天津市南开中学2024~2025学年高一下册4月期中数学试题

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本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共100分.考试结束后，将答题纸交回.
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式V=Sℎ，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高；
锥体的体积公式 V=13Sℎ,其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高；
台体的体积公式 V=13S+S'+SS′ℎ,其中S表示台体的上底面面积，S'表示台体的下底面面积，ℎ表示台体的高；
球的体积公式 V=43πR3,球表面积公式：S=4πR²,其中R表示球的半径.
Ⅰ卷(共40分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)
1.下列各式能化简为 PQ的是( )
A.QC+QP+CQ B.AB+PA−BQ
C.AB+PC+BA−QC D.PA+BA−BQ
2.若复数z满足z=1+i (i是虚数单位)，则下列说法不正确的是( )
A.复数z在复平面内对应点在第一象限
B. z的模为 2
C. z的共轭复数为1-i
D.复数z的虚部为i
3.在△ABC中, sin A: sin B:sinC=4:2:3, 则最大角余弦值为 ( )
A.−14 B. 14 C.−1124 D. 1124
4.如果一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2，4，4，那么该三棱锥外接球的表面积是 ( )
A. 12π B.86π C. 24π D. 40π
5.△ABC 中,下列命题不正确的是 ( )
A 若A>B, 则sinA>sinB
B. 若sin2A=sin2B, 则△ABC一定为等腰三角形
C. 若 a2+b2−12.
其中所有正确结论的序号为 ( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
9. 设锐角△ABC 的内角A, B, C的对边分别是a, b, c, 若 a=3, 且(2b−c)csA=acsC,
则下列命题正确的个数为( )
①A=π3; ②△ABC的外接圆的面积是π；
③△ABC 的面积的最大值是 334; ④b+c的取值范围是3，23 .
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
10.如图，已知平行六面体 ABCD−A1B1C1D1的体积为V，点E在CC₁上且CE=3EC₁, 则三棱锥D₁−ADC 与三棱锥E−BCD的公共部分的体积为( )
A.3V28 B.V21 C.V28 D. V7
II卷(60分)
二、填空题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
11.已知i是虚数单位，则复数 2+4i1−i= .
12.已知向量a， b满足 ∣a∣=1,∣b∣=23,b⋅2a+b=18 则a与b的夹角等于 .
13.如图是某正方体的平面展开图.关于这个正方体，有以下判断：
①CN∥DE; ②BM∥平面ADE; ③平面BDM∥平面AFN; ④DM,BF是异面直线.其中判断正确的序号是 .
14.一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了2km到达B地，然后由B地向南偏东30°方向骑行了2km到达C地，再从C地向北偏东30°方向骑行了8km到达D地，则A,D两地的距离为 km.
15. 在四边形ABCD中, AB⊥AD, CB⊥CD, ∠ABC=60°, AB=2, AD= 3E，F分别为线段AB，
CD的中点，若设 AD=a,BC=b, 则 EF可用a， b表示为 ; EF⋅CD= .
16. 如图, 在△ABC中, AB=2,AC=3,AB⋅AC=3,点D是BC的中点，点E在边AC上， 3AE=AC.BE交AD于点F, 设 BF=λAB+μACλμ∈R,则λ+μ= ；点G是线段BC上的一个动点，则 BF⋅FG的最大值为 .
三、解答题(本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，`证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分9分)
在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知 a=23,b=3c,csA=−13.
(1)求c的值;
(2)求sinC的值;
(3)求 sin(2A+C)的值.
18. (本小题满分9分)
如图所示，在三棱柱 ABC−A1B1C1中, E,F,G,H 分别是AB,AC, A1C1,A1B1的中点.
(1) 证明: BC∥平面A₁EF;
(2) 证明: 平面. A1EF‖平面BCGH;
(3) 平面 BCGH将三棱柱 ABC−A1B1C1分割成两部分，两部分几何体的体积分别为 V1,V2(V1