初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）1.3 几何证明举例授课课件ppt

这是一份初中数学青岛版（2024）八年级上册（2024）1.3 几何证明举例授课课件ppt，共48页。PPT课件主要包含了学习目标，课时讲解，课时流程，逐点导讲练，课堂小结，作业提升，感悟新知，知识点，逆定理，答案C等内容，欢迎下载使用。
平行线的性质定理和判定定理互逆命题、逆定理三角形内角和定理及其推论 直角三角形的性质定理和判定定理反证法
平行线的性质定理和判定定理
1. 平行线的性质定理(1)平行线的性质定理 I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简写成：两直线平行，同位角相等；(2) 平行线的性质定理 II：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简写成：两直线平行，内错角相等；(3) 平行线的性质定理 III：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简写成：两直线平行，同旁内角互补。
特别提醒1.两条直线平行是前提，只有在这个前提下才有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。2.三个性质、三个判定 中，只 有“同 位角相等,两直线平行”是基本事实，其他五个是定理。
2. 平行线的判定定理(1) 基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简写成：同位角相等，两直线平行；(2) 平行线的判定定理 I：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简写成：内错角相等，两直线平行；(3) 平行线的判定定理 II：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，简写成：同旁内角互补，两直线平行。
[中 考· 武 汉]如 图 1.3-1， AB ∥CD，∠ B= ∠ D，直线 EF 与 AD， BC 的延长线分别交于点 E， F。求证：∠ DEF= ∠ F。
解题秘方：对于比较复杂的证明题，可先从求证的结论入手，分析要得到这个结论需要有哪些条件，再结合已知条件进行推理，看由这些条件能推导出哪些结论，最后把两个方面综合起来考虑，找到解题思路，写出证明过程。
证明： 因为 AB ∥ CD(已知)，所以∠ DCF= ∠ B(两直线平行，同位角相等)。因为∠ B= ∠ D(已知)，所以∠ DCF= ∠ D(等量代换)。所以 AD ∥ BC(内错角相等，两直线平行)。所以∠ DEF= ∠ F(两直线平行，内错角相等)。
1-1. [中 考· 武 汉]如图，直 线 EF 分 别 与 直线AB， CD交于点E， F。EM平分∠ BEF， FN平分 ∠ CFE， 且 EM ∥FN。求证： AB∥ CD。
1. 互逆命题： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。2. 逆定理： 如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题叫作原定理的逆定理。
特别提醒命题的真假与互逆命题之间没有关系，即如果原命题是真命题，逆命题不一定是真命题。
[母题 教材 P13 例 2 ]写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是真命题还是假命题。(1)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；(2)如果两条直线相交，那么这两条直线只有一个交点；(3)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行。
解题秘方：根据题目要求，先将原命题的条件和结论互换，写出原命题的逆命题，再判断逆命题的真假。
解：(1)如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角。假命题。(2)如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交。真命题。(3)在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线。真命题。
2-1.写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是真命题还是假命题。(1) 如果 a=b， 那 么a2=b2；(2)如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为邻补角；(3)互为相反数的两个数的和为0。
解：(1)如果a2＝b2，那么a＝b。假命题。(2)如果两个角互为邻补角，那么这两个角的和等于180°。真命题。(3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数。真命题。
三角形内角和定理及其推论
1. 定理  三角形的内角和等于 180°。表示方法： 在△ ABC 中， ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=180° 。
在三角形中已知两个角的度数，可以求出第三个角的度数
特别解读1.三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角，三角形的最大的内角不小于60°。2.证明三角形内角和定理的思路方法： 平行线是转化角的重要桥梁，将三个内角“转移”集中成一个角或两个角，再说明这个角或两个角的和是180°即可。
2. 三角形内角和定理的证明思路思路一： 利用“两直线平行，内错角及同位角相等”将 三角形的三个内角转化为一个平角。如图 1.3-2 ①②。思路二： 利 用“两 直 线 平 行，内 错 角 相 等”将 三 角 形 的 三个 内 角 转 化 为 两 平 行 线 间 的 一 组 同 旁 内 角。 如 图 1.3-3 ①②。
3. 推论： 由基本事实或定理直接推出的真命题叫作 推论。推论可以作为定理使用。4. 三角形内角和定理的推论推论 1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；推 论 2：三 角 形 的 一 个 外 角 大 于 与 它 不 相 邻 的 任 意 一 个内角。特别说明： 利用推论 1 可以证明一个角等于另两个角的和或差，也可以作为中间关系证明两个角相等。
