2025北京丰台区高二上学期11月期中考试数学试题含解析

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考试时间：120分钟
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.
1. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. 2D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量平行得到方程组，求出答案.
【详解】由题意得，即，
所以，解得.
故选：C
2. 若直线过两点和，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用直线上两点坐标表示斜率，再利用斜率和倾斜角的关系，即得解
【详解】由题意，设直线的斜率为，倾斜角为
故
由于，故
故选：B
3. 过点，且横、纵截距相等的直线方程为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线过原点和直线不过原点时，对应直线的方程即可．
【详解】解：当直线过原点时，直线的斜率为，则直线方程为；
当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，
所求的直线方程为，
综上知，所求直线方程为或．
故选：D.
4. 已知以点为圆心，为半径的圆，则点与圆的位置关系是（ ）
A. 在圆内B. 在圆上
C. 在圆外D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】计算出圆心到点的距离，比较与圆半径的大小，可得出结论.
【详解】由题意，圆心，点，圆的半径为，
因为，
因此，点在圆内.
故选：A.
5. 如图，在平行六面体中，，为线段CH的中点，则可表示为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合空间向量的线性运算分析求解即可.
【详解】由题可得：，
所以.
故选：B.
6. 在空间直角坐标系中，若点关于轴的对称点为点，点关于平面的对称点为点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用对称性求出点、的坐标，再利用空间向量的坐标运算可求得向量的坐标.
【详解】因为点关于轴的对称点为点，则，
因为点关于平面的对称点为点，则，
因此，.
故选：A.
7. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先得到过原点且倾斜角为的直线的方程，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理进行求解.
【详解】过原点且倾斜角为的直线为，即，
圆心到的距离，
故直线被圆所截得的弦长为.
故选：B
8. 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定、两点的坐标，利用两点式可求直线PB的方程.
【详解】如图：
因为点在直线上，且横坐标为2，所以点坐标为2,3，
点为直线与轴交点，所以，
又点在轴上，且，
则点2,0是的中点，所以，
所以直线PB的方程为，即.
故选：C.
9. 在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，记正方体的中心为点O，则OP =（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，确定点O，P坐标，利用空间两点间的距离公式，即可求得答案.
【详解】由题意知在棱长为4的正方体内有一点P，它到该正方体共顶点的三个面的距离分别为2，1，1，
不妨设该顶点为D，以D点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系：
则，根据正方体的对称性，可取，
故.
故选：D
10. 在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足=x+y-(x+y-1)，点N满足=λ+(1-λ)，当AM、BN最短时，·=（ ）
A. -B. C. -D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由向量的关系式得M∈平面BCD，N∈直线AC，由条件判断点，线，面的位置关系，结合向量数量积的运算，即可求解.
【详解】由共面向量定理和共线向量定理可知，M∈平面BCD，N∈直线AC，当AM、BN最短时，AM⊥平面BCD，BN⊥AC，
所以M为△BCD的中心，N为AC的中点，
此时，2||==，∴||=，
∵AM⊥平面BCD，MC⊂平面BCD，
∴AM⊥MC，
∴||=
==.
又=(+)，
∴·=(·+·)
=-||2=-.
故选：A.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 圆的圆心坐标为___________；半径为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】配方后可得圆心坐标和半径．
【详解】将圆的一般方程化为圆标准方程是，
圆心坐标为，半径为．
故答案为：；．
12. 已知直线，且的方向向量为，平面的法向量为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据线面的位置关系得直线的方向向量与平面法向量垂直，然后利用向量垂直的坐标运算列式计算即可.
【详解】因为直线，且的方向向量为，平面的法向量为，
所以，解得.
故答案为：
13. 已知两平行直线，，则与间的距离是________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用两直线平行可得，再利用平行线间的距离公式计算可得结果.
【详解】由两直线平行可知，此时
将可化为，
所以与间的距离为.
故答案为：
14. 已知，，，若四点共面，则实数___________.
【答案】3
【解析】
【分析】由共面向量基本定理结合向量的坐标运算列式求解即可.
【详解】因为四点共面，
所以存在实数，使得，即，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
15. 在平面直角坐标系中，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.已知点和直线，则=________；若定点，动点满足，则点所在的曲线所围成图形的面积是_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设点是直线上一点，且，可得，讨论的大小，可得距离，再由函数的性质，求得最小值；运用新定义，求得点的轨迹图形，计算图形的面积即可.
