（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义03 空间向量及其运算的坐标表示+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

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要点一、空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3.空间点的坐标
空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
要点二、空间直角坐标系中点的坐标
1.空间直角坐标系中点的坐标的求法
通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.
特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.
2.空间直角坐标系中对称点的坐标
在空间直角坐标系中，点，则有
点关于原点的对称点是；
点关于横轴(x轴)的对称点是；
点关于纵轴(y轴)的对称点是；
点关于竖轴(z轴)的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是；
点关于坐标平面的对称点是.
要点三、 空间向量的坐标运算
（1）空间两点的距离公式
若，则
①
即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②，
或.
要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。
（2）空间线段中点坐标
空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.
（3）向量加减法、数乘的坐标运算
若，则
①;
②;
③;
（4）向量数量积的坐标运算
若，则
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若，则
(1).
(2).
要点诠释：
①夹角公式可以根据数量积的定义推出：
，其中的范围是
②.
③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（6）空间向量平行和垂直的条件
若，则
①
②
规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
【题型归纳目录】
题型一：空间向量的坐标表示
题型二：空间向量的直角坐标运算
题型三：空间向量的共线与共面
题型四：空间向量模长坐标表示
题型五：空间向量平行坐标表示
题型六：空间向量垂直坐标表示
题型七：空间向量夹角坐标表示
【典型例题】
题型一：空间向量的坐标表示
【例题1-1】平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．
题型二：空间向量的直角坐标运算
【例题2-1】（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为（2，0，2）B．
C．的中点坐标为（1，1，1）D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）
【变式2-1】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______．
题型三：空间向量的共线与共面
【例题3-1】已知空间三点，，，若三点共线，则（ ）．
A．B．1C．D．2
【变式3-1】已知，，．若、、三向量共面，则实数______．
【变式3-2】已知空间中三点，，．
(1)若，，三点共线，求的值；
(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．
题型四：空间向量模长坐标表示
【例题4-1】已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.
【变式4-1】设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．
题型五：空间向量平行坐标表示
【例题5-1】已知向量 ， 若 ，则实数________．
【变式5-1】已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
题型六：空间向量垂直坐标表示
【例题6-1】如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（ ）
A．8B．4C．D．
题型七：空间向量夹角坐标表示
【例题7-1】在空间直角坐标系中，分别是轴、轴、轴正方向上的单位向量，若为非零向量，且，，则______．
【变式7-1】如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求证：平面.
同步巩固练习
一、单选题
1．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．以上都不对
2．向量，若，则的值为（ ）
A．2B．1C．D．
3．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（ ）
A．3B．C．D．
4．在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（ ）
A．1B．C．或D．17或
5．若平面､的法向量分别为，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题
7．已知，，则_______.
8．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．
9．在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．
三、解答题
10．如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值．
11.如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在线段AB上，点Q在线段DC上.
（1）当，且点P关于y轴的对称点为M时，求的长度；
（2）当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究的最小值.
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 随堂检测
1.已知向量，，则（ ）
A．B．C．D．
2.空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A．B．或
C．D．或
3.若向量，，则向量与的夹角为（ ）
A．0B．C．D．
4.已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5.在空间直角坐标系中，已知点，，则______．
6.若，，，且共面，则_______.
7.若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.
8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，，点N为B1B的中点，则___________.
9.已知，．设D在直线AB上，且，设，若，则实数______．
10.若向量若与的夹角为锐角，则的范围为_________.
11.在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
12.已知向量，，点，.
(1)求；
(2)若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.