北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年高一下册期中练习数学试卷【附解析】

这是一份北京市中国人民大学附属中学2024~2025学年高一下册期中练习数学试卷【附解析】，文件包含北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中练习数学试卷解析docx、北京市中国人民大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中练习数学试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无放．
Ⅰ卷（共18道题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将分别变形，然后根据数值的奇偶判断出的关系.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为表示所有奇数，表示部分奇数，
所以.
故选：.
2. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据三角函数定义可求.
【详解】因为角的终边过点，故.
故选：D.
3. 下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的奇偶性与周期性判断即可.
【详解】是偶函数，但不是周期函数，故A错误；
是偶函数，最小正周期为，故B错误；
是偶函数，最小正周期为，故C正确；
是奇函数，最小正周期为，故D错误.
故选：C
4. 已知扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由弧长公式，先求出半径，再由扇形面积公式求解即可.
【详解】设扇形的半径为，则由弧长公式可得，解得，
所以扇形的面积.
故选：D.
5. 已知平面向量，若，则实数（ ）
A. B. 1C. 或1D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量坐标运算求得的坐标，再根据，利用数量积运算求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，
所以，整理得，解得或.
故选：C.
6. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将函数变形，转化为求函数的单调递减区间，利用正弦函数的递减区间即可求解.
【详解】，
要求函数的单调递增区间，即求函数的单调递减区间，
因为，
所以，
所以函数的单调递减区间是，
即函数的单调递增区间是.
故选：
7. “”是“为第二或四象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数象限角的符号特征结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，而恒成立，
则且，所以为第二或四象限角，充分性成立；
若为第二或四象限角，则且，
所以，必要性成立，
所以“”是“为第二或四象限角”的充要条件.
故选：.
8. 将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则m的最小值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用伸缩变换，平移变换，结合偶函数性质，即可求解.
【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象，
再将图象向左平移个单位得到的图象，
因为为偶函数，
所以，
又，所以m的最小值是.
故选：A.
9. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将化简为的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.
【详解】解：
，可得其最小正周期为，
故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期性的，属于中档题型
10. 声音是基于物体的振动而产生的能引起听觉的被，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，给出下列四个结论：
①的一个周期为；
②的最大值为；
③的图象关于对称，
④在区间上有3个零点
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】对于①：代入周期的定义，即可判断；对于②：分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；对于③：代入对称中心的式子即可判断；对于④：根据零点的定义，解方程，即可判断.
【详解】对于①，，
故①错误；
对于②，，当时，取得最大值，
，当，即，取得最大值，
所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故②错误；
对于③，，
即，
所以的图象关于对称，故③正确；
对于④，
，，
所以或，解得或或，
所以函数在区间上有3个零点，故④正确；
所以正确的结论有个.
故选：.
二、填空题（本大题共5小题每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）
11. ________．
【答案】##
【解析】
【分析】结合诱导公式代入计算，即可得到结果.
【详解】.
故答案为：
12. 已知，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】由诱导公式化简，化为齐次式，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】原式.
故答案为：
13. 已知函数的部分图象如图所示，则________，若，则________．
【答案】 ①. ②. 0
【解析】
【分析】先求函数的解析式，再求出方程的解后可求的值.
【详解】由图可得函数半周期为，，故，故，故，
故，
又由图可得函数过点，故，
故，而，故，
故，令得，
当时，而，故或，
故或即或，
故，
故答案为：.
14. 已知中，，，点在线段上，且，则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解.
【详解】设等腰在边上的高为，
因为，所以，
所以，
所以，
所以
.
故答案为：.
15. 如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则__________，________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设，求出点的坐标，利用向量的坐标计算夹角余弦值，设，由于三点共线，所以设，从而得到的坐标，由坐标相等求解即可.
【详解】
如图建立平面直角坐标系，设，则，，，，
所以，，所以，
设，
由于三点共线，所以设，
所以，解得，故，
故答案为：；
三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16. 已知向量满足．
（1）求与的夹角；
（2）求；
（3）已知，求的最小值以及取最小值时对应的．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）根据平面向量夹角的计算公式求解即可；
（2）根据计算即可；
（3）根据计算，然后结合二次函数求解最值即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，即与的夹角为；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
，
所以当时，.
17. 已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.
详解：解：（1）因为，，所以．
因为，所以，
因此，．
（2）因为为锐角，所以．
又因为，所以，
因此．
因为，所以，
因此，．
点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
18. 已知函数，设函数．
从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知，使的解析式唯一确定．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为
（1）求的解析式；
（2）求在区间上的最大值；
（3）已知函数在内单调，且满足，直接写出的最小值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别选择条件①②和①③，求得周期，在计算的值，即可求解；
（2）由（1）中，化简得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
（3）结合代入计算可得，从而得出的关系即可求解.
