山西太原2024_2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]

这是一份山西太原2024_2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，为的导函数，则 ＝（ ）
A．1B．2C．D．
2．已知等比数列满足，，则（ ）
A．26B．78C．104D．130
3．在等差数列中，，则（ ）
A．8B．12C．16D．20
4．当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
5．已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A．27B．3C．1或3D．1或27
6．若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，则（ ）
A．函数的极大值点为
B．函数的极小值为2
C．过点作曲线的切线有两条
D．直线是曲线的一条切线
8．已知函数,且,其中是的导函数，则
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知在等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（ ）．
A．数列是等比数列
B．数列是递增数列
C．数列是等差数列
D．数列中，，，仍成等比数列
10．数列 满足，，数列的前n 项和为，则（ ）
A．是等比数列B．是等比数列
C．D．
11．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．存在，使得B．函数的递减区间是
C．任意，都有D．对任意两个正实数、，且，若，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．等差数列的前n项和为，若，则
13．设数列满足，，若数列的前n项之积为，则的值为 ．
14．定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则使得成立的x的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
16．设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
17．记为数列的前n项和.已知.
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值
18．已知数列，其前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若，设数列的前项和，求证：；
(3)若对恒成立，求实数的取值范围．
19．已知．
(1)求的单调区间；
(2)若，记，为函数的两个极值点，求的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【详解】；
，
故选B.
2．【正确答案】B
【详解】设等比数列公比为，
根据已知可得，，
所以，，解得，
所以，.
故选B.
3．【正确答案】B
【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，
则，所以.
故选B.
4．【正确答案】B
【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选B.
5．【正确答案】A
【详解】设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以（不合题意，舍去），
所以.
故选A.
6．【正确答案】D
【详解】的定义域为，，
要函数在上有极值，
则在上有零点，即在上有实数根.
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，函数单调递增，
则函数在上没有极值，
故.
故选D.
7．【正确答案】D
【详解】，令，解得或，
因为，；，；，；
所以在递增，递减，递增，
故的极大值点为，故A错误；
极小值为，故B错误；
设过的切线为，切点为，
所以，
则，
从而，
解得或，有三条切线，故C错误；
令，即，解得，
从而，即切线方程为，故D正确．
故选D.
8．【正确答案】A
【详解】分析：求出原函数的导函数，然后由f′（x）=2f（x），求出sinx与csx的关系，同时求出tanx的值，化简要求解的分式，最后把tanx的值代入即可．
详解：因为函数f（x）=sinx-csx，所以f′（x）=csx+sinx，
由f′（x）=2f（x），得：csx+sinx=2sinx-2csx，即3csx=sinx，
所以.
所以=.
故选A.
点睛：（1）本题主要考查求导和三角函数化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化计算能力.(2)解答本题的关键是=
.这里利用了“1”的变式，1=.
9．【正确答案】AC
【详解】为等比数列，且，，，，
对于A，，，是等比数列，故A正确；
对于B，，，，且，
是递减数列，故B错误；
对于C，设，则，
是等差数列，故C正确；
对于D，，，，因为，
故数列{}中，，，不成等比数列，故D错误.
故选AC.
10．【正确答案】BCD
【详解】对于AB，数列中，，，则，，
因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，，D正确.
故选BCD.
11．【正确答案】BCD
【详解】因为，定义域为，，
令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，，所以对任意，故正确、错误；令，则，，
令，
则．
在上为减函数，则，
令，由，得，
则，当时显然成立．
对任意两个正实数、，且，若，则正确，故正确．
故选BCD.
12．【正确答案】
结合已知条件，利用等差数列的求和公式求得公差，然后再由等差数列的通项公式，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以.
13．【正确答案】－1
【详解】因为，所以
所以数列是周期为3的数列
所以.
14．【正确答案】
【详解】
设，为偶函数
当时，
所以时，单调递减，且
时，单调递增，且
所以.
15．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
.
16．【正确答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
【方法总结】不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)或13，最小值为.
【详解】（1）由，得①，
所以②，
由②-①，得，
化简得，
所以数列是公差为1的等差数列.
（2）由（1）知数列的公差为1.
由，得，
解得.
所以，
所以当或13时，取得最小值，最小值为.
【关键点拨】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，当时，
所以，
即，所以，
即，所以，，，，， ，
累乘可得，又，所以，
当时也成立，所以；
（2）由（1）可得，
所以
；
（3）因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，
所以时，当时，当时，
即，
所以，所以，即实数的取值范围为；
19．【正确答案】(1)的单调减区间为，的单调增区间为
(2)
【详解】（1），（x＞0），令，则，
当时，，的单调减区间为．
当时，，的单调增区间为．
综上所述，的单调减区间为，的单调增区间为．
（2），，（x＞0），
∵，为两个极值点，∴有两个不等的正根，，
∴，，，，得，
，
令，（t＞1），得，
，因为t＞1，则，则，
∴在（1，＋∞）单调递减，∴，
即的取值范围为．