北京大学附中元培学院2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份北京大学附中元培学院2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
B. α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
2.若复数z满足|z+i|=3，则在复平面内，复数z对应的点组成图形的周长为( )
A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π
3.已知向量a=(2,2)，则与向量a方向相反的单位向量是( )
A. (1,0)B. (1,1)C. ( 22, 22)D. (− 22,− 22)
4.如图，四边形O′A′C′B′表示水平放置的四边形OACB根据斜二测画法得到的直观图，O′A′=2，B′C′=4，O′B′= 2，O′A′//B′C′，则AC=( )
A. 6
B. 2 3
C. 6
D. 4 2
5.已知△ABC是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为( )
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断
6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=( )
A. 1：1： 2B. 1：1：2C. 1：1： 5D. 1：1： 3
7.已知cs(φ+π6)=35，则sin(2φ+5π6)=( )
A. 825B. −825C. 725D. −725
8.如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，则OB⋅AP的取值范围是( )
A. [−23,23]B. [−32,32]C. [− 3, 3]D. [−2, 3]
9.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1=1.00m，之后将小镜子前移a=6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2=0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为ℎ=1.75m，则钟楼的高度大约是( )
A. 27.75mB. 27.25mC. 26.75mD. 26.25m
10.若函数f(x)=2sinx+csx− 3,x∈(0,π)的两个零点分别为x1和x2，则cs(x1+x2)=( )
A. −35B. −15C. 15D. 35
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知复数z满足z(3−4i)=1+2i，则z的虚部是______．
12.已知向量a=(1,−2)，a⋅b=5，则|b|的最小值是______．
13.若f(x)=2sin3x+cs3x−1，则f(x)的最小值为______．
14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．
15.在△ABC中，C=45°，(AB+3AC)⋅BC=0，以下有关于△ABC的4个命题．
①sinB= 1010；
②tanA=2；
③BA在BC方向上的投影向量为34BC；
④若|AC|= 2，则AB⋅AC=2．
写出全部真命题的序号：______．
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，z在复平面上对应的点在第四象限，且满足zz−=4(z−为z的共轭复数)．
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0，且p，q∈R)的一个复数根，求p+q的值．
17.(本小题8分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且a，b的夹角为60°．
(1)求|a−b|；
(2)求b在a上的投影向量；
(3)若向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
18.(本小题8分)
已知函数f(x)=sinxcsx+ 3cs2x− 32．
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数ℎ(x)=f(x)−35的零点为x0，求cs(π6−2x0)．
19.(本小题8分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠D=2∠B，CD=3AD=3，BC= 6，csB= 33．
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求四边形ABCD的面积．
20.(本小题9分)
如图，市政改造工程要在道路EF的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+2π3)(A>0,ω>0),x∈[−4,0]的图象，且图象的最高点为B(−1,2)，新步道的中部分为长1千米的直线跑道CD，且CD/​/EF，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
(Ⅰ)求曲线段FBC的解析式和∠DOE的大小；
(Ⅱ)若计划在圆弧步道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边MN紧靠道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，若矩形MNPQ的面积记为S(θ)，求S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值以及相应的θ值．
21.(本小题9分)
z=r(csθ+isinθ)，其中a=rcsθ，b=rsinθ.z=r(csθ+isinθ)称为非零复数z的三角形式．
(1)已知zi=cs(i2π3)+isin(i2π3),(i=0,1,2)，求zi对应的点Zi(i=1,2,3)所构成三角形的所有边的平方和．
(Ⅱ)已知zi(i=1,2,3,4)是四个复数，满足|zi|=1，(i=1,2,3,4)；当i≠j时，zi≠zj求zi对应的点Zi(i=1,2,3,4)所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
(Ⅲ)已知zi(i=1,2,…,n)是n个复数，|zi|=1，(i=1,2,..,n)；当i≠j时，zi≠zj，求zi所对应的点Zi(i=1,2,..,n)所构成n边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：B中，直线n是集合，所以n⊂α，所以B不正确；
C中A点是元素，所以A∈m，A∈n，所以C不正确；
D中，错在n∈α，
故选：A．
由点是元素，直线是集合，可判断所给命题中的符号的正确用法．
本题考查点与直线，直线与平面的符号的应用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设z=x+yi(x,y∈R)，
|z+i|=3，
则x2+(y+1)2=9，表示以(0,−1)为圆心，3为半径的圆，
故复数z所对应的点组成的图形的周长为2×π×3=6π．
故选：C．
结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为向量a=(2,2)，所以与向量a方向相反的单位向量是−a|a|，即−12 2⋅(2,2)=(− 22,− 22)．
故选：D．
根据单位向量的定义求与向量a方向相反的单位向量．
本题主要考查单位向量的定义，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，利用斜二测画法还原四边形OACB，
