四川省成都市树德中学2024-2025学年高三下学期高考冲刺模拟（三） 数学试题（含解析）

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1．若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列的公比，前项和为，则对于，下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5．若抛物线上一点A到准线及对称轴的距离分别是5和3，则p的值为（ ）
A．1或8B．1或9C．2或8D．2或9
6．甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
7．已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（ ）
A．-7B．7C．-9D．9
8．正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．第项为
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则
10．已知函数，则（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 的最小正周期为
C. 的最小值为
D. 在上有四个不同的实数解
11．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，其水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型．如图，这是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品，该“十字贯穿体”是由一个圆锥和一个圆柱“垂直贯穿”构成的多面体，圆锥的两条母线与圆柱相切，其中一个切点为，圆柱侧面的母线平行于圆锥的底面，为圆锥的顶点，圆锥的一条母线与圆柱的侧面交于两点，且为圆柱侧面上到圆锥底面距离最大的点，圆锥的母线长为，其底面圆的半径为，圆柱的半径为，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．点到圆锥底面的距离为
D．点到圆锥底面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B处，在同样的细绳OC的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是________(三条绳本身质量忽略不计，横线上填OA或OB或OC)．

13．在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为_________
14． 已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为________

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知三棱柱中，，，，
(1)求证：平面平面
(2)若，且是的中点，求平面和平面的夹角的正弦值．
16．如图，扇形OMN的半径为，圆心角为，A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足.
(1)若，求AB的长；
(2)求△ABM面积的最大值.
17．在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰，某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，，，且3道题目答对与否互不影响.
(1)设X表示这20人中晋级的人数，求；
(2)记这20人中人晋级的概率为，求取得最大值时k的取值.
18．在平面直角坐标系xOy中，双曲线，离心率为，点P是上任意一点．抛物线，
(1)求的方程；
(2)过点P作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形PAOB的面积为定值；
(3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值．
19．设函数，.
(1)①当时，证明：；
②当时，求的值域；
(2)若数列满足，，，证明：（）.
参考答案
ADCD BCAB 9.AC 10.BD 11.ACD
1．A
【分析】利用复数的模公式及复数除法法则，结合共轭复数的概念即可求解.
【详解】由，得.
所以.
故选：A.
2．D
【分析】解出集合，再根据集合交并补运算即可得到答案.
【详解】对于集合，由得，所以或，
所以．
故选：D．
3．C
【分析】根据余弦函数性质和对数函数单调性即可比较大小.
【详解】因为，所以，
所以．
故选：C．
4．【答案】D
【详解】令，，，，，A错；
，B错；
，C错；
一般情况，时，，，，
，此时；
时，，
左边，
右边左边，D对；
故选：D．
5．B
【分析】根据抛物线方程得出其准线方程，再结合点到准线及对称轴的距离列出关于的方程，进而求解．
【详解】设点的坐标为，已知点到对称轴的距离为，因为抛物线的对称轴为轴，所以，则．
因为点在抛物线上，所以，把代入可得，则．
抛物线的准线方程为，已知点到准线的距离为，所以．
把代入可得．
去分母，得到．解得或．
故选：B．
6．【答案】C【详解】设为甲获胜的概率，，，.
故选：C．
7．A【详解】函数在区间上的最大值，
可看作是函数与在区间上函数值之差的绝对值的最大值.
函数在区间上的两个端点,
直线的方程为.
设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，
，令，解得或（舍去），
切点坐标为，代入直线方程，可得，
所以切线方程为.

由图像可知，直线在函数图象上方或下方时的值大于直线与函数图象相交时的值，
所以要使取到最小值，直线在直线和直线的中间，即直线，
此时，，所以.
8．B
【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可.
【详解】解：设，，，，则，，
于是，
又的周长为2，即，变形可得，
于是，
又，所以，
.
故选：B.
9．AC
【分析】将数列数列、、、、、、、、、、变成数阵，确定数阵第行有个数，从左向右分别为.对于A，确定分别在该数阵第行的第2个和第4个即可判断；对于B，确定位于该数阵第行第个数即可求和；对于C，确定第项为第行第1个即可；对于D，根据杨辉三角得到，利用裂项相消求和法求和即可.
【详解】将数列、、、、、、、、、、变成以下数阵：
则该数阵第行有个数，从左向右分别为，
第行最后一项位于原数列第项，
对于A，因为，所以分别在该数阵第行的第2个和第4个，故，即，选项A正确；
对于B，因为，所以位于该数阵第行第个数，
由题意可知，该数阵第行所有数为“杨辉三角”数阵中第行去掉首、尾两个得到，而“杨辉三角”中第行所有数之和为，
所以，该数阵第行所有数之和为，
所以，选项B错误；
对于C，因为，所以第项为第行第1个，即，选项C正确；
对于D，根据杨辉三角知，，选项D错误.
故选：AC.
10．【答案】BD
【详解】方法一：由，
则，，则，
所以不可能关于对称，A错误；
因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
则的最小正周期为，B正确；
当时，，当时，；
当时，，作出函数大致图象，如图，
则，C错误，
有4个根，D正确.

