2024-2025学年天津市南开中学滨海生态城学校高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市南开中学滨海生态城学校高一下学期期中数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，共60分。
1.复数z=12−i在复平面上所对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.若e1, e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是( )
A. e1−2e2, 2e2−e1B. 2e1+3e2, 3e1+2e2
C. 2e2+3e1, 6e1+4e2D. e1−2e2, e2−12e1
3.在▵ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=30∘，b= 2，c=2，且a>b，则a=( )
A. 2 3−1B. 3+1C. 2 2−1D. 2+1
4.已知向量OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(2m,m+1).若AB→//OC→，则实数m的值为( )
A. 15B. −35C. −3D. −17
5.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若m//n，m//α，则n//αB. 若m//n，α//β，m⊥α，则n⊥β
C. 若α⊥β，β⊥γ，则α//βD. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
6.若向量a=(2,2)，向量b满足b−a⊥a，则b2在a上的投影向量的坐标为( )
A. 14,14B. 12,12C. (1,1)D. (2,2)
7.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，若AB=2 2，BB1=2，则AB1与BC1所成角的大小为( )
A. 60°B. 90°C. 105°D. 75°
8.已知三棱锥P−ABC的四个面均为直角三角形，PA⊥平面ABC，PA=AB=4，AC=6，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为( )
A. 12πB. 24πC. 32πD. 52π
9.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为( )
A. 2 3B. 13C. 15D. 17
10.如图，在透明塑料制成的长方体ABCD−A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法中错误的是( )
A. 有水的部分始终是棱柱形；B. 水面EFGH所在四边形面积为定值；
C. 棱A1D1始终与水面EFGH平行；D. 当E∈AA1时，AE+BF是定值．
11.如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，AB=6，A1B1=2，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒28ml，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为( )
A. 74mlB. 76mlC. 104mlD. 112ml
12.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q为线段B1C1的中点，P为线段CC1上的动点(含端点)，则下列结论错误的是( )
A. 三棱锥D−D1PQ的体积为定值
B. 直线DP与直线A1B所成角的取值范围为[π4,π2]
C. DP+PQ的最小值为 13
D. 若P为线段CC1中点，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为3 102
二、填空题：本大题共8小题，共40分。
13.设i是虚数单位，则复数z=2i+31−i的共轭复数的虚部为 ．
14.已知向量a，b的夹角为π4，且a=2，b=(1,1)，则a+b= ．
15.如图，▵O′A′B′是▵OAB在斜二测画法下的直观图，其中O′B′=2O′A′=4，则▵OAB的面积是 ．
16.一个几何体是由一个圆锥和一个半球组成的(相关尺寸如图)，则该几何体的体积为 ．
17.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知a=2,且ccsB+bcsC−2acsA=0，则▵ABC外接圆面积为 ．
18.已知顶点为P的圆锥，AE为底面圆的一条直径，B是母线PA的中点，C为底面圆的中心，D为线段BC的中点，若▵ABC是边长为2的正三角形，则DE与该圆锥底面所成角的正切值为 ．
19.柏拉图多面体，是指严格对称，结构等价的正多面体．由于太完美，因此数量很少，只有正四、六、八、十二、二十面体五种．如果用边数不同的正多边形来构造接近圆球、比较完美的多面体，那么数量会多一些，用两种或两种以上的正多边形构建的凸多面体虽不是正多面体但有些类似，这样的多面体叫做半正多面体．古希腊数学家物理学家阿基米德对这些正多面体进行研究并发现了13种半正多面体(后人称为“阿基米德多面体”).现在正四面体上将四个角各截去一角，形成最简单的阿基米德家族种的一个，又名截角四面体．设原正四面体的棱长为6，则所得的截角四面体的表面积为 ，该截角四面体的体积为 ．
20.在▵ABC中，AB=4,AC=3,∠A=60∘,AD=3DB,P为线段CD上一点．AP=xAC+35AB，则x= ；若P在线段CD上运动，则AP⋅BP的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.（12分）已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知csinB= 3bcsC．
(1)求角C：
(2)若a+b=5,c= 7，求▵ABC的面积．
22.（12分）在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csB=b+2c2a．
