苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义考点11圆(原卷版+解析)

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【知识点梳理】
圆的各元素
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
4、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
圆的描述概念
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线
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一、单选题
1．引理：在中，若为的中点，则．（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）
A．B．38C．40D．68
【答案】C
【分析】如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，根据矩形的性质可得CD=AB=OE，AD=BC，根据中线长公式可得=2PE2+2AE2，可得PE最短时取最小值，根据线段的和差关系可求出PE的长，即可得答案．
【详解】
如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，
∵四边形ABCD是矩形，，，
∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4，
∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8，
∴PE=2，
∵点E为AD中点，
∴=2PE2+2AE2，
∴的最小值为2PE2+2AE2=2×22+2×42=40，
故选：C．
【点睛】考查矩形的性质、点与圆的位置关系及中线长公式，根据点与圆的位置关系得出PE的最小值是解题关键．
2．如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到，再由勾股定理解得，解得，据此解题即可．
【详解】
解：如图所示，正方形的顶点都在同一个圆上，
圆心在线段的中垂线的交点上，即在斜边的中点，且AC=MC，BC=CG，
∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，
∴AG=BM，
又∵OG=OM，OA=OB，
∴△AOG≌△BOM，
∴∠CAB=∠CBA，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
，
，
．
故选：C．
【点睛】考查勾股定理、直角三角形斜边的中线的性质、圆的面积、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
3．在中，，，，点D是AB上的中点，以点C为圆心，6为半径作圆，则点D与的位置关系是（ ）
A．点D在内B．点D在上C．点D在外D．不能确定
【答案】A
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【详解】
解：由勾股定理，得
AB==10，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=AB=5，
∴CD=5r；点P在圆上→d=r；点P在圆内→d