天津市南开区2024-2025学年高一上学期期中质量监测（一）数学试题（解析版）

这是一份天津市南开区2024-2025学年高一上学期期中质量监测（一）数学试题（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中错误的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于命题①，，所以命题①错误，
对于命题②，，所以命题②错误，
对于命题③，因为是无理数，，所以命题③错误，
对于命题④，因为，所以命题④正确，
对于命题⑤，因为是无限循环小数，是有理数，即，所以命题⑤正确，
故选：C.
2. 设全集为，集合，，则等于（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，
又，所以.
故选：A.
3. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由全称命题否定为特称命题，故原命题的否定为.
故选：B
4. “函数在上有最大值”是“函数在上单调”的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 “函数在上有最大值”不能推出“函数在上单调”，
如函数在上有最大值，但函数在上不单调，所以充分性不成立；
若“函数在上单调”则“函数在上有最大值为或”，必要性成立，
所以函数在上有最大值”是“函数在上单调”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 下列各组函数是同一函数的是（ ）.
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】对于A，函数和定义域均为，
但与的对应关系不同，
故函数和不是同一函数，故A错误；
对于B，函数定义域为，定义域为，
两函数和定义域不同，故不是同一函数，故B错误；
对于C，解得，所以函数定义域为，
令得，所以函数定义域为，
函数和定义域相同，
又，，所以函数和对应关系同，所以两函数和是同一函数，故C正确；
对于D，函数定义域为，定义域为，
两函数和定义域不同，故不是同一函数，故D错误.
故选：C.
6. 设函数，则f(f(f(1)))＝( )
A. 0B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】，，，故选C.
7. 设,则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由指数幂的运算可知，
因为是定义在R上的单调递增函数
所以故选:C
8. 已知，，则的最小值是（ ）.
A. 1B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】因为，，
所以，当且仅当即时等号成立，
又，当且仅当即时等号成立，所以的最小值是4.故选：D.
9. 已知定义在上的偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数是偶函数，；
又函数在上是增函数，又有，
，即.故选：A.
10. 函数y=2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，16]，当a变动时，函数b=g（a）的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据选项可知，变动时，函数的定义域为,，值域为,，
，，
故选：B．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11. 函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．
【答案】(1,4)
【解析】由恒过(0,1)，而是由向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到，
∴P点坐标为(1,4)．
故答案为：(1,4)．
12. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____________.
【答案】6
【解析】因为，
所以函数在区间上单调递减，
所以.
故答案为：6.
13. 函数的定义域是_____________.
【答案】
【解析】由题意，解得且，
故答案：．
14. 函数的图象关于直线对称，则_____________.
【答案】-2
【解析】由与轴交于点，保留图象在轴上方的部分，
把在轴下方的部分翻折到轴的上方可得的图象，
所以的图象关于对称，
又函数的图象关于直线对称，所以，解得.故答案为：.
15. 设函数有唯一的零点，则实数的值为_____________.
【答案】或
【解析】令，则，
因为，
所以函数是偶函数.因为函数有唯一的零点，
所以函数有唯一的零点.则，
即，解得.
故答案为：.
三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 已知全集为，集合或，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）若，则，
所以或，又集合或，
所以或.
（2）因为，所以，
因为，，
所以当时符合题意，此时，即；
当时，要使，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
17. 计算：
（1）；
（2）若，，求的值.
解：（1）原式
.
（2）原式
，
因为，，所以原式.
18. 已知为定义在上的偶函数，当时，，且的图象经过点，在的图象中有一部分是顶点为，过点的一段抛物线.
（1）试求出表达式；
（2）求出的值域.
解：（1）当x≤-1时,f(x)=x+b,且f(x)的图象经过点(-2,0),则；
由于f(x)为定义在R上的偶函数,当时， ；
y=f(x)的图象中有一部分是顶点为(0,2),过点(-1,1)的一段抛物线.
设，过点，则，，
可见当时，；
则f(x)=
（2）当时，；当时，；当时，；函数的值域为.
19 已知函数.
（1）若关于的方程有两个互为相反数的实根，解不等式；
（2）若函数的两个零点均在区间内，求的取值范围.
解：（1）设方程的两个零点分别为，，
由已知得，而，所以，故.
不等式即，解得或，
故不等式的解集为或.
（2）因为函数的两个零点均在区间内，
所以，即，
解得：，即实数的取值范围为.
方法2：由得，所以，故.
若函数的两个零点均在区间内，
则即
解得，，即实数的取值范围为.
20. 已知函数，，.
（1）若，写出函数的单调区间，并指出单调性；
（2）若函数在上单调，且存在使成立，求的取值范围：
（3）当时，求函数的最大值的表达式.
解：（1）当时，，
任取，且，
则，
因为，且，则，
当时，，得到，即，
当时，，得到，即，
所以的单调区间为，；在上单调递增，上单调递减.
（2）当时，.
易知的单调区间与的单调区间一致，
故由（1）知在上单调递增，上单调递减，
所以当时，在上单调递增，
又存在使成立，
所以，即，解得，
所以的取值范围为.
（3），易知在区间上单调递增，
①当时，在单调递增，在上单调递增，
则；
②当时，在单调递增，单调递减，上单调递增，
因为，，
（i）当时，即时，即时，；
（ii）当时，即时，即时，；
综上所述，.