由（1）可知之间的距离为，
∴,
∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴
设的半径为，则，
∴
解得
∴,
∴，
∴，
，
∵，
又，
∴，
即，
∵．
∴能从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面．
【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
一．选择题（共8小题）
1．（2022•锡山区一模）若圆柱的底面半径为3cm，母线长为4cm，则这个圆柱的侧面积为（ ）
A．12cm2B．24cm2C．12πcm2D．24πcm2
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：根据侧面积公式可得：π×2×3×4＝24πcm2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高．
2．（2022•周村区一模）如图，将半径为15cm的圆形纸片剪去圆心角为144°的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是（ ）
A．8cmB．12cmC．20cmD．18cm
【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，由于扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据弧长公式得2πr，解方程得r＝9，然后利用勾股定理可计算出圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr
解得r＝9，
所以圆锥的高12（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
3．（2022•潜江模拟）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】设该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到2π×3×l＝18π，然后解方程即可．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×3×l＝18π，
解得l＝6，
即该圆锥的母线长是6．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4．（2022•陆良县模拟）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A．108°B．120°C．144°D．150°
【分析】设这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到2π×3，然后解方程即可．
【解答】解：设这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π×3，
解得n＝108，
即这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为108°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
5．（2022•西山区一模）如图，从一块半径为2m的圆形铁皮上剪出一个扇形ABC，且经过圆心O．如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）m
A．2B．1C．D．
【分析】连接OA、OB、OC，如图，先证明△ABO和△ACO为等边三角形得到∠OAB＝∠OAC＝60°，设该圆锥的底面圆的半径为rm，利用弧长公式得到2πr，然后解方程即可．
【解答】解：连接OA、OB、OC，如图，
∵AB＝AO＝AC＝OB＝OC，
∴△ABO和△ACO都为等边三角形，
∴∠OAB＝∠OAC＝60°，
∴∠BAC＝120°，
设该圆锥的底面圆的半径为rm，
根据题意得2πr，
解得r，
即该圆锥的底面圆的半径为m．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．（2022•红河州一模）小琳准备用一张半径为30cm的扇形纸板，制作一个圆锥形的帽子（接缝忽路不计），如果圆锥形的帽子要做成底面半径为8cm，那么需要扇形纸板的面积是（ ）
A．120cm2B．120πcm2C．240cm2D．240πcm2
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用扇形的面积公式可计算出扇形纸板的面积．
【解答】解：根据题意得扇形纸板的面积2π×8×30＝240π（cm2）．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．（2022•宜兴市一模）如图，圆锥的轴截面是一个斜边为1的等腰直角三角形，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．πD．π
【分析】易得圆锥的底面半径及母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：∵圆锥的轴截面是一个斜边为1的等腰直角三角形，
∴底面半径＝0.5，母线长为，底面周长＝π，
∴圆锥的侧面积π．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，解题的关键是牢记有关公式，难度不大．
8．（2021秋•东城区期末）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（ ）
A．S甲＞S乙B．S甲＜S乙C．S甲＝S乙D．不确定
【分析】根据图形分别求出S甲＝2πab，S乙＝2πba，再求出S甲﹣S乙＝0，根据差的正负即可比较大小．
【解答】解：∵S甲＝2π×b×a＝2πab，S乙＝2π×a×b＝2πba，
∴S甲﹣S乙
＝2πab﹣2πba
＝0，
∴S甲﹣S乙＝0，
∴S甲＝S乙，
故选：C．
【点评】本题考查了圆柱的计算，点、线、面、体，几何体的表面积等知识点，能分别求出图甲和图乙的面积是解此题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．（2022•邳州市一模）已知圆锥的侧面积为50π，底面圆半径为5，则此圆锥的母线长为 10 ．
【分析】根据圆锥的侧面积计算公式S侧＝πrl，进行计算即可得出答案．
【解答】解：S侧＝πrl，
50π＝5πl，
解得：l＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．
10．（2022•无锡模拟）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆周长是 2π cm．
【分析】根据展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，计算即可得出答案．
【解答】解：展开图扇形的弧长l2π．
根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，
即这个圆锥的底面圆周长是2πcm．
故答案为：2π．
【点评】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥原图与展开图扇形之间的关系进行求解是解决本题的关键．
11．（2022•连云港一模）小红用图中所示的扇形纸片制作一个圆锥形容器（接缝忽略不计）的侧面，已知扇形纸片的半径为5cm，圆心角为240°，那么这个圆锥形容器底面半径为 cm．
【分析】先计算出扇形的面积，设圆锥的店面半径为r，则母线长l＝5，根据题意，扇形的面积等于圆锥侧面积，根据圆锥侧面积计算公式S侧＝S扇AOB＝πrl，代入计算即可得出答案．
【解答】解：S扇AOB24π，
设圆锥的店面半径为r，则母线长l＝5，
根据题意可得，
S侧＝S扇AOB＝πrl，
24π＝5πr，
解得：r．
故答案为：
【点评】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．
12．（2022春•眉山期中）已知圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则圆锥侧面展开图的圆心角为 216 °．
【分析】先利用勾股定理计算出底面圆的半径为6cm，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•6，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：圆锥的底面圆的半径6（cm），
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2π•6，
解得n＝216，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为：216．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．（2022春•亭湖区校级期中）圆锥的母线长为3cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为 3π cm2．
【分析】直接用圆锥的侧面积公式计算即可．