【详解】设为直线上一点，则，
由，解得，即有，当时，取得最小值，
由，解得或，即有，
的范围为，无最小值，
综上，的最小值为，
所以.
设轨迹上动点为Px,y，则，
等价于或，
所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形，
所以点所在的曲线所围成图形的面积为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查新定义理解和运用，解题的关键是正确理解新定义，注意与的区别.
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16 已知直线过点，直线：．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由题意，根据垂直关系可求得直线斜率，结合直线方程的点斜式即得解；
（2）分直线斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线：，用表示面积，求解即可
【小问1详解】
设直线斜率为，直线的斜率为
因为，所以
又因为，所以
又因为直线过点
直线的方程为，即．
【小问2详解】
若直线斜率不存在，则直线：
此时，直线与轴和直线围成的三角形面积为，符合题意．
若直线斜率存在，设直线的斜率为
设直线：，与轴交点为点
令，解得
所以点坐标为
直线与直线的交点为点
因为直线与轴和直线围成的三角形面积为
即
即，可求得
则直线的方程为
综上：直线方程为或．
17. 如图所示，在三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上，且.
（1）用表示向量；
（2）求；
（3）求证：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可；
（2）利用数量积的运算律求解模长即可；
（3）先利用向量线性运算得，然后利用数量积的运算律及定义求得，即可证明.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，
则；
【小问3详解】
，
所以
，
所以，即.
18. 已知圆，圆及点.
（1）判断圆和圆的位置关系，并说明理由；
（2）若斜率为的直线经过点且与圆相切，求直线的方程.
【答案】（1）圆和圆相交，理由见解析
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出两圆的圆心和半径，比较圆心距与半径和、差的关系，可得两圆的位置关系.
（2）设直线方程的点斜式，利用圆心到直线的距离等于远的半径求，可得圆的切线方程.
【小问1详解】
圆方程可整理为：，则圆心，半径，
由圆方程可知：圆心，半径，
因为，，，
所以，
所以圆和圆相交.
【小问2详解】
当过的直线斜率不存在，
即直线为时，其与圆不相切，
所以可设所求切线方程为：，即，
所以圆心到切线的距离，即，解得：或，
所以切线方程为：或，即或.
19. 如图，在长方体中，，，点在上，且.
（1）求直线与直线所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若点在侧面上，且点到直线和的距离相等，求点P到直线距离的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出直线与直线的方向向量运算得解；
（2）求出平面的一个法向量，利用向量法求解；
（3）设出点，可得，利用点到直线距离公式求解.
【小问1详解】
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
,
则，
，
所以直线与直线所成角为.
【小问2详解】
设平面的一个法向量为，
，
因为，所以，即，
令，则，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
设，根据题意有，即，
，
则点到的距离
，
当时，取得最小值1.
所以点到的距离最小值为1.
20. 如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点分别为棱的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求直线到平面的距离；
（3）试判断棱上是否存在一点G，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理可求得结果；
（2）根据已知条件建立空间直角坐标，确定各点坐标，计算平面的法向量，再根据线面之间的距离公式可求得结果；
（3）假设存在，设，根据面面夹角的余弦值列得等式，求出值即可.
【小问1详解】
连接，如图所示：
，
因为点分别为棱的中点，
所以是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，
取中点，连接，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
所以，
因为为中点，
所以，
，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，所以，
设，则所以， ，
所以直线到平面的距离；
【小问3详解】
棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为
设
设平面的一个法向量为
因为，所以，，
设，则，所以，
，
解得，
所以.
21. 已知圆M的圆心在y轴上，半径为2，且经过点.
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点，过点D作直线，交圆M于P，Q两点（P，Q不在y轴上），过点D作与直线垂直的直线，交圆M于E，F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值.
【答案】（1）
（2）7
【解析】
【分析】（1）设圆心坐标为，根据半径列式求出b，即可求得答案；
（2）讨论直线斜率是否存在，存在时，结合点到直线的距离公式、圆的弦长以及直线的垂直关系求出四边形EPFQ的面积的表达式，利用基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
因为圆M的圆心在y轴上，可设圆心坐标为，
又因为半径为2，且经过点，
所以，解得：，
所以圆M的标准方程为：.
【小问2详解】
直线的斜率存在，设直线的方程，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，
则，则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，所以，
则
,
当且仅当，即时取等号，
综上所述，因为，
所以S的最大值为7.
【点睛】关键点睛：本题是关于圆内四边形的面积的最值计算问题，解答的关键在于结合直线的垂直求出四边形的面积表达式，进而利用基本不等式求解最值.