方法二：由，
作出和的图像，取位于上方的部分即可：

由图可知，AC错误，B正确，
对于D，计算知与在内的交点坐标为，
而，结合函数的图象特征可知函数与图象在内有四个交点，
所以在上有四个不同的实数解，故D正确.
故选：BD.
11．ACD
【详解】对于A，过点作轴截面，为圆锥的母线与与圆柱的切点，为圆锥的高，为与圆柱的交点，
如图1，由题意可知，先计算，
又已知，.
因为，根据相似三角形对应边成比例，即.
已知，，，，由可得：.
因为，所以.
由可得：，化简同求OD过程类似，可得，所以A选项正确.
对于B，点到圆锥底面的距离即点到圆锥底面的距离，已知，
因为，，所以，C选项正确.
对于D，点到圆锥底面的距离即点到圆锥底面的距离，已知，
因为，，所以，D选项正确.
对于B，过点，，作截面，如图2所示，易得.
已知，，，则，所以B选项错误.
故选：ACD.
12．如图，无弹性细绳OA，OB一端分别固定在A，B处，在同样的细绳OC的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是________(三条绳本身质量忽略不计，横线上填OA或OB或OC)．
解：设OA，OB，OC三条绳受的力分别为a，b，c，则a＋b＋c＝0，
a与b合力为c′＝a＋b，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c′)).
如图，在▱A′OB′C′中，∵eq \(OB′,\s\up6(→))⊥eq \(OC′,\s\up6(→))，eq \(B′C,\s\up6(→))′＝eq \(OA,\s\up6(→))′，
∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))′))>eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))′))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))′))>eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OC,\s\up6(→))′)).
即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))>eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))>eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c))，细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高．故填OA.
13．在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
法一(共斜边的直角三角形)2R=PB
令PB=z
(舍25/7)

14． 已知为双曲线（，）上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点， ，交轴于点，，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
据此有：
恒成立，则： 恒成立，
据此可得： 恒成立，则： ，即： ．
即双曲线离心率的取值范围为 ．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，由菱形得到，结合得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直，从而证明出面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，结合同角三角函数关系得到正弦值.
【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而，
则平行四边形是菱形，连接，
如图，则有，
因为，，平面，
所以平面，而平面，则，
由，得，又，平面，
从而得平面，又平面，所以平面平面；
（2）在平面内过作，
由（1）知平面平面，平面平面，平面
则平面，
以为原点，以射线分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，
如图，因为，，
所以为等边三角形，
又是的中点，则⊥，故，
由勾股定理得，
又，
则，，，，，
则有，．
设平面的一个法向量，则有，解得：，
令得，而平面的一个法向量，
依题意，，
设平面和平面的夹角的夹角是，
则，，
所以平面和平面的正弦值为
16．(1)1；
(2).
【分析】(1)在△OAB中，利用余弦定理即可求AB；
(2)由题可知AB∥OM，则，设，，在中利用余弦定理和基本不等式求出xy的最大值，再由即可求面积最大值.
【详解】（1）在△OAB中，由余弦定理得，，
即，即，即，
∴；
（2），，，∥，
，
设，，
则在中，由余弦定理得，
即，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号.
∴△ABM面积的最大值为.
17．(1)
(2)12
【分析】（1）求解答对2、3题的概率可得每人晋级的概率，再根据二项分布的数学期望求解即可；
（2）根据二项分布公式，结合取得最大值则满足，列不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，晋级需要答对2题或3题，
答对2题的概率.
答对3题的概率.
故每人晋级的概率为.
故.
（2）由（1）可得，每人晋级的概率均为，
故，
则，，
当时，取得最大值则满足，
即，
故，即，
故，即，解得，
又，故，即取得最大值时k的取值为12.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由离心率即可求解；
（2），求得坐标，进而得到再结合面积公式求解即可；
（3）设，，，通过导数求得切线方程，结合韦达定理求得弦长，点到线的距离公式求得高，代入面积公式，进而可求解；
【详解】（1）解：设双曲线的焦半距为c，则，
又因为离心率为，所以，
代入得，解得，
所以双曲线的方程为
（2）
证明：设，不妨设OA为渐近线，OB为渐近线，
直线AP的方程为，
联立方程，解得，
所以
同理可得，所以
由于直线OA的斜率，因此，所以，
所以平行四边形PAOB的面积为，
因为点P在双曲线C上，所以，即，
所以平行四边形PAOB的面积为
（3）
解：设，，，
因为函数的导数为，所以直线PC的方程为，
由于在直线PC上，则，，
同理，
所以，均满足方程，
所以直线CD的方程为，
联立方程，得，
所以，，
则，
又因为P到直线CD的距离，
所以面积，
又因为，
所以，当P为时T取最小值，
所以面积最小值为
【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
19．(1)①证明过程见解析，②
(2)证明过程见解析
【分析】（1）①求导，得到函数单调性，求出；②先得到为偶函数，考虑时，求导，结合①可知，在上单调递减，从而求出函数最值，求出值域；
（2）先得到，故只需证明，由（1）可知，从而裂项相消法求和得到证明.
【详解】（1）①在恒成立，
故在上单调递增，
故，证毕；
②，恒有，
故为偶函数，
当时，，
由①可知，在上恒成立，
又，故在上恒成立，
故在上单调递减，
故，，
结合函数在上为偶函数可得，函数值域为；
（2）因为，，
所以，
其中，故只需证明，
因为，，
所以，
由（1）可知，
上式两边取倒数得，故，
于是
，，
所以（）.
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.