如图所示：
易得OA⊥OB，OA/​/BC，OA=O′A′=2，BC=B′C′=4，OB=2O′B′=2 2，
取BC的中点D，连接AD，
则AD⊥BC，且CD=4−2=2，
故AC= 22+(2 2)2=2 3．
故选：B．
根据斜二测的性质还原图形，再由勾股定理即可求解．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：△ABC是直角三角形，
不妨设C=π2，
设每条边增加m(m>0)，
则新的三角形的三边分别为a+m，b+m，c+m，
因为c>a，c>b，所以c+m>a+m，c+m>b+m，
即c+m为新的三角形的最大边，
所以新的三角形的最大角的余弦值为(a+m)2+(b+m)2−(c+m)22(a+m)(b+m)
=a2+2am+m2+b2+2bm+m2−c2−2cm−m22(a+m)(b+m)
=2m(a+b−c)+m22(a+m)(b+m)
因为a+b>c，a+m>0，b+m>0，m>0，所以2m(a+b−c)+m22(a+m)(b+m)>0，
所以新的三角形的最大角为锐角，则新的三角形为锐角三角形．
故选：B．
由题意不妨设C=π2，则可得a2+b2=c2，设每条边增加m(m>0)，然后利用余弦定理求最大角的余弦值进行判断即可．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由A+B+C=π且A：B：C=1：1：4，则A=B=π6，C=2π3，
因为a：b：c=sinA：sinB：sinC=12：12： 32=1：1： 3．
故选：D．
由三角形三角之比求出各自的弧度数，进而求出sinA，sinB，sinC之比，利用正弦定理求出三边之比即可．
此题考查了正弦定理，以及内角和定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：cs(φ+π6)=35，
sin(2φ+5π6)=cs(π2−2φ−5π6)=cs(2φ+π3)=cs[2(φ+π6)]=1−2sin2(φ+π6)=725．
故选：C．
由诱导公式变形然后由二倍角公式计算．
本题主要考查了二倍角公式及诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，
以O为原点，OB，OA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
因为“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，
所以六边形BCDEFG为边长为23的正六边形，OA=23 3，
所以OB=23，
所以A(0,−23 3),B(23,0)，
设P(x,y)，则AP=(x,y+23 3),OB=(23,0)，
所以OB⋅AP=23x，
因为动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，
所以−1≤x≤1，所以−23≤23x≤23，
所以−23≤OB⋅AP≤23．
故选：A．
如图，以O为原点，OB，OA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点A，B的坐标，设P(x,y)，然后表示出OB⋅AP，再根据x的取值范围可求得结果．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意，作出示意图，设钟楼的高度为PQ，
由△MKE～△PQE，可得EQ=PQ⋅KEMK=a1⋅PQℎ；由△NTF～△PQF，可得FQ=PQ⋅TFNT=PQ⋅a2ℎ．
所以EQ−FQ=a1⋅PQℎ−PQ⋅a2ℎ=a，解得PQ=aℎa1−a2=6×1.751−0.6=．
故选：D．
设钟楼的高度为PQ，根据相似三角形的性质推导出PQ=aℎa1−a2，代入题中数据进行计算，可得答案．
本题主要考查了相似三角形的性质、解三角形及其应用等知识，考查图形的理解能力，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=2sinx+csx− 3= 5sin(x+φ)− 3，
其中sinφ= 55,csφ=2 55，φ∈(0,π2)，
又因为函数的两个零点分别为x1和x2，
所以f(x1)=f(x2)=0，
得sin(x1+φ)=sin(x2+φ)= 3 5，
又因为x∈(0,π)，
所以x1+φ，x2+φ∈(φ,π+φ)，
因此x1+φ+x2+φ=π，
即φ=π2−x1+x22，
则sin(π2−x1+x22)= 55，
即csx1+x22= 55，
所以cs(x1+x2)=2cs2x1+x22−1=2×( 55)2−1=−35．
故选：A．
根据给定条件，利用辅助角公式化简f(x)，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得φ=π2−x1+x22，进而求出csx1+x22，最后利用二倍角的余弦求值．
本题考查了函数的零点、三角恒等变换及三角函数的性质，属于中档题．
11.【答案】25
【解析】解：由题意，z=1+2i3−4i=(1+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−5+10i25=−15+25i，
则z的虚部是25．
故答案为：25．
化简复数z，进而可得z的虚部．
本题考查复数的运算，属于基础题．
12.【答案】 5
【解析】解：已知向量a=(1,−2)，a⋅b=5，
设b=(x,y)，则a⋅b=x−2y=5，可得x=2y+5，
故|b|= x2+y2= (2y+5)2+y2= 5y2+20y+25= 5(y+2)2+5≥ 5，
当且仅当y=−2时，|b|取最小值 5．
故答案为： 5．
设b=(x,y)，由平面向量数量积的运算可出x=2y+5，再利用平面向量的模长公式结合二次函数的基本性质可求得|b|的最小值．
本题考查了平面向量的模长公式和二次函数的性质，属于中档题．
13.【答案】− 5−1
【解析】解：f(x)=2sin3x+cs3x−1= 5sin(3x+φ)−1，其中，tanφ=12，
又y=sin(3x+φ)的最小值为−1，当且仅当3x+φ=2kπ−π2，k∈Z时等号成立，
可得f(x)的最小值为− 5−1．
故答案为：− 5−1．
由题意利用两角和的正弦公式可得f(x)= 5sin(3x+φ)−1，其中，tanφ=12，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题考查了两角和的正弦公式以及正弦函数的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】6
【解析】解：∵正方体的棱长为1
∴AC1= 3，
∵|PA|+|PC1|=2，
∴点P是以2c= 3为焦距，以a=1为长半轴，以12为短半轴的椭圆，
∵P在正方体的棱上，
∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，
结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C1D1，CC1，AA1，AB，AD上各有一点满足条件．
故答案为：6．
由题意可得点P是以2c= 3为焦距，以a=1为长半轴，12为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求．
本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题．
15.【答案】①③
【解析】解：在△ABC中，C=45°，(AB+3AC)⋅BC=0，
则(4AC−BC)⋅BC=0，
即4AC⋅BC=BC2，
即4ab× 22=a2，
即a=2 2b，
则sinA=2 2sinB，
即sin(135°−B)=2 2sinB，
即3sinB=csB，
又sin2B+cs2B=1，
则sinB= 1010，csB=3 1010；
则sinA=2 55，
又 1010< 22，
则0