重庆市南开中学校2024~2025学年高一下册4月期中考试数学试题【附解析】

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这是一份重庆市南开中学校2024~2025学年高一下册4月期中考试数学试题【附解析】，文件包含重庆市南开中学校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题原卷版docx、重庆市南开中学校2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的虚部为（）
A 1B. C. D.
2. 已知的内角的对边分别为，若，，，则（）
A. 4B. C. D.
3. 已知向量满足，且，则（）
A. B. C. D.
4. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的表面积比为（）
A. B. C. D.
5. 已知的部分图象如图所示，则的值为（）
A. 1B. C. D. 2
6. 已知复数满足，则的最大值为（）
A. B. C. D. 4
7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即中，角所对边分别为，则的面积．已知面积为，且，则为（）
A. B. C. D.
8. 在棱长为1的正方体中，为线段上一动点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 已知函数，则（）
A. 的图象关于轴对称B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递减D. 的值域为
11. 重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为解放碑的基座（在的正下方，即），在纪念碑所在广场内（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有、，若已知，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度的是（）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分．各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）．
12. 已知，，且，则_____．
13. 如图，已知是边长为1的正三角形，，是上一点且，则_____．
14. 在中，内角所对的边分别为，，的角平分线交边于点，且长为定值．若面积的最小值为，则的长为_____．
四、解答题：本大题5个小题，共77分．各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）．
15. 已知是方程的一个根．
（1）求值；
（2）设，若为纯虚数，且，求复数．
16. 已知向量，，，，且向量与共线．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
17. 如图，在三棱台中，底面为等边三角形，为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面分割三棱台所得的几何体和的体积之比．
18. 如图，四边形中有，，，对角线、相交于点．

（1）若，求；
（2）若，
①求取值范围；
②若为的外心，且，当①中的取最大值时，求实数的值．
19. 在中，内角所对的边分别为，且满足．
（1）求证：；
（2）若，且，，求；
（3）若，外接圆半径为，内切圆半径为，求的取值范围．