特别提醒为了证明的需要，在原来图形上添加的线叫作辅助线，辅助线通常画成虚线。
[中考· 邵阳]如 图 1.3-4，在 △ ABC 中，∠ B=46 °，∠ C=54°， AD 平分∠ BAC，交 BC 于点 D， DE ∥ AB，交 AC 于点 E，则∠ ADE 的大小是( )A. 45° B. 54° C. 40° D. 50°
解题秘方：根据三角形内角和定理求出∠ BAC 的度数，再根据角平分线的定义求出 ∠ BAD 的度数，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ ADE= ∠ BAD，从而得到∠ ADE 的度数。
3-1.如 图，在 △ ABC中， CD是AB边上的高，BE为∠ ABC的平分线，若 ∠ BFC=114 °，求∠ BCF的度数。
解：因为CD是AB边上的高，∠BFC＝114°，所以∠BDF＝90°，∠BFD＝66°。所以∠ABE＝180°－66°－90°＝24°。因为BE为∠ABC的平分线，所以∠CBF＝∠ABE＝24°。所以∠BCF＝180°－∠BFC－∠CBF＝180°－114°－24°＝42°。
[中考·威海]将一副直角三角尺如图 1.3-5 摆放，点 C在 EF 上， AC 经过点 D。已知∠ A= ∠ EDF=90°， ∠ E=30°，∠ BCE=40°，则∠ CDF=_____ 。
解： 如 图 1.3-5，由 三 角 形 内 角 和 定 理 的 推 论 1，知∠ 1= ∠ E+ ∠ BCE=30° +40° =70° ，由 三 角 形 内 角 和 定 理 知 ∠ 2=180 ° － ∠ 1－ ∠ ACB=180° －70° －45° =65° ，所以∠ CDF= ∠ EDF－∠ 2=90° -65° =25° 。
解题秘方：如 图 1.3-5，要 求 ∠ CDF，则需求其余角∠ 2 的度数。 ∠ 2=180° － ∠ 1－∠ ACB，其中∠ 1 的度数可利用三角形内角和定理的推论 1 求出。
4-1.如 图，在 △ ABC中， ∠ A= ∠ DBC= 36 °，∠ C=72 °。 求∠ 1，∠ 2的度数。
解：因为∠DBC＝36°，∠C＝72°，所以在△BCD中，∠1＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°。因为∠1是△ABD的外角，∠A＝36°，所以∠2＝∠1－∠A＝72°－36°＝36°。
直角三角形的性质定理和判定定理
1. 性质定理： 直角三角形的两个锐角互余。几何语言： 如图 1.3-6，在 Rt △ ABC 中，因为∠ C=90° ，所以∠ A+ ∠ B=90° 。
2. 判 定 定 理： 有 两个角 互 余 的 三 角 形 是 直 角 三角形。几何语言： 如图 1.3-6，在△ ABC 中，因为∠ A+ ∠ B=90° ，所以△ ABC 是直角三角形。
特别解读1.直角三角形的性质定理和判定定理都可以利用三角形内角和定理推导出来。2.利用直角三角形两锐角互余的性质求一个锐角的度数时，不需要再利用三角形内角和定理。
如图 1.3-7，在 △ ABC 中，∠ A=30 °，∠ B=70 °，CE 平分∠ ACB， CD ⊥ AB 于点 D， DF ⊥ CE 于点 F。(1)试说明：∠ BCD= ∠ ECD；(2)请找出图中所有与∠ B 相等的角。
解题秘方：根 据 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 互 余 求 出∠ BCD 的 度 数，然 后 利 用 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出∠ ACB 的度数，再根据角平分线的定义求出 ∠ BCE 的度数，从而可以求 出 ∠ ECD 的 度 数，进 而 得 到 结 论；
(1)试说明：∠ BCD= ∠ ECD；
解题秘方：根 据 三 角 形 的 角 之间的数量关系，找出度数是 70° 的角即可。
解：因为 CD ⊥ AB 于点 D， DF ⊥ CE 于点 F，所以∠ ADC=90° ， ∠ DFC=90° 。所以∠ CED=90° －∠ ECD=90° － 20° =70° ，∠ CDF=90° －∠ ECD=90° －20° =70° 。因此与∠ B 相等的角有∠ CED 和∠ CDF。
（2）请找出图中所有与∠ B 相等的角。
5-1.如图，在△ ABC中，AD⊥ BC于点D， AE平分 ∠ BAC，若 ∠ BAE=30°，∠ CAD=20°，求∠ B的度数。
解：因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE＝30°。所以∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝10°。因为AD⊥BC，所以∠ADE＝90°，所以∠AED＝90°－∠EAD＝80°。因为∠AED＝∠B＋∠BAE，所以∠B＝80°－30°＝50°。
如 图 1.3-8， AB ∥ CD，直 线 EF 分别 交 AB， CD 于 点 E， F，∠ BEF 的 平 分 线 与∠ DFE 的平分线相交于点 P. 求证：△ EFP 为直角三角形。
解 题 秘 方： 判 断 △ EFP 为 直 角 三 角 形，即 要 找 到 有 一个 角 是 直 角 或 两 个 锐 角 互 余，即 要 证 明 ∠ EPF=90 ° 或∠ EFP+ ∠ FEP=90° 。
6-1.如 图，在 △ ABC中， AD 是 BC 边 上 的高， E 是 AB边上一点，CE 交 AD 于 点 M， 且∠ DCM= ∠ MAE。求证:△ AEM是直角三角形。
证明：因为AD是BC边上的高，所以∠ADC＝90°。所以∠DMC＋∠DCM＝90°。因为∠DCM＝∠MAE，∠DMC＝∠AME，所以∠AME＋∠MAE＝90°。所以△AEM是直角三角形。
1. 反证法： 先提出与命题的结论相反的假设，再从假设出发推出矛盾，从而证明命题成立的方法叫作反证法。
2. 用反证法证明命题的一般步骤(1)否定结论——假设命题的结论不成立；(2) 推出矛盾——从假设出发，根据已知条件，经过推理，得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果；(3) 肯 定 结 论 —— 由 矛 盾 判 定 假 设 不 成 立，从 而 证 明 命题成立。
拓宽视野 常见结论词的反设形式:
已知△ ABC，求证：在∠ A，∠ B，∠ C 这三个内角中，至少有两个锐角。
解题秘方：用反证法证明命题时，结论的反面要找准确、全面。本题中“至少有两个锐角”的反面是“至多有一个锐角”，不要误写成“没有锐角”。
证 明： 假设△ ABC 的三个内角中至多有一个锐角，不妨设 0 ° < ∠ A