2023年新高二数学暑假讲义+习题（人教A版） 第3讲 空间向量及其运算的坐标表示

第3讲   空间向量及其运算的坐标表示

新课标要求

①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

知识梳理

1.空间向量运算的坐标表示

若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则：

(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；

(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；

(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；

(4)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；

(5)a∥b ⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；

(6)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；

(7)|a|＝＝ ；

(8)cos〈a，b〉＝＝ .

2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式

在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则：

(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；

(2)dAB＝||＝  .

名师导学

知识点1    空间直角坐标系

【例1-1】（武汉期末）点，2，关于平面对称的点的坐标是　　

A．，2， B．，， C．，2， D．，，

【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系中，点，，关于轴对称的点为　　

A．，， B．，， C．，2， D．，2，

知识点2    空间向量的坐标运算

【例2-1】（钦州期末）已知，2，，，，，则等于　　

A．，， B．，0， C．，0， D．，0，

【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.

(1)求a与b夹角的余弦值；

(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值；

(3)设|c|＝3，c∥，求c.

【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a＝(2，－1,3)，b＝(0，－1,2)．求：

(1)a＋b；

(2)2a－3b；

(3)a·b；

(4)(a＋b)·(a－b)．

【变式训练2-2】（烟台期末）已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，若＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为(　　)

A.  B．－

C．±  D．±

知识点3    空间两点间的距离

【例3-1】（淄博调研）已知△ABC的三个顶为A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

【变式训练3-1】（温州期中）点，2，是空间直角坐标系中的一点，点关于轴对称的点的坐标为　　      ，　　．

名师导练

A组-[应知应会]

1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点，，关于点，2，的对称点的坐标为　　

A．，1， B．，5， C．，， D．，3，

2．（金牛区校级期中）点，2，关于平面的对称点为　　

A．，， B．，2， C．，， D．，2，

3．（东阳市校级月考）已知点，，，则点关于原点的对称点坐标为　　

A．，2， B．，2， C．，， D．，2，

4．（茂名期末）已知向量及则等于　　

A．，1， B．，5， C．，， D．，，

5．（高安市校级期末）已知空间向量　　

A． B． C．2 D．0

6．（丰台区期末）已知，3，，，5，，那么向量　　

A．，， B．，2， C．，8， D．，15，

7．（多选）（三明期末）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则　　

A．点的坐标为，5， 

B．点关于点对称的点为，8， 

C．点关于直线对称的点为，5， 

D．点关于平面对称的点为，5，

8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点，1，与，，关于坐标平面对称，则　　．

9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，，2，关于轴的对称轴点坐标为　　       ，若点，，关于平面的对称点为点，则　　．

10．（浙江期中）空间直角坐标系中，点，，关于轴的对称点坐标是　　       ；　　．

11．（兴庆区校级期末）已知，，，，0，，，0，，则　　     ．

12．（辽阳期末）已知向量，，则　　           ．

13．（越秀区期末）已知点，2，和向量，4，，若，则点的坐标是　　       ．

14．（黄浦区校级月考）已知向量，则　     　

15．（青铜峡市校级月考）已知点，关于点，2，的对称点分别为，，若，3，，，1，，求点的坐标．

16．（福建期中）已知空间三点，2，，，1，，，0，

（1）求向量的夹角的余弦值，

（2）若向量垂直，求实数的值．

17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量，5，，，0，，，0，，求：、．

（Ⅱ）已知点，，和向量，2，求点坐标，使向量与同向，且．

B组-[素养提升]

1.（襄阳期中）已知向量，，是空间的一个单位正交基底，向量，，是空间的另一个基底，若向量在基底，，下的坐标为，2，，则它在，，下的坐标为　　

A． B． C． D．

2. （安庆质检）已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．

(1)若∥，且||＝2，求点P的坐标；

(2)求以，为邻边的平行四边形的面积．