【小问1详解】
选择①②：
由条件①即已知，可得，所以，
由条件②得，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
经验证，符合题意；
选择条件①③：
由条件①即已知，可得，所以，
由条件③得，解得，
因为，所以，所以，
选择条件：②③：
由条件②得，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
由条件③得，解得，此时不唯一，不符合题意.
【小问2详解】
由（1）可知，
，
因为，所以，
当时，即时，取得最大值，
且最大值为.
【小问3详解】
由可得，
化简可得，则
根据正弦函数的性质，或，，
即，当时，取得最小值.
或，因为在内单调，且的周期为，
则，无法成立.
综上，取得最小值.
Ⅱ卷（共8道题，满分50分）
一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数量积的定义可得，通过求解在上的投影的范围即可求解的范围.
【详解】，
当点与点或点重合时，最小，最小值为，
当点与点或点重合时，最大，最大值为，
所以.
故选：.
20. 已知，则与的夹角的最大值为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两个向量的夹角公式计算得到，换元令，转化为利用基本不等式求函数的最小值即可求解.
【详解】设与的夹角为，，
，
令，，所以，
所以
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，而，所以，
故选：C
21. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式可求值，再利用指数不等式可判断，从而可研究两个集合之间的包含关系，即可判断充要条件.
【详解】因为
，
所以，
又由可知，，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
22. 将函数图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到因数的图象，已知在上恰有5个零点．下列四个命题中：
①的图象关于点对称； ②在内恰有5个最值点；
③在内单调递减； ④的取值范围是．
所有真命题的序号是（ ）
A ①③B. ①④C. ①②③D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦型函数的图象变换性质求出函数的解析式，结合正弦型函数零点的性质求出的取值范围，并根据正弦型函数的对称性、最值、单调性逐一判断即可.
【详解】因为函数图象上各点横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，
所以函数的解析式为：，
当时，，
因为函数在上有且只有5个零点，，
所以，解得，
因为，，
所以当时，，此时解不等式组，得，
当时，，即，
此时不等式组的解集为空集，故④正确；
①：因为，所以的图象关于点对称，
故本命题是真命题；
②：因为，所以，
又因为，所以，而，
即当时，，此时函数有4个最值点，故本命题是假命题；
③：因为，所以，
又因为，所以，而，故本命题是假命题；
故选：B
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分请将结果填在答题纸上的相应位置．）
23. 如图，函数和函数图象的相邻两个交点为A和B，若，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对称性可知，结合三角函数的周期为，求出三角形的底和高，利用列不等式即可求解.
【详解】如图：
根据对称性可知，三角函数的周期为，且，
取的中点，连接，则，，
由，得或，
则，，
则，，
因为，所以，解得，
即，所以，即.
故答案为：.
24. 已知实数、、、满足，，，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可.
【详解】因为设,
因为设,
所以可得，
因为,所以,
所以.
故答案为：1.
25. 函数定义域为，对于，记．已知，且，，给出下列四个结论：
①长度分别为1，，的三条线段可以构成一个直角三角形，
②，；
③，；
④，
其中所有正确结论的序号是___________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】①由勾股定理可判断；②采用数学归纳法，结合即可证明；③举反例；④构造直角三角形，其中，，，设，由数列为等比数列得出通项，再计算即可求得.
【详解】对于①，因，则，
则长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形，故①正确；
对于②，因，则时，，
因以及可知，，
下用数学归纳法证明，，
当时，，满足关系式；
假设当时，成立，
则当时，，
则当时，成立，
综上可知，，，故②正确；
对于③，因以及，则，，
，
则，故③错误；
对于④，由①可知，长度分别为的三条线段可以构成一个直角三角形，
设，其中，，，
则，，
设，其中，则，
则，即，
则数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
在中，，即，
则，
因符合上式，故，
则，
则，，故④正确.
故答案为：①②④

三、解答题（本大题共1小题，共15分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
26. 已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为，
（1）当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”，
（2）已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I．
（ⅰ）若，求t；
（ⅱ）求I的最大值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）或；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）解不等式得到或，的定义域为，所以或，从而求出区间长度；
（2）（ⅰ）不等式解集为或，设的两个根为，的两个根为，求出，其中，即，解得或，故或，所以或，结合正弦和差公式得到答案；
（ⅱ）由（ⅰ）可得，平方后，结合同角三角函数关系，基本不等式得到，所以，所以，故，所以，故的最大值为.
【小问1详解】
时，，
，故或，
的定义域为，所以或，
所以解集的“区间长度”为；
【小问2详解】
（ⅰ），，
其中，故不等式解集为或，
设的两个根为，其中，且，
同理，设的两个根为，其中，且，
所以，
又，所以，
其中，即，
由诱导公式得，即，，
又，解得或，故或，
所以
或
；
（ⅱ）由（ⅰ）可得，
则，
即，
因为，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
所以或，
由于，故，
所以，舍去，
故，
所以，
因为，所以，
由可知，，
当且仅当，，即时，等号成立，
所以，故的最大值为.