北京市北京大学附属中学元培学院2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题-A4

这是一份北京市北京大学附属中学元培学院2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题-A4，共7页。试卷主要包含了本试卷共4页，分为两部分等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号.
2．本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共30分；第二部分为非选择题，共70分.
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
4．考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，，D. ，，，
2. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（ ）
A B. C. D.
3. 已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（ ）
A. B. C. 6D.
5. 已知是直角三角形，每个边都增加相同的长度，则新的三角形为（ ）
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断
6. 已知的内角所对的边分别是，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
9. 在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为，之后将小镜子前移，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为，已知人的眼睛距离地面的高度为，则钟楼的高度大约是（ ）

A. B. C. D.
10. 若函数的两个零点分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 已知复数满足，则的虚部是__________.
12. 已知向量，，则的最小值是__________.
13. 若，则的最小值为______．
14. 在棱长为1的正方体中，点是正方体棱上一点且．则满足条件的点的个数为______．
15. 在中，，．以下有关于的4个命题．
①；
②；
③在方向上的投影向量为；
④若，则．
写出全部真命题的序号：______．
三、解答题共6题，共50分.
16. 已知复数（，为虚数单位），在复平面上对应点在第四象限，且满足．
（1）求实数的值；
（2）若复数是关于的方程（且）的一个复数根，求的值．
17. 已知向量满足，，且的夹角为．
（1）求；
（2）求在上的投影向量；
（3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．
18. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若函数的零点为，求．
19. 如图，在平面四边形中，，，，．
（1）求四边形的周长；
（2）求四边形的面积．
20. 如图，市政改造工程要在道路一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数y=Asinωx+2π3A>0,ω>0，的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以为圆心的一段圆弧．
（1）求曲线段的解析式和的大小；
（2）若计划在圆弧步道所对应扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，若矩形的面积记为，求的解析式，并求的最大值以及相应的值．
21. ，其中，．称为非零复数的三角形式．
（1）已知，，求对应的点所构成三角形的所有边的平方和．
（2）已知是四个复数，满足，；当时，求对应的点所构成四边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
（3）已知是个复数，，；当时，.求所对应的点所构成边形的所有边与所有对角线的平方和的最大值．
数学试卷
考生须知：
1．考生要认真填写考场号和座位序号.
2．本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共30分；第二部分为非选择题，共70分.
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.
4．考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回.
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】D
【10题答案】
【答案】A
第二部分（非选择题 共70分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
【11题答案】
【答案】##0.4
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】①③
三、解答题共6题，共50分.
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
【20题答案】
【答案】（1）曲线段的解析式为，
（2）；当时，取得最大值
【21题答案】
【答案】（1）9 （2）16