【解答】解：圆锥的侧面积为：πrl＝3×1π＝3πcm2，
故答案为：3π．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．
14．（2022•工业园区校级模拟）已知圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开后得到的扇形圆心角为120°，则此圆锥的母线长为 9 cm．
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2π×3＝6πcm，
设圆锥的母线长为R，则：6π，
解得R＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
15．（2022•常山县模拟）一个圆柱的底面半径为5cm，母线长为6cm，则这个圆柱的侧面积为 60π cm2．
【分析】圆柱侧面积＝底面周长×高．
【解答】解：圆柱的底面周长为：π×2×5＝10π，
侧面积为10π×6＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
【点评】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，解题的关键是牢记圆柱的侧面积公式．
16．（2021秋•衢州期末）已知圆柱的底面半径为2cm，母线长为3cm，则这个圆柱的全面积为 20π cm2．
【分析】先求出圆柱的底面积与侧面积，再根据全面积等于两个底面与一个侧面的面积之和计算即可得解．
【解答】解：底面积＝πr2＝π•22＝4π（cm2），
侧面积＝2πr•l＝2π×2×3＝12π（cm2），
所以，圆柱的全面积＝2×4π+12π＝8π+12π＝20π（cm2）．
故答案为：20πcm2．
【点评】本题考查了几何体的表面积，认识立体图形并熟悉圆柱有两个底面和一个侧面是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．（2021秋•金川区校级期末）在一块大铁皮上裁剪如图所示圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为80cm，母线为50cm，求裁剪的面积．
【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积即可．
【解答】解：圆锥的侧面积2π×40×50＝2000π（cm2），
所以裁剪的面积为2000πcm2．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18．（2021秋•原州区期末）如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为多少？
【分析】设圆锥的底面圆的半径为rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形的面积公式得到2πr，解得r＝6，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr，
解得r＝6，
所以这个圆锥的高3（cm）．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
19．（2021秋•天心区期中）已知如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．
（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；
（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．
【分析】（1）根据弧长公式、扇形面积公式计算即可；
（2）根据扇形AOB的弧长求出圆锥的底面半径，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）扇形AOB的弧长6π（cm），
S扇形AOB27π（cm2）；
（2）∵扇形AOB的弧长为6πcm，
∴圆锥的底面周长为6πcm，
∴圆锥的底面半径为3cm，
∴OH6（cm）．
【点评】本题考查的是圆锥的计算、弧长和扇形面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
20．（2022•怀宁县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径．
【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AE＝4，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠EAD＝45°，
∴，
∴圆锥底面周长为C＝2πr＝π，
解得，
∴该圆锥的底面圆的半径是．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
21．（2021秋•定西期末）如图，圆锥的底面半径OB＝6，高OC＝8，求该圆锥的侧面积．
【分析】首先根据底面半径OB＝6，高OC＝8，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【解答】解：∵它的底面半径OB＝6，高OC＝8．
∴BC10，
∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl＝π×6×10＝60π．
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．
22．（2021秋•日照期中）如图，从一直径为1米的圆形铁皮中剪出一个圆心角为90度的最大扇形ABC．
求：（1）剪掉后的剩余部分的面积；
（2）用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少？
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，请问是否够用？
【分析】（1）连接BC，利用锐角三角函数求出AB，再利用扇形面积公式求出；
（2）根据扇形弧长等于底面圆的周长，即可得出该圆锥的底面圆的半径；
（3）本题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径，然后进行比较即可．
【解答】解：（1）连接BC，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴BC＝1米，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝AC＝BCcs45°，
∴S扇形ABC（米2），
则剪掉后的剩余部分的面积为：π×（）2

（米2）；
（2）设该圆锥的底面半径是r米，
用所剪得的扇形ABC围成一个圆锥，底面圆的周长为：π（米），
则π＝2πr，
解得：r米，该圆锥的底面半径是米；
（3）如果从剪掉的部分中给圆锥配一个底，不够用．理由如下：
如图，剪掉的部分中③的面积最大．
连接AO并延长交于点D，交⊙O于点E，
则DE＝1．
由（2）可知，能与扇形围成圆锥体的底面圆的直径d＝2r＝2（米），
又∵DE＝1d，即：围成圆锥体的底面圆的直径大于DE，
故不能围成圆锥体．
【点评】此题主要考查了圆锥的计算，扇形面积的计算，弧长公式等知识．正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
23．（2020秋•朝阳区校级月考）如图①，水平放置的空圆柱形容器内放着一个实心的铁“柱锥体”（由一个高为5cm的圆柱和一个同底面的高为3cm圆锥组成的铁几何体）．向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．整个注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系如图②所示．
（1）圆柱形容器的高为 12 cm．
（2）求线段BC所对应的函数表达式．
（3）直接写出“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
【分析】（1）根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高；
（2）根据题意和函数图象分两种情况可以求得“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值．
【解答】解：（1）由题意和函数图象可得，
圆柱容器的高为12cm，
故答案为：12；
（2）BC过点（26，8），（42，12），
设线段BC所对应的函数表达式为h＝kt+b，
将点（26，8），（42，12）代入，得
，
解得，
所以线段BC所对应的函数表达式为ht；
（3）以为“柱锥体”的高为：5+3＝8（cm），
所以顶端距离水面3.5cm位置有2个，
①当h＝8﹣3.5＝4.5时，在OA上，
设OA解析式为h＝kt，过点A（15，5），
所以15k＝5，解得k，
所以OA解析式为ht，
当h＝4.5时，t＝13.5；
②当h＝8+3.5＝11.5时，在BC上，
将h＝11.5代入ht，
解得t＝40．
综上所述：“柱锥体”顶端距离水面3.5cm时t的值为13.5s或40s．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．