2024-2025学年北京大学附中元培学院高一（下）期中数学试卷（含答案 ）

这是一份2024-2025学年北京大学附中元培学院高一（下）期中数学试卷（含答案 ），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
B. α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C. α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D. α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
2.若复数z满足|z+i|=3，则在复平面内，复数z对应的点组成图形的周长为( )
A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π
3.已知向量a=(2,2)，则与向量a方向相反的单位向量是( )
A. (1,0)B. (1,1)C. ( 22, 22)D. (− 22,− 22)
4.如图，四边形O′A′C′B′表示水平放置的四边形OACB根据斜二测画法得到的直观图，O′A′=2，B′C′=4，O′B′= 2，O′A′//B′C′，则AC=( )
A. 6
B. 2 3
C. 6
D. 4 2
5.已知△ABC是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为( )
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断
6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=( )
A. 1：1： 2B. 1：1：2C. 1：1： 5D. 1：1： 3
7.已知cs(φ+π6)=35，则sin(2φ+5π6)=( )
A. 825B. −825C. 725D. −725
8.如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，则OB⋅AP的取值范围是( )
A. [−23,23]B. [−32,32]C. [− 3, 3]D. [−2, 3]
9.在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1=1.00m，之后将小镜子前移a=6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2=0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为ℎ=1.75m，则钟楼的高度大约是( )
A. 27.75mB. 27.25mC. 26.75mD. 26.25m
10.若函数f(x)=2sinx+csx− 3,x∈(0,π)的两个零点分别为x1和x2，则cs(x1+x2)=( )
A. −35B. −15C. 15D. 35
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知复数z满足z(3−4i)=1+2i，则z的虚部是______．
12.已知向量a=(1,−2)，a⋅b=5，则|b|的最小值是______．
13.若f(x)=2sin3x+cs3x−1，则f(x)的最小值为______．
14.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC1|=2的点P的个数为______．
15.在△ABC中，C=45°，(AB+3AC)⋅BC=0，以下有关于△ABC的4个命题．
①sinB= 1010；
②tanA=2；
③BA在BC方向上的投影向量为34BC；
④若|AC|= 2，则AB⋅AC=2．
写出全部真命题的序号：______．
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，z在复平面上对应的点在第四象限，且满足zz−=4(z−为z的共轭复数)．
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0，且p，q∈R)的一个复数根，求p+q的值．
17.(本小题8分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，且a，b的夹角为60°．
(1)求|a−b|；
(2)求b在a上的投影向量；
(3)若向量2ta+7b与向量a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
18.(本小题8分)
已知函数f(x)=sinxcsx+ 3cs2x− 32．
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若函数ℎ(x)=f(x)−35的零点为x0，求cs(π6−2x0)．
19.(本小题8分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠D=2∠B，CD=3AD=3，BC= 6，csB= 33．
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求四边形ABCD的面积．
20.(本小题9分)
如图，市政改造工程要在道路EF的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+2π3)(A>0,ω>0),x∈[−4,0]的图象，且图象的最高点为B(−1,2)，新步道的中部分为长1千米的直线跑道CD，且CD/​/EF，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧DE．
(Ⅰ)求曲线段FBC的解析式和∠DOE的大小；
(Ⅱ)若计划在圆弧步道所对应的扇形ODE区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边MN紧靠道路EF上，一个顶点Q在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，若矩形MNPQ的面积记为S(θ)，求S(θ)的解析式，并求S(θ)的最大值以及相应的θ值．
21.(本小题9分)
z=r(csθ+isinθ)，其中a=rcsθ，b=rsinθ.z=r(csθ+isinθ)称为非零复数z的三角形式．
(1)已知zi=cs(i2π3)+isin(i2π3),(i=0,1,2)，求zi对应的点Zi(i=1,2,3)所构成三角形的所有边的平方和．
(Ⅱ)已知zi(i=1,2,3,4)是四个复数，满足|zi|=1，(i=1,2,3,4)；当i≠j时，zi≠zj求zi对应的点Zi(i=1,2,3,4)所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
(Ⅲ)已知zi(i=1,2,…,n)是n个复数，|zi|=1，(i=1,2,..,n)；当i≠j时，zi≠zj，求zi所对应的点Zi(i=1,2,..,n)所构成n边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.B
6.D
7.C
8.A
9.D
10.A
11.25
12. 5
13.− 5−1
14.6
15.①③
16.解：(1)复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位)，
z在复平面上对应的点在第四象限，且满足zz−=4，
∴(1+bi)(1−bi)=1−b2=4，且b