北京市北京大学附属中学元培学院2024~2025学年高一下册期中考试数学试题【附解析】

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1．考生要认真填写考场号和座位序号.
2．本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共30分；第二部分为非选择题，共70分.
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
4．考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】A
【解析】
【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．
【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：A
2. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的几何意义可知在复平面表示的是以为圆心，半径为3的圆，由圆的周长公式即可得出答案.
【详解】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3，
也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为.
故选：C.
3. 已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单位向量的定义求与向量方向相反的单位向量.
【详解】由题设，与向量方向相反的单位向量是.
故选：D
4. 如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解.
【详解】解：还原四边形，如图所示：
依题意可得：．
取的中点，连接，
则，且，
故.
故选：B.
5. 已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】由题意不妨设，则可得，设每条边增加，然后利用余弦定理求最大角余弦值进行判断即可.
【详解】由题意不妨设，则可得，设每条边增加，
则新的三角形的三边分别为，
因为，所以，
即为新的三角形的最大边，
所以新的三角形的最大角的余弦值为
因为，所以，
所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形.
故选：B
6. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知得，再由正弦边角关系即可得比值.
【详解】由，且，则，
所以.
故选：D
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件，利用二倍角余弦公式可求，再利用诱导公式求结论.
【详解】由知，
.
所以.
故选：D.
8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点的坐标，设，然后表示出，再根据的取值范围可求得结果.
【详解】如图，以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
所以六边形为边长为的正六边形，，
所以，
所以，
设，则，
所以，
因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），
所以，所以，
所以.
故选：A.
9. 在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设钟楼的高度为，根据相似得到，代入数据计算得到答案.
【详解】如下图，设钟楼的高度为，
由，可得：，
由，可得：，
故，
故，
故选：D.

10. 若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值.
【详解】函数，其中，
由，得，而，
因此，即，则即，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 已知复数满足，则的虚部是__________.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】利用复数的除法运算，结合复数的概念求解.
【详解】依题意，，
所以的虚部是.
故答案为：
12. 已知向量，，则最小值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设，由平面向量数量积的运算可出，再利用平面向量的模长公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】设，则，可得，
故，
当且仅当时，取最小值.
故答案为：.
13. 若，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域可得.
【详解】由辅助角公式可得，
所以最小值为.
故答案为：.
14. 在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点且．则满足条件的点的个数为______．
【答案】
【解析】
【分析】分两种情况分析点的存在情况：①点在正方体中与无公共点的棱上，以在棱上为例，设，则，由，列出方程，求得方程无解；②点在正方体中与有公共点的棱上，以在棱上为例，设，则，由，列出方程，得方程有一个解.利用正方体的对称性可知满足条件的点的个数.
【详解】分两种情况分析点的存在情况：
①若点在正方体中与无公共点的棱上，
设在正方体棱上，设，则，
∵，∴，即，
两边平方，整理得，再平方得，方程无解，
所以棱上不存在满足条件的点.

同理，并结合正方体的对称性，知棱、、、、上也不存在满足条件的点.
②若点在正方体中与有公共点的棱上，
设在正方体的棱上，设，则，
∵，∴，即，
两边平方，整理得，解得.所以棱上存在一个满足条件的点.
同理，并结合正方体的对称性，知棱、、、、上也分别存在一个满足条件的点；

故满足条件的点共有6个.
故答案为：.
①；
②；
③在方向上的投影向量为；
④若，则．
【答案】①③
【解析】
【分析】构造向量，结合题意得，令，则在中，可求；在中，由余弦定理求,进而可得，在方向上的投影向量及，从而得到答案.
【详解】如图，设点D是BC边上一点，且，
则.
因为，所以，所以，即.
令，∵，∴
对于①，在中，，故①正确；
对于②，在中，，
，，故②错误；
对于③，在方向上的投影向量为，故③正确.
对于④，由，得，，.故④错误.
故答案：①③.
三、解答题共6题，共50分.
16. 已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
（1）求实数的值；
（2）若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算求解.
（2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即可.
【小问1详解】
由，，得，即，
因为在复平面上对应的点在第四象限，则，
所以,
【小问2详解】
由（1）知，，
由复数是关于x的方程的根，
得,
整理得，
因为，所以, 解得.
17. 已知向量满足，，且的夹角为．
（1）求；
（2）求在上的投影向量；
（3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)求：先利用向量模的平方等于向量自身平方，将转化为，再用完全平方公式展开，结合向量数量积公式算出结果，最后开方.
(2)求在上投影向量：依据投影向量定义，把已知的和的值代入公式计算.
(3)先根据数量积分配律展开式子，解不等式得到的初步范围；再通过设共线关系求出共线时的值，排除这些值，得到最终范围.
【小问1详解】
根据向量模的平方等于向量自身平方，可得.
根据完全平方公式，则.
已知，，且，的夹角为，可得.
所以.则.
【小问2详解】
根据投影向量的定义，在上的投影向量为.
由前面计算可知，，所以投影向量为.
【小问3详解】
因为向量与向量的夹角为钝角，所以，且与不共线.
可得.
将，，代入上式，得到，即.解得.
若两向量反向共线，则存在实数，使得，
即，将代入，得到，因，解得.
综合以上两个条件，实数的取值范围是.
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若函数的零点为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简，结合整体法可求的单调递增区间；
（2）由题意知，再通过“配角”并运用诱导公式求解即可.
【小问1详解】
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由（1）得，
因为函数的零点为，所以.
19. 如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求四边形的周长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式得到，再根据余弦定理得到及的值，即可求得周长；
（2）根据三角形面积公式得到的面积，即可求得结果
【小问1详解】
因为，，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，解得，
所以四边形的周长为；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以四边形的面积为．
20. 如图，市政改造工程要在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数，的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
（1）求曲线段的解析式和的大小；
（2）若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值．
【答案】（1）曲线段的解析式为，
（2）；当时，取得最大值
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，即可求出，从而可得曲线段的解析式，令时，可得的值，根据几何知识求；
（2）根据题意可得，利用三角恒等变换化简可得；根据正弦函数的有界性分析求解即可.
【小问1详解】
由题意可得：，即，
且，则，
所以曲线段的解析式为，
当时，，
又因为，则，
可知锐角，所以；
【小问2详解】
由（1）可知，，且,
则，
可得，
则
；
因为，则，
可知当，即时，，
所以当时，取得最大值．
21. ，其中，．称为非零复数的三角形式．
（1）已知，，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和．
（2）已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
（3）已知是个复数，，；当时，.求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
【答案】（1）9 （2）16
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出对应的点，再用两点间的距离公式求解即可；
（2）根据两点间的距离公式推导出四边形的所有边与所有对角线的平方和，由此可求最大值；
（3）同（2）可得边形的所有边与所有对角线的平方和，据此可求最大值.
【小问1详解】
因为，其中.
当时，，对应点，
当时，，对应点，
当时，，对应点.
因为两点和的距离平方为，故
的距离为，
的距离为，
的距离为，
所以三条边的平方和：.
【小问2详解】
因为，所以复数对应的所有点都在单位圆上，所以 ，
所以两点和的距离平方为：
，
所有点对的平方和为：
，
因为，，
所以.
因为 ，所以，
所以，
即，
所以
，
当四个点在单位圆上均匀分布（如正方形顶点），，
此时达到最大值：；
【小问3详解】
类似（2），所有点对的平方和为：
.
利用向量和的性质：
，
所以
，
当个点均匀分布（正边形），，此时达到最大值，
.