山西部分学校2024_2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]

这是一份山西部分学校2024_2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，展开式中项的系数为，已知复数，则下列命题正确的有，已知，则等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时问120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笀将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷，草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册（10%），选择性必修第一册，选择性必修第二册（40%），选择性必修第三册第六章（50%）.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.若是正整数，则（ ）
A. B. C. D.
3.的展开式中项的系数为（ ）
A.10 B.24 C.35 D.45
4.现有5个编号不同的小球和3个不同的盒子，若将小球全部放入盒子中，不同的方法有（ ）
A.243种 B.125种 C.60种 D.20种
5.由所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ）
A.360 B.280 C.156 D.150
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.展开式中项的系数为（ ）
A.40 B.60 C.80 D.120
8.已知直线的斜率为正，且，则符合上述条件的不同的直线条数为（ ）
A.40 B.20 C.17 D.15
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则下列命题正确的有（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知，则（ ）
A.曲线关于点对称
B.1是函数的极大值点
C.当时，
D.不等式的解集为
11.如图，在校长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，则下列命题正确的有（ ）
A.存在唯一有序实数对，使得
B.存在唯一有序实数对，使得
C.若，则点到平面的距离的最大值为2
D.若，则点的轨迹长度为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知为正整数，若，则__________.
13.若，则的值被4除的余数为__________.
14.某环保局派遣包括张三､李四､王五在内的12名工作人员到三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三､李四､王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有__________种.（结果用数字表示）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知在展开式中第二､三､四项的二项式系数成等差数列，且
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
16.（本小题满分15分）
已知数列满足，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，且为递增数列，求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
现从一副扑克牌中抽取红桃､红桃2､红桃3到红桃10､小王和大王共12张牌.
（1）从这12张牌中随机抽取3张，求红桃被抽到，且小王和大王只有一个被抽到的抽取方法共有多少种？
（2）从这12张牌中随机抽取3张，求小王和大王2张中至少有1张被抽到，且红桃没有被抽到的不同抽取方法共有多少种？
（3）将红桃5到红桃10这6张扑克牌摆成一排，使得红桃9和红桃10相邻，且红桃5、红桃6、红桃7恰有两张相邻，求不同的摆放方法共有多少种？
18.（本小题满分17分）
在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线的左､右焦点均为，且的离心率为，直线与交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点，且点为线段的中点，求直线的方程；
（3）若直线与直线的斜率之积为，证明：的面积为定值.
19.（本小题满分17分）
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.
（1）已知函数，求曲线在处的曲率的值；
（2）已知函数，求曲线在点处的曲率的最大值；
（3）对（2）中的，记，证明：在区间上有且仅有2个零点.
2024～2025学年第二学期高二3月夯基考·数学（A卷）
答案､提示及评分细则
1.D 由，得，所以，所以.故选D.
2.B 由，得.故选B.
3.C ，则展开式中项为，即项的系数为35.故选C.
4.A 由题知，每个小球有3种放法，所以5个小球的放置方式共有种.故选A.
5.C 若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，若个位上的数字为2或4，可以组成，故可以组成个符合条件的数.故选C.
6.B 因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，且在上，恒成立，所以，且，所以，即实数的取值范围为.故选B.
7.D 展开式中的项可以看成在5个因式中，有1个因式中取，剩下的4个因式中2个取个取相乘而得，即.所以展开式中项的系数为120.故选D.
8.C 因为直线的斜率为正，则，当时，的取值有2种取法，的取值有2种取法，的取值有5种取法，共有种取法，其中和和和表示同一条直线，故符合条件的直线共有条.当时，此时所得直线与时所得直线相同.故选C.
9.BC 对于A，取，显然满足，但，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，取，满足，但，所以，故D错误.故选BC.
10.ACD 由题意得曲线是由奇函数的图象向下平移1个单位长度而得，故曲线的对称中心为，故A正确；，易得在和上单调递增，在上单调递减，所以为的极大值点，1为的极小值点，故B错误；因为在上单调递减，当时，，所以，故C正确；由上知，易求，所以，
所以，故D正确.故选ACD.
11.ACD 以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，因为，则动点在侧面内（含边界）.设，则，，若存在，使得，
则，所以，即存在唯一点满足条件，故A正确；
易知与均垂直于平面，连接，则，若，则，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，同理可得，则点在以为圆心，1为半径的圆上（均为侧面内部分），两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示），故符合条件的点有两个，对应的有两组，故B错误；若，则点与三点共线，即在线段上，故当点在处时，到平面的距离最远，可求平面的法向量，故到平面的距离，故C正确；易求，所以，所以，故点在线段上（如图所示，其中分别为上靠近的四等分点），所以，故D正确.故选ACD.
12.7或3 由题知，或，且，解得或.
13.3 令，得，因为，所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，所以，又，故被4除余3.
14.18774 先分类讨论人员分组情况.当张三､李四､王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法；当张三､李四､王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法；当张三､李四､王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法；当张三､李四､王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法.再将三组人员分配到三个镇.因为这三组分配到三个地区有种方法，所以安排方法总数为.
15.解：（1）由题知，，
解得.
（2）由（1）知，
令，可得.
（3）由题意知，为的系数，
所以.
16.解：（1）由，得，所以，
所以，所以是以3为公比的等比数列，
又，所以.
（2）由（1）知，所以，
因为为递增数列，所以恒成立，
所以，即对任意正整数恒成立，
即，
因为为递增数列，所以，
所以，即实数的取值范围为.
17.解：（1）若小王和大王有且只有一个被抽到，其抽取方法有2种，
又红桃被抽到，则在剩余的9张牌中随机抽取1张，其抽取方法有9种，则不同的抽取方法共有种.
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①小王和大王2张都被抽到，且红桃没有被抽到，不同的抽取方法有种，
②小王和大王2张中有且只有1张被抽到，且红桃没有被抽到，不同的抽取方法有种.
则共有种不同的抽取方法.
（3）第一步：将红桃9和红桃10捆邨在一起有种方法，
第二步：将红桃5，红桃6，红桃7抽出2张捆邨在一起有种方法，
第三步：将红桃9，10组成的整体与红桃8排，共有中排法，
第四步：将红桃种组成的两部分插空到第三步排列形成的三个空中，有种，
故共有种.
18.（1）解：设，因为双曲线的方程为，
即，
所以，所以.
又，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）解：设，
因为点为线段的中点，所以.
联立解得或
所以或，
因为，代入的坐标得，
所以直线的方程为.
（3）证明：当轴时，，
由，得，
所以，又，
所以，
所以的面积为.
当与轴不垂直时，设直线，
由，得，
即，①
联立消去并整理，得
所以，即，
，
代入①，得，
所以
又点到直线的距离，
所以的面积为
，
即的面积为定值.
19.（1）解：，
所以.
（2）解：，
所以，
所以，
令，则，
设，则，
显然当时，单调递减，
所以，即的最大值为1，
所以的最大值.
（3）证明：由题知，
所以，
①当时，因为，
则，
所以在上单调递增.
又，
所以在上仅有1个零点.
②设，则，
当时，单调递增，
所以，故当时，，
又当时，，所以，
所以在上恒成立，
所以在上无零点.
③当时，，
所以在上单调递减，
又，
所以在上仅有1个零点.
综上所示，在区间上有且仅有2个零点.