2024-2025学年天津市南开区美达菲津英中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年天津市南开区美达菲津英中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共58页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列命题中，正确的是( )
A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若a=b，则|a|=|b|
C. 若|a|>|b|，则a>bD. 若|a|=0，则a=0
2.下列命题中正确的是( )
A. 直角三角形绕其一边旋转得到的旋转体是圆锥
B. 过圆锥轴线的截面在所有过该圆锥顶点的截面中面积最大
C. 棱锥的侧棱长不一定相等
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
3.若复数z满足z−i=1−12i，则z在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.若向量a=(−2,0)，b=(2,1)，c=(x,1)，满足条件3a+b与c共线，则x的值为( )
A. 2B. −2C. 4D. −4
5.正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的面积是( )
A. 2
B. 4
C. 4 2
D. 8 2
6.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列命题正确的是( )
A. m⊂α，n⊂α，m//β，n//β⇒α//β B. α//β，m⊂α⇒m//β
C. n//m，n⊂α⇒m//α D. m//α，n⊂α⇒m//n
7.正四面体A−BCD中，M为棱AD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为( )
A. 36B. 1111C. 33D. 336
8.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是( )
A. a=20，b=11，B=30°B. a=6，c=4，C=60°
C. b=18，c=20，B=120°D. a=30，b=25，A=150°
9.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为2 3m，轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是面积为3 3m2的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为( )
A. 21πm3B. 18πm3C. (18+3 3)πm3D. (20+3 3)πm3
10.已知△ABC是边长为4的等边三角形，D为BC的中点，P为平面ABC内一点，则PA·PB+PC的最小值是( )
A. −2B. −32C. −3D. −6
二、填空题：本题共5小题，共25分。
11.已知i为虚数单位，则2+i2023(1−i)2= ．
12.已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为______．
13.已知向量a=(−2,6)，b=(−1,2)，c=(m,1)，若a⊥c，则向量c在向量b上的投影向量的坐标为______．
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB−asinA=12asinC，且△ABC的面积为a2sinB，则csB=______．
15.如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3，BC=6，且AD=λBC，AD⋅AB=−32，则实数λ的值为 ，若M，N是线段BC上的动点，且|MN|=1，则DM⋅DN的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
若复数z=(m2+m−12)+(m2−2m−3)i，当实数m为何值时．
(1)z是实数；
(2)z是纯虚数；
(3)z对应的点在第二象限．
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA= 3a．
(1)求角B；
(2)若a+c=6，△ABC的面积为 3，求b．
18.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别是PC，AD中点．
(Ⅰ)求证：DE//平面PFB；
(Ⅱ)若M为BC中点，求证平面EMD//平面PFB．
19.(本小题15分)
已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量，AB=2e1+e2,BE=−e1+λe2,EC=−2e1+e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1=(2,1),e2=(2,−2)，求BC的坐标；
(3)已知D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
20.(本小题15分)
如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= 2．
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：若|a|=|b|，但两个向量的方向不确定，
故a=b不一定成立，故 A不正确；
若a=b，则两个向量的模长必相等，故B正确；
向量无法比较大小，故C错误；
a=0，等号左边是向量，右边是数量，不可能相等，故D错误．
故选：B．
根据向量相等的定义可判断A与B的真假，根据向量不能比较大小，可判断C的真假；根据向量与数量不能相等可判断D的真假．
本题考查向量的基本概念，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：对于A，直角三角形绕其直角边旋转得到的旋转体是圆锥，绕其斜边旋转得到的旋转体是两个共底的圆锥，故A错误；
对于B，母线长为l的圆锥的轴截面面积为12⋅l2⋅sinθ，其中θ为圆锥两条母线所成角的最大值，由此可知，当θ≤π2时，轴截面面积最大，
当π2B，所以A有两个值，即A有一个锐角，一个钝角，所以A不正确；
B中，三角形中，a=6，c=4，C=60°，
因为asinC=6× 32=3 3>c，所以三角形不存在，所以B不正确；
C中，由大边对大角，c>b，所以B角应该为锐角，所以C不正确；
D中，由大边对大角，a>b，所以B角为锐角，唯一确定，所以D正确．
故选：D．
A中，由正弦定理可得sinA的值，由大边对大角可得A有两个解，判断出A选项的真假；B中，求出B边上的高sinC>c，则该三角形不存在，判断出B选项的真假；C中，由大边对大角，可得B为锐角，判断出C选项的真假，D中，由大边对大角，a>b，则B角为锐角，判断出D的真假．
本题考查正弦定理及三角形中大边对大角的性质的应用，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为α(π2