（复习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义07 向量法求空间角（含探索性问题）+随堂检测（2份，原卷版+解析版）

这是一份（复习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义07 向量法求空间角（含探索性问题）+随堂检测（2份，原卷版+解析版），文件包含复习课2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义07向量法求空间角含探索性问题+随堂检测原卷版doc、复习课2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义07向量法求空间角含探索性问题+随堂检测解析版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共38页， 欢迎下载使用。
设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：
① ②
知识点二：直线和平面所成角
设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，
则①；②.
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．
（2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足：
①； ②
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
高频考点一：异面直线所成的角
角度1：求异面直线所成角
【例题1-1】如图四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】连接与交于点，连接，由题意得，，且平面，以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

设四棱锥各棱长均为2，则，，
可得，则，
设异面直线与所成角为，则．故选：A．
【例题1-2】如图，在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在直三棱柱中，，所以，即，
又平面，平面，所以，，如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，
所以，即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B
【变式1-1】已知正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为，点在射线上，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，连接AC、BD交于O，连接PO.因为F，G分别是BC，PC的中点，所以，则AE与FG所成的角即是AE与PB所成的角，设AE与PB所成的角为θ.由题意知，OA，OB，OP两两互相垂直，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
由得，所以，，
所以.令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，此时也取得最大值.故选：C.
角度2：根据异面直线所成角求参数
【例题2-1】已知正方体，为上底面所在平面内的动点，当直线与的所成角为45°时，点的轨迹为（ ）
A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆
【答案】C
【详解】以点D为原点，，，为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，设，可得，，因为直线与的所成角为，
则，化简可得，所以点Q的轨迹为抛物线.故选：C.

【例题2-2】如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为平面，平面，平面，所以，．
因为底面为矩形，所以．所以DP，DC，DA两两互相垂直．以为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，．所以，．
因为，所以，则．设直线MN与BD所成角为，则．
因为，则，化简得，
即，解得或（舍去）．故选：B
【变式2-1】已知正方体的棱长为1.
(1)的平面截正方体为两个部分，求体积大的部分几何体的体积；
(2)动点，在线段，上，且，为的中点，异面直线与所成的角的余弦值为，求实数的值.
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）因为正方体的棱长为1，所以正方体的体积为，，
所以的平面截正方体为两个部分，体积大的部分几何体的体积为；
（2）如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴建立如图坐标系，
则，所以，，
所以，即，解得．
【变式2-2】如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.
(1)求证：平面.
(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.
【答案】(1)证明见解析(2)或2
【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则,0,，,0,，,4,，,2,，,0,，,2,，
,2,，,0,，,2,，
设平面的法向量,,，则，取，得,0,，
，平面，平面．
（2）设，且，则,0,，,,，,2,，
则，整理得
解得或，所以线段AH的长为或2．
高频考点二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
【例题3-1】如图，在中，，为的中点，将绕所在的直线逆时针旋转至形成如图所示的几何体，.
(1)求几何体的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）根据圆锥的定义易知，几何体为圆锥的一部分，且为圆锥的高，
所以；
（2）过点作，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：
，则，
设平面的法向量为，则，所以，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角正弦值为.
【例题3-2】如图所示，在四棱锥中，平面，，，且，.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.
所以，.又，
因为，所以.因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，所以平面.
（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，. 则，，.
设平面的法向量为，由，得，令，可得平面的一个法向量为. 设与平面所成角为，则.
角度2：求直线与平面所成角(最值，范围问题）
【例题4-1】在直三棱柱中，，，点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分别取中点,则,即平面,连接,因为,所以,
分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知,,,,,则,
因为，，，
易知平面的一个法向量是，设直线AP与平面所成角为，则，
，所以时，，即的最大值是．故选：B．
【例题4-2】如图，圆锥中，为底面圆的直径，，为底面圆的内接正三角形，圆锥的高，点为线段上一个动点.

(1)当时，证明：平面；
(2)当点在什么位置时，直线和平面所成角的正弦值最大.
【答案】(1)证明见解析；(2)点在距离点处
【详解】（1）因为，，所以是正三角形，则，
又底面圆，底面圆，所以，
在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
，，所以，，
同理可证，又，，平面，所以平面.
（2）如图，建立以为原点的空间直角坐标系.

