四川省成都市树德中学2024-2025学年高三下学期高考冲刺模拟（三）数学试题（Word版附解析）

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是符合题目要求的．
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的模公式及复数除法法则，结合共轭复数的概念即可求解.
【详解】由 ，得 .
所以 .
故选：A.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合 ，再根据集合交并补运算即可得到答案.
【详解】对于集合 ，由 得 ，所以 或 ，
所以 ．
故选：D．
3. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小.
【详解】因为 ，所以 ，
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所以 ．
故选：C．
4. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则对于 ，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】举反例即可判断 ABC，再分类讨论 时和 时，结合等比数列求和公式即可判断．
【详解】令 ， ， ， ， ，A 错；
，B 错；
，C 错；
一般情况， 时， ， ， ，
，此时 ；
时， ，
左边 ，
右边 左边，D
对；
故选：D．
5. 若抛物线 上一点 A 到准线及对称轴的距离分别是 5 和 3，则 p 的值为（ ）
A. 1 或 8 B. 1 或 9 C. 2 或 8 D. 2 或 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线方程得出其准线方程，再结合点 到准线及对称轴的距离列出关于 的方程，进而求
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解 ．
【详解】设点 的坐标为 ，已知点 到对称轴的距离为 ，因为抛物线 的对称轴为
轴，所以 ，则 ．
因为点 在抛物线 上，所以 ，把 代入可得 ，则 ．
抛物线 的准线方程为 ，已知点 到准线的距离为 ，所以 ．
把 代入 可得 ．
去分母，得到 ．解得 或 ．
故选：B．
6. 甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由互斥事件和相互独立事件的概率公式可得结果.
【详解】设 为甲获胜 概率， ， ， .
故选：C．
7. 已知函数 在区间 上的最大值为 ，则当 取到最小值时，
（ ）
A. 7 B. C. 9 D.
【答案】B
【解析】
【分析】将函数 看作是两个函数的函数值之差的绝对值，结合图象分
析当 取到最小值时，直线 所在位置，从而得出 的值.
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【详解】函数 在区间 上的最大值，
可看作是函数 与 在区间 上函数值之差的绝对值的最大值.
函数 在区间 上的两个端点 ,
直线 的方程为 .
设与直线 平行且与函数 图象相切的直线方程为 ，
，令 ，解得 或 （舍去），
切点坐标为 ，代入直线方程 ，可得 ，
所以切线方程 .
由图像可知，直线 在函数 图象上方或下方时的 值大于直线
与函数图象相交时的 值，
所以要使 取到最小值，直线 在直线 和直线 的中间，即直线
，
此时， ，所以 .
故选：B.
8. 如图，正方形 的边长为 1， 、 分别是边 、 边上的点，那么当 的周长为 2 时，
（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ， ， ， ，则 ， ，且 的
周长为 2，即 ，利用三角函数的和差角公式计算即可.
【详解】解：设 ， ， ， ，则 ， ，
于是 ，
又 周长为 2，即 ，变形可得 ，
于是 ，
又 ，所以 ，
.
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），
即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第 行的所有数字之和为 ，若去除所有
为 1 的项，依次构成数列 ：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ）
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A.
B.
C. 第 项为
D. 从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列 1，3，6，10，15，…，得到其倒数和 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】将数列数列 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 变成数阵，确定数阵第 行
有 个数，从左向右分别为 .对于 A，确定 分别在该数阵第 行的第 2 个和第 4 个即
可判断；对于 B，确定 位于该数阵第 行第 个数即可求和；对于 C，确定第 项为第 行
第 1 个即可；对于 D，根据杨辉三角得到
，利用裂项相消求和法求和即可.
【详解】将数列 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 变成以下数阵：
则该数阵第 行有 个数，从左向右分别为 ，
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第 行最后一项位于原数列第 项，
对于 A，因为 ，所以 分别在该数阵第 行的第 2 个和第 4 个，故
，即 ，选项 A 正确；
对于 B，因为 ，所以 位于该数阵第 行第 个数，
由题意可知，该数阵第 行所有数为“杨辉三角”数阵中第 行去掉首、尾两个 得到，而“杨辉
三角”中第 行所有数之和为 ，
所以，该数阵第 行所有数之和为 ，
所以 ，选项 B 错误；
对于 C，因为 ，所以第 项为第 行第 1 个，即 ，选项 C 正
确；
对于 D，根据杨辉三角知，
，选项 D 错误.
故选：AC.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 的最小正周期为
C. 的最小值为
D. 在 上有四个不同的实数解
【答案】BD
【解析】
【分析】方法一：结合 判断 A；根据正弦型函数的周期公式判断 B；作出函数 大
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致图象，判断 CD；
方法二：化简得由 ，结合函数 大致图象判断各选项即可.
