2024-2025学年广东省深圳市聚龙科学中学教育集团高二下学期第二次段考(5月)数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市聚龙科学中学教育集团高二下学期第二次段考(5月)数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列an满足an+1−an=1，若a8=−10,am=0，则m=( )
A. 28B. 13C. 18D. 2
2.(x+1x)6的展开式的常数项为( )
A. 20B. 120C. 5D. 8
3.若Cn+1n−1=28则n=( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
4.一批产品共有7件，其中4件正品，3件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P(X=1)=( )
A. 1235B. 1835C. 314D. 514
5.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′π3+sinx，则f′π3=( )
A. 32B. 12C. −12D. − 32
6.易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为( )
A. 2328B. 2528C. 1314D. 2728
7.给出下列说法：
①回归直线y=bx+a恒过样本点的中心(x,y)，且至少过一个样本点；
②两个变量相关性越强，则相关系数|r|就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差s20在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知A(0,3)和P3,32为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．求C的离心率；
(2)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1经过点(2,−3)，一条渐近线的斜率为 3，求双曲线C的方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,DC=4,DC/\!/AB，AD⊥AB,E是PD的中点．

(1)求证：PD⊥平面ABE；
(2)求AC与平面ABE所成的角的正弦值．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且csB+sinA+C2=0．
(1)求角B的大小；
(2)若a:c=3:5，且AC边上的高为15 314，求▵ABC的周长．
18.(本小题17分)
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(Ⅰ)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(Ⅱ)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ln(x−1)−ax+2,a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：13+15+⋯+12n−1>12ln2n+13(n≥2且n∈N∗)
(3)若对任意x>0，都有f(x+1)≥1−a−ex−2x恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.B
5.C
6.B
7.B
8.C
9.ACD
10.AC
11.AD

13.1860
14.1e2,+∞
15.解：(1)由题意得b=39a2+94b2=1，解得b2=9a2=12,
所以e= 1−b2a2= 1−912=12．
(2)由一条渐近线的斜率为 3，可得ba= 3，
可得：x2a2−y23a2=1，又(2,−3)在双曲线上，
所以4a2−93a2=1，
解得a2=1，
所以双曲线方程为：x2−y23=1．

16.解：(1)∵PA⊥平面ABCD,BA⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，
又AD⊥AB，AD∩PA=A,AD、PA⊂面APD，
∴AB⊥平面PAD，
又∵PD⊂平面PAD,∴PD⊥AB，
∵PA=AD，E是PD的中点，∴PD⊥AE，
又∵AE∩AB=A,AE⊂平面ABE,AB⊂平面ABE，
∴PD⊥平面ABE；
(2)结合条件及(1)可分别以AD,AB,AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),C(−2,4,0),D(−2,0,0),P(0,0,2),∴PD=(−2,0,−2)，
AC=(−2,4,0)
∵PD⊥平面ABE,∴PD=(−2,0,−2)是平面ABE的一个法向量，
设AC与平面ABE所成的角为θ，
则sinθ=PD⋅ACPD|⋅|AC=42 2× 4+16= 1010．
∴AC与平面ABE所成的角的正弦值为 1010．

17.(1)因为sinA+C2=sinπ−B2=sinπ2−B2=csB2，
所以由csB+sinA+C2=0得csB+csB2=0，
所以2cs2B2+csB2−1=0，解得csB2=12或csB2=−1，
因为00时，令f′(x)=0，得x=1+1a，
当11+1a时，f′(x)0时，f(x)在1,1+1a上单调递增，在区间1+1a,+∞上单调递减；
(2)当a=1时，f(x)=ln(x−1)−x+2，
由(1)可知，f(x)在(1,2]上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，
故f(x)≤f(2)=0，即ln(x−1)−x+2≤0在(1,+∞)上恒成立，
所以当x>2时，012ln7−ln5，…，12n−1>12ln(2n+1)−ln(2n−1)，
所以累加得13+15+...+12n−1>12ln5−ln3+12ln7−ln5+...+12ln(2n+1)−ln(2n−1)=12ln2n+13，
故当n≥2且n∈N∗时，13+15+...+12n−1>12ln2n+13．
(3)由题对任意x>0，都有lnx−ax−a+2≥1−a−ex−2x恒成立，
即ex−2x+lnx−ax+1≥0在(0,+∞)上恒成立，
令g(x)=ex−2x+lnx−ax+1，x>0，即g(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，
①当a≤1时，由于x>0,−a≥−1，
则有g(x)=ex−2x+lnx−ax+1≥ex−2x+lnx−x+1=ex−2−lnx−x−2−lnx−1，
令ℎ(x)=x−2−lnx(x>0)，所以ℎ′(x)=1−1x=x−1x，
令ℎ′(x)=0，得x=1，
所以当x∈(0,1)，ℎ′(x)0，ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以当x∈(0,+∞)时，ℎ(x)≥ℎ(1)=−1，
令t=x−2−lnx，则t∈[−1,+∞)，令p(t)=et−t−1，所以p′(t)=et−1，
令p′(t)=0，得t=0，
所以当t∈[−1,0)时，p′(t)0，p(t)在(0,+∞)单调递增，
所以当t∈[−1,+∞)时，p(t)≥p(0)=0，
即g(x)=ex−2x+lnx−ax+1≥p(t)≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，符合题意，
②当a>1时，由于ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增且ℎ(2)=−ln20，
故存在唯一x0∈(2,4)，使得ℎx0=0，即x0−2−lnx0=0，即x0−2=lnx0，即ex0−2=x0，
此时gx0=ex0−2x0+lnx0−ax0+1=(1−a)x0