设，（），所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，设直线和平面所成的角为，
则，
当且仅当，即时，直线和平面所成角的正弦值最大，
故点在距离点处.
【变式4-1】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．

(1)求证：平面平面；
(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析；(2)1
【详解】（1）如图，设交于点，连接，
由已知可得，又，所以四边形为菱形，所以，
∵，，，∴，∴，
∴，又，所以，
因为为的中点，∴，．由余弦定理可得，
∴，所以，即，
又平面，，∴平面．
又平面，∴平面平面．

（2）由已知平面，平面，所以，
又，，平面，∴平面，
又平面，∴．
由（1）知，，平面，所以平面，
∴，又点为的中点，所以．以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，，，
设，则，∴，，
设平面的法向量为，则，即，令，则，
所以为平面的一个法向量．设直线与平面所成的角为，
则，
构建，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减， ∴时，取到最大值4．
此时，取到最大值1.另解：由，知，
当时，，此时平面，设直线与平面所成的角为，因为，
当时，取到最大值1．
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
【例题5-1】在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.

(1)求证：平面平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
【答案】(1)证明见解析；(2)或
【详解】（1）在圆柱中，,平面,平面,故平面；
连接，因为等腰梯形为底面圆的内接四边形，，

故，则为正三角形，故，则，
平面,平面,故平面；
又平面，故平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，在底面圆过点垂直于平面作直线为x轴，以为轴建立空间直角坐标系，

由于，由（1）可知,
故,则，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，由，，，
可得，
设直线与平面所成角为，
则，即得，解得或，符合，故或.
【例题5-2】如图，且，，且，且.平面，.

(1)求平面与平面的夹角的正弦值；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为平面，，平面，所以，.
因为，所以，，两两垂直，以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），

则，，，，，，.
得，，.
设为平面的法向量，则，
令，则；设为平面的法向量，则，
令，则，所以.
所以平面与平面的夹角的正弦为.
（2）设线段的长为，则，.因为，，平面，所以平面，为平面的一个法向量，
所以，由题意，可得，解得.
所以线段的长为.
【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面SAD为等边三角形，，．

(1)证明：平面平面；
(2)侧棱上是否存在一点（不在端点处），使得直线与平面所成角的正弦值等于？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见详解；(2)存在，点P为SC的中点.
【详解】（1）证明：因为底面ABCD为正方形，，所以，
又因为侧面SAD为等边三角形，所以.
，所以，即，又,
所以平面，又因为平面，所以平面平面.
（2）如图：

取的中点为，连接，因为侧面为等边三角形，所以，
又由（1）可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，
以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴为正方向，建立空间直角坐标系.
，，，，，所以，，，设.，所以，
所以.设平面SAC的法向量为，
由于，所以.令，则，，所以，
所以.因为直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于.
所以，解得或（舍）故存在，当点P为SC的中点时，使得直线BP与平面SAC所成角的正弦值等于.
高频考点三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
【例题6-1】如图，在直三棱柱中，，，，点是棱的中点，则平面与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，则，
设平面的法向量，∵，则，
令，则，∴，同理可得：平面的法向量，
故，设平面与平面所成角为，则，
故平面与平面所成角的正弦值.故选：B.
【例题6-2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，．

(1)求证：平面平面；
(2)若点D到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明过程见详解(2)
【详解】（1）在中, ，，∴，
∵平面,平面，∴.
又∵,平面，∴平面，
又，∴平面，又平面，所以平面平面.
（2）由题意知点D到的距离，由（1）知，平面，平面，所以.
在中, ，所以，，
由，有，即，解得.
由（1）知，又因为平面，所以两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，则有，，设平面的法向量为，

则，也即，令，则，所以，
易取平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
则，由图可知平面与平面夹角为锐角，所以.
故平面与平面夹角的余弦值为.
角度2：求平面与平面所成角(最值问题）
【例题7-1】如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的中点，为线段上的动点.

