山西省长治市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省长治市2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，若且，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册（60%），选择性必修第三册第六章（40%）.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线与直线平行，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则（ ）
A. B.2 C. D.4
3.某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境，第一天植树2000棵，以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天（即到3月13日结束）植树33800棵，则植树节（3月12日）这一天植树（ ）
A.3000棵 B.3100棵 C.3200棵 D.3300棵
4.将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（ ）
A.504 B.126 C.112 D.56
5.从中任取5个数字，记由这5个数字组成的无重复数字的五位数为，其中满足的五位数的个数为（ ）
A.126 B.756 C.1260 D.7560
6.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”.甲､乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街､冰雪大世界､圣索菲亚教堂､音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）
A.96种 B.132种 C.168种 D.204种
7.已知直线，圆，当圆心到直线的距离最小时，圆的周长为（ ）
A. B. C. D.
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题.用表示整数被整除，设且，若，则称与对模同余，记为.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若且，则（ ）
A. B.
C. D.
10.如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ）
A.若，则点的轨迹为线段
B.若，则点的轨迹为线段
C.存在，使得
D.存在，使得平面
11.已知抛物线的准线方程为为的焦点，过点的直线与交于两点，则（ ）
A.
B.若，则
C.为钝角
D.为定值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知男､女学生共6人，若从男生中任选2人，从女生中任选1人，共有12种不同的选法，则其中女生人数为__________人.
13.记为数列的前项和，为数列的前项积，若，且，则__________，当取得最小值时，__________.
14.若函数有两个零点，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知二项式且为常数的展开式中第7项是常数.
（1）求的值；
（2）若该二项式展开式中各项系数之和为1024，求展开式中的系数.
16.（本小题满分15分）
晚会上共有7个节目，其中有4个不同的歌唱节目，2个不同的舞蹈节目和1个相声节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单.
（1）其中舞蹈节目第一个出场，相声节目不能最后一个出场；
（2）2个舞蹈节目不相邻；
（3）前3个节目中既要有歌唱节目又要有舞蹈节目.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
18.（本小题满分17分）
如图，在平行六面体中，四边形与四边形均为菱形，.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
19.（本小题满分17分）
由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点的一点.
①当时，过分别作椭圆的两条切线，切点分别为，设直线的斜率为，证明：为定值；
②当时，若直线与交于两点，直线与交于两点，求的值.
2023~2024学年高二3月质量检测卷·数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 由题意可知，，所以.故选B.
2.C 双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以，所以.故选C.
3.B 由题意知，这13天中每天植树数量为等差数列，则，设数列的公差为，则，解得，所以.故选B.
4.D 将9个名额排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，有种方法.故选D.
5.B 第一步：从9个数中任取5个数，有种取法；第二步：将取出的5个数中最大的放中间数位，从余下的4个数字中取2个排在一端，余下的排在另一端，共有种排法，所以符合条件的五位数有个.故选B.
6.C 依题意可知，每个景点至少1人，至多3人，甲､乙都单独1人去一个景点，则有种.故选C.
7.A 圆化为，所以，故到的距离，当且仅当，即时等号成立，故此时圆的半径为，则圆的周长为.故选A.
8.D 由二项式定理，得
，因为能够被7整除，被7除余3，则，又2030除以7余0，2031除以7余1，2032除以7余2，2033除以7余3，所以.故选D.
9.BC 由组合数的性质知，故错误；因为，故，故B正确；由，得，故C正确；，故D错误.故选BC.
10.ABC 由，得点在侧面内（含边界），若，则，故点的轨迹为线段，故A正确；若，则，所以，即，又，故点的轨迹为线段，故B正确；分别取棱的中点，连接，由题意易证平面，当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确；若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在，使得平面，故D错误.故选.
11.ACD 由题意知，所以，则，设过点的动直线的方程为，代入，得，设，显然，则，则，当且仅当时等号成立，故正确；由得，，解得，所以，故B错误；
，所以为钝角，故C正确；
，为定值，故D正确.故选ACD.
12.2 设男生有人，则女生有人，由题意得，即，所以，所以，即其中女生人数为2人.
13.（2分）6（3分） 由题意知，因为，所以，故为公比为的等比数列，由得，，解得，所以，则，当取得最小值时，则为奇数，且取得最小值，所以.
14. 令，所以.
令，易得，则，令，则有两个零点等价于函数的图象与直线有两个交点.，当时，，当时，，即在，上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，则，解得，即实数的取值范围是.
15.解：（1）二项式的展开式中第7项为，
由题意得，解得.
（2）令，得，所以或，
解得，或（舍去）.
该二项式展开式通项为，令，解得，
故展开式中的系数为.
16.解：（1）按特殊位置或特殊元素优先安排的原则分3步：先排第1个节目，有种安排方法，再排最后一个节目，可以从余下的5个非相声节目中选一个排在最后，有种排法，最后余下的节目随便排，有种排法，由分步计数原理得共有种排法.
（2）先排非舞蹈节目，有种排法，将2个舞蹈节目插到6个空中，有种排法，故种排法.
（3）前3个节目共三种情况：一种为1个歌唱节目，2个舞蹈节目，有种排法，另外一种为2个歌唱节目，1个舞蹈节目，有种排法，最后一种为歌唱节目，舞蹈节目､相声节目各1个，有种排法，故共有种排法.
17.（1）解：的定义域为，
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：由（1）知，当时，.
要证明成立，只要证明，
即证.
令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
故当时，.
18.证明：（1）连接，因为四边形与四边形均为菱形，且，所以与均为等边三角形，
取的中点，连接，则，
设，则，
在中，由及余弦定理，得，
即，所以舍去.
所以，所以，
因为平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）由（1）可知，两两垂直，以为原点，以
所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
设，则，
.
设平面的一个法向量，
由得取，解得，故，
设平面的一个法向量，
由得取，解得，故，
所以，
设二面角的大小为，
所以.
19.（1）解：由题意知椭圆的长轴为，短轴长为2，故焦距为2，
椭圆的长轴为，短轴长为，焦距为，
由，得，所以，
所以椭圆的离心率为.
（2）①证明：由相似比知，，所以，故椭圆，
设，则直线的方程为，即，
设，则直线的方程为，
将其代入，得，
依题意得，
即，
将代入上式，得，
同理可得，，
所以为关于的方程的两根，
则，
又在椭圆上，则，所以，
故，为定值.
②解：由相似比知，，解得，故椭圆，其左､右顶点分别为
，恰好为椭圆的左､右焦点.
设，易知直线与直线的斜率均存在，且不为0，
所以，
又在椭圆上，则，即，
所以.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
设直线的方程为，
由得，
设，则，
所以
，
同理可得，，
故.