【详解】方法一：由 ，
则 ， ，则 ，
所以 不可能关于 对称，A 错误；
因为函数 的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
则 的最小正周期为 ，B 正确；
当 时， ，当 时， ；
当 时， ，作出函数 大致图象，如图，
则 ，C 错误，
在 有 4 个根，D 正确.
方法二：由 ，
作出 和 的图像，取位于上方的部分即可：
由图可知，AC 错误，B 正确，
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对于 D，计算知 与 在 内的交点坐标为 ，
而 ，结合函数 的图象特征可知函数 与 图象在 内有四个交点，
所以 在 上有四个不同的实数解，故 D 正确.
故选：BD.
11. 素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿
体”是学习素描时常用的几何体实物模型．如图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字
贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切
点为 ，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面， 为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于 两
点，且 为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为 ，其底面圆的半径为
，圆柱的半径为 ，下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 点 到圆锥底面的距离为
D. 点 到圆锥底面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】先通过已知条件求出圆锥和圆柱相关线段的长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质来求解
其他线段长度，进而判断各选项的正确性.
【详解】对于 A，过点 作轴截面， 为圆锥的母线与与圆柱的切点， 为圆锥的高， 为 与
圆柱的交点，
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如图 1，由题意可知 ，先计算 ，
又已知 ， .
因为 ，根据相似三角形对应边成比例，即 .
已知 ， ， ， ，由 可得：
.
因为 ，所以 .
由 可得： ，化简同求 OD 过程类似，可得 ，所
以 A 选项正确.
对于 B，点 到圆锥底面的距离即点 到圆锥底面的距离，已知 ，
因为 ， ，所以 ，C 选项正确.
对于 D，点 到圆锥底面的距离即点 到圆锥底面的距离，已知 ，
因为 ， ，所以 ，D 选项正确.
对于 B，过点 ， ， 作截面，如图 2 所示，易得 .
已知 ， ， ，则 ，
所以 B 选项错误.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 如图，无弹性细绳 ， 一端分别固定在 A，B 处，在同样的细绳 的下端吊一重物，要保持此
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状态，对细绳的耐力性要求最高的是________(三条绳本身质量忽略不计，横线上填 或 或 )．
【答案】
【解析】
【分析】设 三条绳受的力分别为 ，则 ，根据向量加法法则和直角三角形三边
关系得到 ，得到答案.
【详解】设 三条绳受的力分别为 ，则 ，
合力为 ， ，
如图，在平行四边形 中，
∵ ，
∴ ，
即 ，故细绳 OA 受力最大，即对 OA 绳的耐力性要求最高．
故答案为：
13. 在三棱锥 中， ， ， ，
则三棱锥 外接球的表面积为_________
【答案】
【解析】
【分析】作 平面 于点 ，连接 ，确定四边形 为矩形，根据余弦定理即可得 ，
进而得球的半径，即可计算球的表面积.
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【详解】如图，作 平面 于点 ，连接 ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ，同理得 ，
四边形 为矩形， ，则 ，
在 中， ,
由余弦定理得 ，
即 ，
解得 ，
设三棱锥 外接球的半径为 ，
则三棱锥 外接球即为四棱锥 外接球,即为以 为棱长的长方体的外接球，
故由 得 ，解得 ，
所以球的表面积为 ，
故答案为： .
14. 已知 为双曲线 （ ， ）上的任意一点，过 分别引其渐近线的平行线，分别交
轴于点 ， ，交 轴于点 ， ，若 恒成立，则双曲线离心率 的
取值范围为________
【答案】
【解析】
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【分析】设点 ，由双曲线的渐近线斜率为 ，求出点 与渐近线平行的直线方程，
解得点 坐标，进而得 ，利用 恒成立
即可求解.
【详解】设点 ，双曲线的渐近线斜率为 ，
过点 与一条渐近线平行的直线方程为 ，
令 得 ，令 得 ，
同理过点 与另一条渐近线平行的直线方程为 ，
令 得 ，令 得 ，
所以 ，
所以
，
，
由 恒成立，
所以 恒成立，所以 ，即 ，
所以 ，
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所以双曲线离心率 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，第 15 小题 13 分，第 16、17 小题 15 分，第 18、19 小题 17 分，
共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知三棱柱 中， ， ， ，
（1）求证：平面 平面
（2）若 ，且 是 的中点，求平面 和平面 的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，由菱形得到 ，结合 得到线面垂直，进而得到 ，
结合 得到线面垂直，从而证明出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，结合同
角三角函数关系得到正弦值.