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2).
【详解】（1）中，E为PB的中点，所以.
在正方形ABCD中，.因为平面ABCD，平面ABCD，即.
又因为，平面PAB，所以平面PAB.
平面PAB，即，又因为，，平面PBC.
所以平面PBC，平面AEF，即平面平面PBC.
（2）因为平面ABCD，底面ABCD是正方形，所以易知AB，AD，AP两两垂直.
以A为原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

有，，，，，PB中点，设，.
，，，.
设平面PCD的法向量，由，得，取.
设平面的法向量，由，得，取.
所以平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值为.
令，，则，
所以当即时，平面AEF与平面PCD的夹角的余弦值取得最大值，
此时平面AEF与平面PCD的夹角取得最小值.
角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
【例题8-1】如图，正三棱柱中，，点为线段上一点（含端点）.

(1)当为的中点时，求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在，求出的位置：若不存在，说明理由.
【答案】(1)见解析(2)存在，点在的四分之一等分点处
【详解】（1）由已知，平面，为等边三角形，以点为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，，作轴，，，
则，则，而∴∴
由菱形性质知∵平面，平面，∴平面；
（2）由(1)，，为平面的一个法向量，
设，，则所以，
所以，，设平面的法向量为，
则，取可得，，
所以为平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
解得：或（均符合题意）所以存在一点，当或，即点位于四分之一等分点处时使平面与平面所成角的余弦值为.
【例题8-2】如图，在四棱锥中，，，是棱上一点．

(1)若，求证：平面；
(2)若平面平面，平面平面，求证：平面；
(3)在（2）的条件下，若二面角的余弦值为，求的值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）连接BD交AC于点，连接OM，因为，所以，
因为，所以，所以，所以，因为平面平面MAC，
所以平面MAC.

（2）因为平面平面，平面平面平面ABCD，
所以平面，因为平面PAD，所以．同理可证：．
因为平面平面，所以平面ABCD．
（3）分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由，得，
则，由（2）得：平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为.设，即，所以，设平面AMC的法向量为，则，即，令，则，
所以．因为二面角的余弦值为，所以，解得，
所以的值为．
第06讲 向量法求空间角（含探索性问题） 随堂检测
1．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,,,,∴,,
∴,故选：.
2．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】以过点O且垂直于平面的直线为x轴，直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，
则根据题意可得，所以，
设异面直线与所成角为，则．故选：A.
3．在四棱锥中，底面，底面是边长为的正方形，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示，
以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量为，
则，令，则，设直线与平面所成的角为，所以，故选：B.
4．如图，在正方体中，点，分别为，的中点，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】建系如图，设正方体边长为2，
所以,所以,
设平面的法向量为，所以令，所以，
所以,所以与平面所成的角的正弦值为.故选:B.
5．在正方体中，为棱的中点，为直线上的异于点的动点，则异面直线与所成的角的最小值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体边长为2，可得设
所以，设异面直线与所成的角为，
则.单调递减,单调递增,当时，取得最大值为， 单调递减,所以此时最小值为，则故选：C
6.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
【答案】
【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，所以，，，.
设平面APC的法向量为，∴不妨设，则，
设平面PBC的法向量为，∴不妨设，则，，
设为，则.故答案为：
7.如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点.
(1)若.
（i）求证：平面PCD；
（ii）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；
(2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为，求PA.
【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）;(2)2
【详解】（1）（i）方法一
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵四边形ABCD为矩形，∴，又，PA，平面PAD，∴面PAD，
∵面PAD，∴，
在中，，E为PD中点，∴
∵，面PCD，面PCD，∴平面PCD.
方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，∴.
在中，，E为PD中点，∴.
∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD；
方法三：设平面PCD的一个法向量为，，，，
则，∴.令，则，∴，
∵，∴，∴平面PCD.
（ii）由（i）得：平面PCD,平面PCD,，在中，，E为PD中点，
∴，∵，面PCD，面PCD.∴平面PCD，∴为平面PCD的一个法向量，.记直线BE与平面PCD所成角为，∴，∴直线BE与平面PCD所成角的正弦值为；
（2）设，∴，，设平面BCE的一个法向量为，则，∴，令，解得，∴，设平面CPD的法向量，又， ，则 ，∴，令，解得 ，∴，设平面BCE与平面CED的夹角大小为，
则.因为，所以，即，解得，即.