数学八年级上册（2024）第1章 推理与证明1.3 几何证明举例完整版课件ppt

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证明：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等。（根据图形结合题意写出已直和求证，给出证明）
这样，全等三角形的判定就有了基本事实SAS,ASA,SSS以及定理AAS，利用它们和全等三角形的对应边、对应角相等就可以进一步推证全等三角形的有关线段或角相等。
例1：已知：如图，AB=AD，BC=DC. 求证：∠B=∠D. 分析：要证∠B=∠D，只要证明它们所在的两个三角形全等即可，但是图中没有两个全等三角形时，应通过尝试添加辅助线构造全等三角形，使待证的角或线段是这两个全等三角形的对应角或对应边。
1.已知,如图AB=CD，AD=BC，求证：∠A=∠C
思考：怎样添加辅助线才能使∠A与∠C存在于两个全等三角形中而且是两个三角形的对应角呢？
2.如图:已知,AB∥CD,∠1=∠2， ∠3=∠4；求证：BC=AB+CD
两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线相等。
证明性质定理1：等腰三角形的两个底角相等 （简称：等边对等角）已知：如图,在△ABC中,AB=AC.求证：∠B=∠C分析：常见辅助线做法（1）作底边上的高（2）作顶角的平分线 （3）作底边上的中线通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠C
等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。
在△ABC中，∵ AC=AB（已知）∴ ∠B=∠C （等边对等角）
通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角相等是真命题。可以作为证明其他命题的依据。
根据以上证明，我们还可以得到结论：等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。即得到∠BAD=∠CAD与BD=CD，于是得 性质定理2： 等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底上的高互相重合(简称“三线合一”).
性质定理2符号语言的应用
你能写出“性质定理1：等腰三角形的两个底角等”的逆命题吗？如何证明这个逆命题是正确的？如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）已知：如图,在△ABC中, ∠B=∠C.求证： AB=AC分析：是不是仍然可以做辅助线将原三角形 分成两个全等的三角形呢?试试看。
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
在△ABC中， ∵∠B=∠C （已知）∴ AC=AB（等角对等边）
利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：
1、等边三角形的每个内角都是60°
2、三个角都相等的三角形是等边三 角形。
如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三角形是等边三角形。
2.当等腰三角形的顶角是600时
1.当等腰三角形的一个底角等于600角时
思考：“等边三角形的每个内角都等于600”的逆命题是什么？这个逆命题是真命题吗？
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？
例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE ⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。求证：AD=AF分析：从已知出发先由已知AB=AC利用“等边对等角”推得∠B=∠C ，再由等角的余角相等推得∠BDE=∠F,进而得到∠ADF=∠F,最后根据“等角对等边”推出AD=AF
1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,求证：AB=AC
2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
3.如图，△ABC是等边三角形， BD是AC边上的高，延长BC至E， 使CE=CD．连接DE．（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？ 为什么？