北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期末练习数学试题（解析版）

这是一份北京市丰台区2024-2025学年高一上学期期末练习数学试题（解析版），共15页。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，所以.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为“”不能推出“”；
“”能推出“”，
所以，“”是“”的必要不充分条件，故选B.
3. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】A选项，不妨设，满足，但，A错误；
B选项，，由不等式性质得，B正确；
C选项，不妨设，此时满足，但，C错误；
D选项，，
因为，所以，但不确定的正负，若，则，
若，则，若，则，D错误.
故选：B
4. 已知扇形圆心角为2弧度，弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的半径为cm，则，
则该扇形的面积为.
故选：C
5. 已知，则的大小关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为单调递增，所以，
又因为，所以.
故选：A.
6. 把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】把的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，
可得的函数图像，
再把所得图象向右平移个单位长度，可得函数，
所以.
故选：C.
7. 近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，已知臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，是自然对数的底数．按照此关系推算，当臭氧含量为初始含量的时，的值约为（ ）（参考数据：）
A. 305B. 483C. 717D. 879
【答案】C
【解析】因为臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，
所以当臭氧含量为初始含量的时，得，
计算得，化简得，
所以.
故选：C.
8. 已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 是以2为周期的周期函数
C. 在区间上单调递减
D. 若关于的方程在区间上有两个实数根，分别记为，则
【答案】D
【解析】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，则.
由，取可得，故A错误；
对于B，因为是定义在上的奇函数，则，
又因，则.
用替换可得，故有.
所以是以为一个周期的周期函数，故B错误；
对于C，已知在上单调递减，因是奇函数，故在上也单调递减，即在上单调递减.
由于的周期是，那么在上的单调性与上的单调性相同.
由可知的图象关于直线对称，
所以在上的单调性与上的单调性相反，即在上单调递增，所以在上单调递增，故C错误；
对于D，因的图象关于直线对称，且周期可取为，故的图象关于直线对称.
若关于的方程在区间上有两个实数根，，
根据函数图象的对称性可知，则，故D正确.
故选：D.
9. 已知函数，对，用表示中的最大者，记为．若恒成立，则（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是
C. 的最大值是D. 的最小值是
【答案】A
【解析】因为时，，故需时，恒成立，
故即，所以的最大值是，
故选：A.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. -1C. 1D.
【答案】A
【解析】，故，
因为点是单调递增区间上一点，且，所以，
设的最小正周期为，由图象可知，且，
解得，，即，解得，
其中为的一个零点，故，
解得，
又，故，解得，
又，所以，
故，
则，
所以.
故选：A
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】由题意得，解得，故函数定义域为.
故答案为：
12. 已知指数函数的图象过点，则该指数函数的解析式为______．
【答案】
【解析】设（且），将代入得，解得，负值舍去，
故该指数函数的解析式为.
故答案为：
13. 已知命题若为第一象限角，且，则．能说明为假命题的一个的值为______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为在上单调递增，若，则，
又为第一象限角，
取，
则，由为假命题，则，
令，，则，满足题意.
故答案为：（答案不唯一）.
14. 已知正数满足，则的最大值是______，的最小值是______．
【答案】
【解析】正数满足，由基本不等式得，
即，解得，当且仅当，即时，等号成立，
，故，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
15. 设，函数给出下列四个结论：
①当时，；
②当时，存在最小值；
③若在区间上单调递增，则的取值范围是；
④设记两点之间的距离为，则存在负数，使得．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【解析】当时，，，故①正确；
当时，时，单调递减，时，单调递增，
，则，图象如上所示，
所以当时，不存在最小值，故②错；
当时，，解得，
当时，成立，
所以若在区间上单调递增，
则的取值范围为，故③正确；
当时，取，，
，
因为，所以，
所以存在负数，使得，故④正确.
故答案为：①③④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 设集合．
（1）若，求的值；
（2）在（1）的条件下，求．
解：（1）依题意，可知一元二次方程的两个根分别为，2，且．
由韦达定理，得，
解得，故．
（2）由，可得，
所以．
由（1）知，，
所以或，
故或．
17. 已知函数．
（1）判断的奇偶性，并证明；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出的图象，并写出的单调区间；
（3）求不等式的解集．
解：（1）是偶函数，证明如下：
由已知，得的定义域为，关于原点对称．
因为，都有，
且，
所以，故是偶函数.
