北京市丰台区2024_2025学年高一数学上学期11月期中试题含解析

这是一份北京市丰台区2024_2025学年高一数学上学期11月期中试题含解析，共18页。
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集定义计算即可.
【详解】由题意.
故选：C
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可.
【详解】根据含有一个量词的否定，
命题“，”的否定是“，”，
故选：A.
3. 下列函数中，在区间上单调递减是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断．
【详解】在上，是增函数，是增函数，
在上是减函数，在上是增函数，
时，是减函数，
故选：D．
4. 已知函数的定义域和值域均为0,2，则的图象可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义可判断；根据图象一一分析函数的定义域和值域，即可判断其它选项.
【详解】对于，直线与图象有两个交点，不符合函数的定义，故不正确；
对于，函数的定义域为，值域为，符合题意，故正确；
对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确；
对于，函数的定义域为，值域为，不符合题意，故不正确.
故选：.
5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解.
【详解】因为二次不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，
则，解得，则.
故选：A.
6. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式的性质以及充分不必要条件即可求解.
【详解】因为，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7. 已知函数，，对，用表示，中的最小者，记为，则当取得最大值时的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在在同一坐标系中，画出的图象，从而得到的图象，进而得解.
【详解】令，得到或，
在同一坐标系中，画出与的图象，如图，
因为，所以图中实线部分为的图象，
由图可知，当时，取到最大值.
故选：C.
8. 已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（ ）
A. B.
C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的单调性和奇偶性计算即可；
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以，
又在区间上单调递增，所以在单调递减；
，
所以，即，
故选：C.
9. 2024年7月15日至18日，党的二十届三中全会在北京隆重举行，全会审议并通过了《中共中央关于进一步全面深化改革、推进中国式现代化的决定》（以下简称《决定》），《决定》中指出要完善基本公共服务制度体系，加强普惠性、基础性、兜底性民生建设，解决好人民最关心最直接最现实的利益问题，不断满足人民对美好生活的向往.居民用水作为民生建设的重要内容，愈发引起社会关注，现已知某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
若某户居民希望本月缴纳的水费不超过元，则此户居民本月用水最多为（ ）
A. 19B. 20C. 21D. 22
【答案】B
【解析】
【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，分段求出关于的函数解析式，再令，解出的值，从而得解.
【详解】依题意，设用户的用水量为，缴纳的水费为元，
当时，，
当时，，
当时，，
综上，令，解得，则此户居民本月用水量为.
故选：B.
10. 已知定义域为的函数满足为偶函数．当时，，且当时，．对，都有，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可求得当，，，时的函数解析式，并且计算当时，的解，结合图象求的最小值.
【详解】因为定义域为的函数满足为偶函数，
所以函数关于对称，
因为当时，，当时，，
所以当时，，则，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
如图，画出函数图象
当时，令，解得或，
对，都有，
结合图象，得，的最小值为
故选：D.
【点睛】关键点点睛：求得当，，，时的函数解析式后，结合函数的图象是本题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为___．
【答案】
【解析】
【分析】根据具体函数定义域的要求直接构造不等式组求解即可.
【详解】由题意知：，解得：且，
的定义域为.
故答案为：.
12. 设集合，若，则实数的值为___．
【答案】2
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系，建立关于的方程，解方程及验证得解.
【详解】集合，且，
（i）当时，，，违反集合元素的互异性，
（ii）当时，解得或，
①当时，不满足集合元素的互异性，舍去，
②当时，，满足题意，则实数的值为.
故答案为：.
13. 能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为___．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】举例说明“若，则”是假命题即可求解.
【详解】当一组实数的值依次为时，满足，但，
故一组实数的值依次为符合题意.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 设函数，若，则的值域是_______；若的值域是，则实数的取值范围是_______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，利用二次函数与反比例函数的性质即可得解；第二空，作出二次函数与反比例函数的图象，分析的取值范围，数形结合即可得解.
【详解】第一空：当时，，
当时，，
可得函数在上单调递减，在上单调递增，
且，所以的值为；
当时，函数fx=1x单调递减函数，其值域为，
综上，的值域是；
第二空：作出函数与的图象，如图，
因为值域是，
当时，fx=1x，
若，由图象可知fx=1x可取得无穷小，不满足题意，
由第一空可知也不满足题意，则必有，
所以，得，则，
当时，，，
且当时，解得或，
即，，结合图象可知，
综上，，即实数c的取值范围是.
故答案为：；.
15. 已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数：
①；
②；
③；
④．
其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是___．
【答案】①③
【解析】
【分析】根据的单调性结合作差法判断的正负，然后逐项分析可得结果.
【详解】①：fx=1x在0,+∞上单调递减，故（i）满足；
因为，且，，
所以，所以，故（ii）满足；
所以fx=1x具有“丰彩”性质；
②：在0,+∞上单调递增，故（i）不满足；
所以不具有“丰彩”性质；
③：在0,+∞上单调递减，故（i）满足；
因为，且，，
所以，
所以，
所以具有“丰彩”性质；
④：的对称轴且开口向下，
所以在0,+∞上单调递减，故（i）满足；
因为，
又因为，，所以，所以，故（ii）不满足；
所以不具有“丰彩”性质；
故答案为：①③.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，根据交集、并集以及补集运算，求解即可；
（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．
【小问1详解】
由得，，所以．
因为，所以或，
所以或．
【小问2详解】
因为，所以，
当时，可得，解之可得，
此时，故不满足舍弃，
当时，可得，故．
综上可知的取值范围为.
17. 已知是定义域为的偶函数，当时，.
