山西省太原市某校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析版）

这是一份山西省太原市某校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知，为的导函数，则 ＝（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】；
，
故答案选：B
2. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 26B. 78C. 104D. 130
【答案】B
【解析】设等比数列公比为，
根据已知可得，，
所以，，解得，
所以，.
故选：B.
3. 在等差数列中，，则（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 20
【答案】B
【解析】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，，
则，所以.
故选：B.
4. 当时，函数取得最大值，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．
故选：B.
5. 已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A. 27B. 3C. 1或3D. 1或27
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以（不合题意，舍去），
所以.
故选：A.
6. 若函数在上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的定义域为，，
要函数在上有极值，
则在上有零点，即在上有实数根.
令，
则，当且仅当时等号成立，
所以.
当时，，函数单调递增，
则函数在上没有极值，
故.
故选:D.
7. 已知函数，则（ ）
A. 函数的极大值点为
B. 函数极小值为2
C. 过点作曲线的切线有两条
D. 直线是曲线的一条切线
【答案】D
【解析】，令，解得或，
因为，；，；，；
所以在递增，递减，递增，
故的极大值点为，故A错误；
极小值为，故B错误；
设过的切线为，切点为，
所以，
则，
从而，
解得或，有三条切线，故C错误；
令，即，解得，
从而，
即切线方程为，故D正确．
故选：D.
8. 已知函数,且,其中是的导函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数f（x）=sinx-csx，所以f′（x）=csx+sinx，
由f′（x）=2f（x），得：csx+sinx=2sinx-2csx，即3csx=sinx，
所以.
所以=.
故答案为A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知在等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（ ）．
A. 数列是等比数列
B. 数列是递增数列
C. 数列是等差数列
D. 数列中，，，仍成等比数列
【答案】AC
【解析】为等比数列，且，，，，
对于A，，，是等比数列，故A正确；
对于B，，，，且，
是递减数列，故B错误；
对于C，设，则，
是等差数列，故C正确；
对于D，，，，因为，
故数列{}中，，，不成等比数列，故D错误.
故选：AC.
10. 数列 满足，，数列的前n 项和为，则（ ）
A. 是等比数列B. 是等比数列
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于AB，数列中，，，则，，
因此数列是以为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
11. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A. 存在，使得
B. 函数的递减区间是
C. 任意，都有
D. 对任意两个正实数、，且，若，则
【答案】BCD
【解析】因为，定义域为，，
令，则，所以函数在上单调递减；令，则，所以函数在上单调递增；所以函数，在处取得极小值也就是最小值，，所以对任意，故正确、错误；令，则，，
令，
则．
在上为减函数，则，
令，由，得，
则，当时显然成立．
对任意两个正实数、，且，若，则正确，故正确．
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 等差数列的前n项和为，若，则______
【答案】
【解析】设等差数列公差为，
因为，可得，解得，
所以.
故答案为：.
13. 设数列满足，，若数列的前n项之积为，则的值为_________．
【答案】－1
【解析】因为，所以
所以数列是周期为3的数列
所以
故答案为：
14. 定义在上的偶函数的导函数为,当时,,且，则使得成立的x的取值范围为__________________.
【答案】
【解析】
设，为偶函数
当时，
所以时，单调递减，且
时，单调递增，且
所以
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.）
15. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，
，①
，②
①②得，
，
16. 设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
解：（1）函数的定义域为，
又，
因为，故，
当时，；当时，；
所以的减区间为，增区间为.
（2）因为且的图与轴没有公共点，
所以的图象在轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得，
故即.
17. 记为数列的前n项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求的最小值.以及此时的n的值
解：（1）由，得①，
所以②，
由②-①，得，
化简得，
所以数列是公差为1的等差数列.
（2）由（1）知数列的公差为1.
由，得，
解得.
所以，
所以当或13时，取得最小值，最小值为.
18. 已知数列，其前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，设数列的前项和，求证：；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）因为，当时，
所以，
即，所以，
即，所以，，，，， ，
累乘可得，又，所以，
当时也成立，所以；
（2）由（1）可得，
所以
；
（3）因为对恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，
则，
所以时，当时，当时，
即，
所以，所以，即实数的取值范围为；
19. 已知．
（1）求的单调区间；
（2）若，记，为函数两个极值点，求的取值范围．
解：（1），（x＞0），令，则，
当时，，的单调减区间为．
当时，，的单调增区间为．
综上所述，的单调减区间为，的单调增区间为．
（2），，（x＞0），
∵，为两个极值点，∴有两个不等的正根，，
∴，，，，得，
，
令，（t＞1），得，
，因为t＞1，则，则，
∴在（1，＋∞）单调递减，∴，
即的取值范围为．