（2）的图象如下图所示．
的单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）因为，且，
所以．
因为在区间上单调递增，
且,所以，
解得，或，
故的解集为或．
18. 在平面直角坐标系中，角的顶点为点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点
（1）求的值；
（2）求的值.
解：（1）因为角的终边与单位圆交于点
所以解得．
因为，所以．
由三角函数的定义知，．
（2）原式=
19. 设函数，其中．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，使的解析式唯一确定．
（1）求的解析式及单调递增区间：
（2）若在区间上的值域为，求的取值范围
条件①：的最小正周期为；
条件②：；
条件③：的图象关于直线对称．
解：（1）选条件①②：
由条件①知，，
所以，即．
由条件②知，．
因为，所以，
所以
令，
解得，
故的单调递增区间为
选条件①③：
由条件①知，，
所以，即．
由条件③知，，所以,
因为，所以，以下同选条件①②，
选条件②③：
由条件②知，．
因为，所以，即
由条件③知，，
所以，此时不唯一，不符合要求
（2）因为，所以．
因为
且在区间上的值域为，
所以，解得，
故的取值范围是
20. 设函数，其中．
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值：
（2）若在区间上不单调，求的取值范围；
（3）若在区间内存在零点，求的取值范围．
解：（1）当时，，
所以的对称轴为，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
（2）由已知，得的对称轴为．
因为在区间上不单调，
所以．
由，解得，
故的取值范围是
（3）解法1：由已知，得．
1）当即，或时，
由，得，此时的零点为3，不符合题意：
由，得，此时的零点为，符合题意．
2）当即，或时，
①若，此时的对称轴
且
所以区间内存在零点，符合题意
②若，此时的对称轴，
所以在区间内单调递减．
又因为，
所以在区间内存在零点只需满足，
解得．
综上，的取值范围是．
解法2：由已知，得的对称轴为，
1）当即时，，
此时在区间内有零点为，符合题意．
2）当即时，，
此时在区间内无零点，不符合题意，
3）当即，且时，
由在区间内存在零点，则有以下两种情况：
①，解得，或
②解得．
综上，的取值范围是．
21. 设集合其中，且．若集合同时满足下列两个条件，则称集合是集合和谐子集．
条件①：；
条件②：对集合中任意三个元素不存在，使得．
（1）若集合，请判断集合，是否为集合的和谐子集（不需要说明理由）；
（2）若集合，集合是集合的和谐子集，且集合中的最小元素是3，求集合中元素个数的最大值：
（3）若集合，且集合是集合的和谐子集，求集合中元素个数的最大值．
解：（1）对于集合，其中，不满足和谐子集的条件②，
所以不是集合的和谐子集.
对于集合，满足和谐子集的条件①，
且对集合中任意三个元素，
不存在，使得，满足条件②，
所以是集合的和谐子集.
综上所得，集合不是集合的和谐子集，集合是集合的和谐子集.
（2）将集合中大于3的元素按照被3除所得的余数进行分类：
被3除所得的余数为0的元素有6：
被3除所得的余数为1的元素有4，7：
被3除所得的余数为2的元素有5，8．
因为，所以4与7，5与8不能同时属于集合，
否则，或者，与已知矛盾．
设为集合中元素的个数，则．
构造集合，
因为，所以集合是集合的和谐子集，
故集合中元素个数的最大值是4.
（3）不妨设集合中的最小元素是，
则存在唯一非负整数数对，使得，其中．
将集合中大于的元素按照被除所得的余数进行分类：
被除所得的余数为1的元素有；
被除所得的余数为2的元素有；…
被除所得的余数为的元素有；
被除所得的余数为的元素有；
……
被除所得的余数为的元素有；
被除所得的余数为0的元素有．
因为是集合中的最小元素，所以上述各行任意两个相邻元素中，至多有一个元素属于集合．
设为不大于的最大整数，
则在前行中，每行至多有个元素符合题意，
在剩下的行中，每行至多有个元素符合题意，
所以
构造集合，
因为，所以集合是集合的和谐子集，
故集合中元素个数的最大值是1013．