(1)求角A的大小；
(2)设b=2，c=3．
(i)求a的值；
(ii)求cs(2B−A)的值．
23.（13分）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，所有棱长均相等，且AA1⊥平面ABC，点D、E、F分别为所在棱的中点
(1)求证：EF//平面CDB1；
(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值；
(3)求直线B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．
24.（13分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF=1，FB=FC,∠BFC=90°，AE= 3．
(1)求证：EF//AB;
(2)求证：AB⊥平面BCF；
(3)求直线AE与平面BDE所成角的正切值．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.B
6.C
7.B
8.D
9.C
10.B
11.C
12.D
13.−52
14. 10
15.8
16.320π3cm3
17.4π3/43π
18. 35
19.28 3 ；463 2
20.15/0.2 ；−134,3
21.【详解】(1)因为csinB= 3bcsC，由正弦定理得sinBsinC= 3sinBcsC
在▵ABC中，sinC>0，则sinC= 3csC，即tanC= 3,C∈0,π，
故C=π3．
(2)由余弦定值知：csC=a2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab，
即12=25−2ab−72ab，则ab=6，
所以S▵ABC=12absinC=12×6× 32=3 32．
22.【详解】(1)因为csB=b+2c2a得csB=a2+c2−b22ac=b+2c2a；
即bc+2c2=a2+c2−b2，得c2+b2−a2=−bc；
所以csA=b2+c2−a22bc=−12，因为A∈(0,π)；
所以A=120°．
(2)ia2=b2+c2−2bc·csA=19，则a= 19．
iicsB=b+2c2a=4 1919，则cs2B=2cs2B−1=1319，sin2B=8 319．
所以cs(2B−A)=cs2BcsA+sin2BsinA=1138．
23.【详解】(1)
连接DE，因为D，E分别为AB，AC的中点，
所以DE//BC，DE=12BC，
又BC//B1C1，BC=B1C1，F为B1C1的中点，
所以DE//B1F，DE=B1F，
所以四边形DEFB1为平行四边形，
所以EF//B1D，又EF⊄平面CDB1，B1D⊂平面CDB1，
所以EF//平面CDB1；
(2)由(1)知EF//B1D，
所以直线EF与AB所成角就是直线B1D与AB所成角，即∠B1DB，
设三棱柱ABC−A1B1C1中棱长为2，
在Rt▵B1BD中，BD=1，B1B=2，所以B1D= 5，
所以cs∠B1DB=BDB1B=1 5= 55，
直线EF与AB所成角的余弦值为 55；
(3)因为▵ABC为等边三角形，D为AB的中点，
所以CD⊥AB，
又AA1⊥平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，
因为CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD，
又AB∩CD=D，AB，BB1⊂平面ABB1A1，
所以CD⊥平面ABB1A1，
所以直线B1C与平面ABB1A1所成角为∠CB1D，
又B1D= 5，CD= 3，
所以B1C= B1D2+CD2=2 2，
所以sin∠CB1D=CDB1C= 32 2= 64，
所以直线B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值 64．

24.【详解】(1)由多面体的定义知，C,D,E,F四点共面，A,B,F,E四点共面，
因为AB//CD，AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB//平面CDEF，
又因为AB⊂平面ABFE，且平面CDEF∩平面ABFE=EF，所以EF//AB．
(2)取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，
由(1)知EF//AB，所以EF//AB，又因为EF=MB=1，所以四边形EMBF是平行四边形，
得到EM//FB，且EM=FB，在Rt▵BFC中，FB2+FC2=BC2=4，
又FB=FC，得FB= 2，所以EM= 2，
在▵AME中，AE= 3，AM=1，EM= 2，所以AM2+EM2=3=AE2，
所以AM⊥EM，即AB⊥FB，
又因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC，
又FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，
所以AB⊥平面BCF．
(3)连接AC，与BD相交于点O，则点O是AC的中点，
取BC的中点H，连接OH,EO，FH，则OH//AB，OH=12AB=1，
由(1)知EF//AB，且EF=12AB，所以EF//OH，且EF=OH，
所以四边形EOHF是平行四边形，所以EO//FH，且EO=FH=1，
由(1)知AB⊥平面BCF，又FH⊂平面BCF，
所以FH⊥AB，又因为FH⊥BC，AB∩BC=B,AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以FH⊥平面ABCD，故EO⊥平面ABCD，
又AO⊂平面ABCD，所以EO⊥AO，
又因为AO⊥BD，EO∩BD=O,EO⊂平面EBD，BD⊂平面EBD，
所以AO⊥平面EBD，故∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角，
在Rt▵AOE中，tan∠AEO=|AO||EO|= 21= 2，所以直线AE与平面BDE所成角的正切值为 2．