2024-2025学年广东省深圳市龙华中学高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙华中学高二（下）第一次段考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点(0,0)和点(0,1)的直线倾斜角为( )
A. 45°B. 90°C. 135°D. 0°
2.已知非零向量a=(2,3,−1)和b=(4,λ,−2)互相垂直，则λ的值是( )
A. −6B. 6C. −103D. 103
3.若直线l1：ax+3y−6=0与直线l2：x+(a−2)y−2=0平行，则a=( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
4.已知点C的坐标为(1,1)，动点P满足|PC|=2 2，O为坐标原点，则|OP|的最大值为( )
A. 4 2B. 3 2C. 2 2D. 2
5.记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a8=16，则S13=( )
A. 13B. 45C. 104D. 130
6.曲线f(x)=x3+x2−2在点(−1,f(−1))处的切线方程为( )
A. y=x−1B. y=x+1C. y=x+3D. y=−x−1
7.下列求导运算正确的是( )
A. (e1−x)′=e1−xB. (cs3x)′=−sin3x
C. ( x−1)′=2 x−1D. (xlnx)′=1+lnx
8.用0、1、2、3、4这5个数字，组成无重复数字的五位数，其中偶数有( )
A. 36个B. 72个C. 48个D. 60个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C：x2a2−y23a2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若|F1F2|=2e(e为C的离心率)，则( )
A. a=1B. C的虚轴长为2 3
C. e= 2D. C的一条渐近线的斜率为 33
10.函数f(x)=(x−1)(x2+x+a)(a∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 当a=−2时，f(x)的极小值为f(−1)
B. y=f(x)+a为奇函数
C. 当−20)的下焦点为F(0,−2)，其离心率为 22．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F的直线与椭圆C交于P，Q两点(直线PQ与坐标轴不垂直)，过P，Q作y轴的垂线，垂足分别为M，N，若直线PN与QM交于点H，证明：点H的纵坐标为定值．
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+1，
(1)请证明{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn=(2n+1)(an+1)，求数列{bn}前n项的和Tn．
18.(本小题17分)
3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
(1)从中选出2名男生和2名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生互不相邻；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
19.(本小题17分)
设函数f(x)=lnx+a(x−1)(x−2)，其中a为实数．
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的极值点，求a的取值范围；
(3)设f(x)的两个不同的极值点为x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)>59+ln916．
参考答案
1.B
2.C
3.B
4.B
5.C
6.A
7.D
8.D
9.AB
10.BCD
11.ABD
12.2
13.12
14.18774
15.解：(1)以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
由AB=AC=1，PA=2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(012,1)，∴AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)，
设面DEF的法向量为n=(x,y,z)．
则y=0x=2z取z=1，则n=(2,0,1)，
设PA与平面DEF所成角为θ，则sinθ=|22 5|= 55．
(2)∵PF=(0,12,−1)，n=(2,0,1)，
∴点P到平面DEF的距离d=|PF⋅n||n|= 55．
16.
17.
18.
19.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a=1时，f′(x)=1x+(2x−3)=2x2−3x+1x，
令f′(x)=2x2−3x+1x=0，得x=12或x=1，
x∈(0,12)∪(1,+∞)时，f′(x)>0，x∈(12,1)时，f′(x)0x1x2=12a>0Δ=9a2−8a>0，解得a>89，
所以a的范围为(89,+∞)．
证明：(3)由(2)可知：因为f(x1)+f(x2)=ln(x1x2)+a(x12+x22)−3a(x1+x2)+4a
=ln(x1x2)+a[(x1+x2)2−2x1x2]−3a(x1+x2)+4a=−ln(2a)+74a−1，
设g(a)=−ln(2a)+74a−1，a>89，
则g′(a)=74−1a=7a−44a>0，故g(a)在(89,+∞)上单调递增，
又g(a)>g(89)=−ln169+59=59+ln916，
故f(x1)+f(x2)>59+ln916．