（1）求的值；
（2）的部分图象如下图，请将的图象补充完整，并写出的单调递减区间；
（3）若关于的方程恰有6个实数根，则实数的取值范围是________．
【答案】（1）
（2）作图见解析，，，
（3）
【解析】
【分析】（1）结合分段函数，根据由内到外的计算方法求值即可；
（2）根据偶函数的图象特征作图即可，结合函数图象得出函数的单调递减区间；
（3）关于的方程恰有个实数根，函数y=fx的图象与函数的图象有个公共点，结合图象即可求解.
【小问1详解】
由已知，得，
所以；
【小问2详解】
的单调递减区间为，，；
【小问3详解】
关于的方程恰有个实数根，
所以函数y=fx的图象与函数的图象有个公共点，
结合图象可知的取值范围为0,1.
18. 设函数，．
（1）若为奇函数，求实数的值；
（2）根据定义证明在区间上单调递增；
（3）若对，，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义结合求解出的值；
（2）先分析的正负，再结合单调性定义判断出单调性即可；
（3）根据条件将问题转化为，结合（2）以及幂函数的单调性求解出的取值范围.
【小问1详解】
由已知，得的定义域为，，
又因为是奇函数，
所以，即，
解得．
【小问2详解】
证明：，且，
则
，
由，得，，，
于是，即，
所以在区间上单调递增．
【小问3详解】
由已知，得，
由（2）知，在区间上单调递增，
所以，
因为在区间上单调递增，
所以，
所以．
19. 设函数.
（1）若______（从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知），
求实数的值，并以此时的图象与坐标轴的交点为三角形的顶点，求该三角形的面积；
条件①：关于的方程有两个实数根，且；
条件②：，都有；
条件③：的最小值为，且.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）据题意列出关于的方程，确定函数解析式，即可求出其与坐标轴的交点，进而得到三角形面积；
（2）由于方程的两根为，，故分，，，四种情况讨论解不等式.
【小问1详解】
选择条件①：关于的方程有两个实数根，且,
所以，解得，
此时，
设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，
令，解得，，所以，，
又因为，所以，
所以三角形的面积.
选择条件②：，都有，
所以的对称轴为，即，解得，
此时，
设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，
令，解得，，所以，，
又因为，所以，
所以三角形的面积.
选择条件③：因为的最小值为，且，
所以，且在对称轴处取得最小值，
即，解得或（舍去），
此时，
设的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，
令，解得，，所以，，
又因为，所以，
所以三角形的面积.
【小问2详解】
因为，所以方程的两根分别为，.
当时，有，解得；
当时，有，解得或；
当时，有，解得或；
当时，有，解得.
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
20. 某公司计划生产一类电子设备，该电子设备每月产量不超过台，每台售价为万元. 每月生产该电子设备的成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本为万元，每月生产台时需要投入的可变成本为（单位：万元），每月的利润为（单位：万元），其中利润是收入与成本之差．当每月产量不超过台时，；当每月产量超过台时，．假设该公司每月生产的电子设备都能够售罄．
（1）求关于的函数解析式；
（2）如果你是该公司的决策者，分析每月生产多少台电子设备可以使月利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元
【解析】
【分析】（1）根据利润是收入与成本之差可构造分段函数解析式；
（2）根据二次函数最值、基本不等式分别求解每一段上的最大值，对比可得总体最大值并确定最大值点.
【小问1详解】
由题意知：，
.
【小问2详解】
当时，为开口方向向下，对称轴为的抛物线，
此时；
当时，（当且仅当时取等号）；
，该公司每月生产台电子设备可以使月利润最大，最大利润是万元.
21. 给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质.
（1）设集合，，请直接写出，是否具有性质；
（2）若集合具有性质，求的值；
（3）若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合．
【答案】（1）集合具有性质，集合不具有性质
（2）
（3），，，，
【解析】
【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足；
（2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解；
（3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解.
【小问1详解】
因为集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减，
两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质，
集合中的，，
所以集合不具有性质，
所以集合具有性质，集合不具有性质；
【小问2详解】
记，易知，
令，
所以，
由集合具有性质，
所以，
不妨设，则，且，
令，，
则，且，且，
①当时，显然，
因为，所以，
所以，解得，
此时，具有性质；
②当时，则，
因为且，
所以，，
所以，解得，
此时，与题意不符（舍），
综上，，
故；
【小问3详解】
记，易知，
令，
所以，
由集合具有性质，
所以，
不妨设，，
此时，
若，显然，
所以，
由集合具有性质，
所以，，
因为且与互为相反数，
所以，两个数中必然一正一负，
所以中有0，有正数也有负数，
下面对中元素的正负个数进行讨论：
（1）当中有1个负数，4个正数时，
不妨设，，
因为均大于，
所以均不属于，
由集合具有性质，
所以，
因为，
所以不可能同时等于，
所以此时集合不具有性质，舍去；
（2）当中有4个负数，1个正数时，
不妨设时，，
因为均小于，
所以均不属于，
由集合具有性质，
所以，
因，
所以不可能同时等于，
所以此时集合不具有性质，舍去；
（3）当中有2个负数，3个正数时，
不妨设时，，，
因为，
所以，
由集合具有性质，
所以，
因为，
所以，
即，①
因为均大于，
所以均不属于，
由集合具有性质，
所以，，
因为，，
所以，，，
故，，，，
所以，，，②
由①②，得，
于是：.
（4）当中有3个负数，2个正数时，
由（3），同理可得，
由此，当恰有6个元素，且时，可得符合条件的集合有5个，
分别是，，，
，.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定满足性质的集合里面有0，再对其他元素进行讨论.
每户每月用水量
水价
不超过15的部分
2.07元/
超过15但不超过21.67的部分
4.07元/
超过21.67的部分
6.07元/