【小问 1 详解】
在三棱柱 中，四边形 是平行四边形，而 ，
则平行四边形 是菱形，连接 ，
如图，则有 ，
因为 ， ， 平面 ，
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所以 平面 ，而 平面 ，则 ，
由 ，得 ，又 ， 平面 ，
从而得 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
在平面 内过 作 ，
由（1）知平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
则 平面 ，
以 为原点，以射线 分别为 轴， 轴， 轴正半轴建立空间直角坐标系，
如图，因为 ， ，
所以 为等边三角形，
又 是 的中点，则 ⊥ ，故 ，
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由勾股定理得 ，
又 ，
则 ， ， ， ， ，
则有 ， ．
设平面 的一个法向量 ，则有 ，解得： ，
令 得 ，而平面 的一个法向量 ，
依题意， ，
设平面 和平面 的夹角的夹角是 ，
则 ， ，
所以平面 和平面 的正弦值为
16. 如图，扇形 OMN 的半径为 ，圆心角为 ，A 为弧 MN 上一动点，B 为半径上一点且满足
.
（1）若 ，求 AB 的长；
（2）求△ABM 面积的最大值.
【答案】（1）1； （2） .
【解析】
【分析】(1)在△OAB 中，利用余弦定理即可求 AB；
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(2)由题可知 AB∥OM，则 ，设 ， ，在 中利用余弦定理和基本不等式
求出 xy 的最大值，再由 即可求面积最大值.
【小问 1 详解】
在△OAB 中，由余弦定理得， ，
即 ，即 ，即 ，
∴ ；
【小问 2 详解】
， ， ， ∥ ，
，
设 ， ，
则在 中，由余弦定理得 ，
即 ，当且仅当 时取等号，
∴ ，当且仅当 时取等号.
∴△ABM 面积的最大值为 .
17. 在 2024 年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置 3
道必答题目，至少答对 2 道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有 20 名同学进入晋级环节，根据统计，每人
对这 3 道题目答对的概率分别为 ， ， ，且 3 道题目答对与否互不影响.
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（1）设 X 表示这 20 人中晋级的人数，求 ；
（2）记这 20 人中 人晋级的概率为 ，求 取得最大值时 k 的取值.
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】（1）求解答对 2、3 题的概率可得每人晋级的概率，再根据二项分布的数学期望求解即可；
（2）根据二项分布公式，结合 取得最大值则满足 ，列不等式求解即可.
【小问 1 详解】
由题意，晋级需要答对 2 题或 3 题，
答对 2 题的概率
.
答对 3 题的概率 .
故每人晋级的概率为 .
故 .
【小问 2 详解】
由（1）可得，每人晋级的概率均为 ，
故 ，
则 ， ，
当 时， 取得最大值则满足 ，
即 ，
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故 ，即 ，
故 ，即 ，解得 ，
又 ，故 ，即 取得最大值时 k 的取值为 12.
18. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 ，离心率为 ，点 P 是 上任意一点．抛
物线 ，
（1）求 的方程；
（2）过点 P 作 的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 两点，求证：平行四边形 PAOB
的面积为定值；
（3） 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由离心率即可求解；
（2） ，求得 坐标，进而得到 再结合面积公式求解即可；
（3）设 ， ， ，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线
的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解；
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小问 1 详解】
解：设双曲线的焦半距为 c，则 ，
又因为离心率为 ，所以 ，
代入得 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为
【小问 2 详解】
证明：设 ，不妨设 OA 为渐近线 ，OB 为渐近线 ，
直线 AP 的方程为 ，
联立方程 ，解得 ，
所以
同理可得 ，所以
由于直线 OA 的斜率 ，因此 ，所以 ，
所以平行四边形 PAOB 的面积为 ，
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因为点 P 在双曲线 C 上，所以 ，即 ，
所以平行四边形 PAOB 的面积为
【小问 3 详解】
解：设 ， ， ，
因为函数 的导数为 ，所以直线 PC 的方程为 ，
由于 在直线 PC 上，则 ， ，
同理 ，
所以 ， 均满足方程 ，
所以直线 CD 的方程为 ，
联立方程 ，得 ，
所以 ， ，
则 ，
又因为 P 到直线 CD 的距离 ，
所以 面积 ，
又因为 ，
所以 ，当 P 为 时 T 取最小值 ，
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所以 面积最小值为
【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
19. 设函数 ， .
（1）①当 时，证明： ；
②当 时，求 的值域；
（2）若数列 满足 ， ， ，证明：
（ ）.
【答案】（1）①证明过程见解析，②
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）①求导，得到函数单调性，求出 ；②先得到 偶函
数，考虑 时，求导，结合①可知， 在 上单调递减，从而求出函数最值，求出值域；
（2）先得到 ，故只需证明 ，由（1
）可知 ，从而裂项相消法求和得到证明.
【小问 1 详解】
① 在 恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，证毕；
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② ，恒有 ，
故 为偶函数，
当 时， ，
由①可知， 在 上恒成立，
又 ，故 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
故 ， ，
结合函数在 上为偶函数可得，函数值域为 ；
【小问 2 详解】
因为 ， ，
所以 ，
其中 ，故只需证明 ，
因为 ， ，
所以 ，
由（1）可知 ，
上式两边取倒数得 ，故 ，
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于是
， ，
所以 （ ）.
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中
的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知
的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
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