山西省汾阳市2024-2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]

这是一份山西省汾阳市2024-2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每题5分）
1. 函数的导函数在（ ）时取得最小值．
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用二次函数的基本性质可求出的最小值及其对应的的值.
【详解】因为，则，
所以，当时，函数取最小值.
故选：B.
2. 曲线 在点 处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
【正确答案】B
【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可
【详解】由，，所以过点切线方程为
答案选B
本题考查在曲线上某一点切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线导数表达式，求出，最终表示出切线方程
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求出，可得出的值，利用导数的概念可求得所求极限的值.
【详解】因为，则，所以，，
所以，.
故选：C.
4. 已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据函数图象，以及导数的几何意义，逐项判断即可.
【详解】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立；
由图可知，，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立；
由图可知，，故C成立；
由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立.
故选：B.
5. 某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为
A. 14B. 24C. 28D. 48
【正确答案】A
【详解】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，
故不同的选派方案种数为．故选A.
法二：从4男2女中选4人共有种选法，4名都是男生的选法有种，
故至少有1名女生的选派方案种数为-=15-1=14．故选A
6. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ）
A. 在区间上是减函数B. 在区间上是减函数
C. 在区间上是减函数D. 在区间上是减函数
【正确答案】B
【分析】求出函数的导数，结合图象求出函数的单调区间即可求解．
【详解】因为，
由图象知，时，，又，所以当时，，
即在上单调递减，
当时，，又，所以当时，，
即在上单调递增，所以选项A、C和D错误，选项B正确，
故选：B．
7. 设函数的导数为且，则的单调递增区间是
A. 和B.
C. D. 和
【正确答案】C
【分析】求函数的导数，先求出的值，然后求出函数以及的表达式，令解不等式即可得函数的增区间．
【详解】因为，所以，
所以，则，所以，
所以的定义域为，则.
令，则，即，
所以的单调递增区间为，故选C．
本题主要考查通过导数求函数的单调区间，结合函数的导数公式求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题.
8. 若函数有极值点，，且则关于x的方程的不同实根个数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正确答案】A
【分析】求导数，由题意知，是方程的两根，从而关于的方程有两个根，作出草图，由图象可得答案.
【详解】，，是方程的两根，
由，得或，
即的根为或的解．
∵根据题意画图：
，
由图象可知有2个解，有1个解，因此的不同实根个数为3.
故选：A．
本题主要考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想，属于中档题.
二、多选题（共3小题，每题6分，多选不得分）
9. 对于函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 在处取得极大值
C. 区间上单调递增D. 函数有个零点
【正确答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断BC选项；利用函数的单调性结合零点存在定理可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，故函数不是奇函数，A错；
对于BC选项，因为，令，可得，列表如下：
所以，函数在处取得极大值，在区间上单调递增，BC都对；
对于D选项，因为函数的极大值为，极小值为，
因为，，
所以，，，，
所以，函数有个零点，且这三个零点所在的区间分别为、、，D对.
故选：BCD.
10. 某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）
A. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有64种不同的选法
B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有15种不同的选法
C. 将这8名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320种
D. 8名学生排成一排，已知5名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有336种排法.
【正确答案】BCD
【分析】选项A可以看做从8个人中取2个人的排列；
选项B先从男生中选1个有种情况，再从女生中选1人有种情况，进而可得；
选项C先排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，进而可得；
选项D依次把3个女生插入队伍中，共有种.
【详解】选项A：从8个人中选2人，1人做正组长，1人做副组长选法共有种，故A错误；
选项B：从8个人中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人选法共有种，故B正确；
选项C：选排3位女生有种情况，再把3位女生看成1个人与5个男生一起排列有种情况，
共有种情况，故C正确；
选项D：8名学生排成一排，已知5名男生已排好，
先排第一个女生可以排5个男生中间的4个空或2头，有6种情况，
再排第二个女生可以排到排好的6个人中间的5个空或2头，有7种情况，
最后排第三个女生可以排到排好的7个人中间的6个空或2头，有8种情况，
共有种情况，故D正确，
故选：BCD
11. 关于函数，，下列说法不正确的是（ ）
A. 当时，在上单调递增B. 当时，恒成立
C. 当时，在上单调递增D. 当恒成立，则
【正确答案】AB
【分析】利用导数与函数的单调性可判断AC选项；当时，解不等式可判断B选项；由恒成立求出的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，解得，
故当时，函数的增区间为，A错；
对于B选项，当时，由可得，解得，B错；
对于C选项，当时，则对任意的恒成立，
此时，函数在上单调递增，C对；
对于D选项，当时，函数在上为增函数，，
此时不等式不恒成立；
当时，恒成立；
当时，由可得，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，可得，解得
综上所述，当恒成立，，D正确.
故选：AB.
方法点睛：求解函数不等式恒成立方法：
（1）分离参数法：若不等式在区间上恒成立，可将参数与变量分离，
转化为或在区间上恒成立问题；
（2）最值法；
（3）数形结合法：将函数恒成立问题转化为两个函数图像的位置关系问题；
（4）变更主元法：当函数中含有多个变量时，可根据具体情况选择一个变量作为主元，将问题转化为关于主元的函数恒成立问题；
（5）构造函数法.通过构造新函数，利用新函数的性质来解决原函数的恒成立问题.
第Ⅱ部分 选择题
三、填空题（共3小题，每题5分，13题对一个2分，全对得5分）
12. 函数导数为.则______．
【正确答案】
【分析】利用乘法求导法则求导
【详解】
故
13. 计算：
（1）______________.
（2）若，则值为______________.
【正确答案】 ①. 165 ②. 7
【分析】（1）由组合数性质,得到原式等于即165；（2），按照公式展开得到，可求得n值.
【详解】（1）由组合数性质，得.
（2）∵，∴，∴
故答案为(1). 165 (2). 7.
本题考查组合数公式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意组合数公式的性质的合理运用．较为基础.
14. 已知函数存在极大值和极小值，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】求导，由题意可得出，由此可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
因为函数存在极大值和极小值，则二次函数有两个不等的零点，
所以，，即，解得或，
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
【正确答案】（1）单调递增区间是：和，单调减区间是：；
（2）最小值为，最大值为.
【分析】（1）求导由，，可求单调区间；
（2）由（1）结合单调性即可求解；
【小问1详解】
由，
可得：，，
由f′x=2x−3x+1>0，可得：或；
由，可得：；
所以函数的单调递增区间是：和，
单调减区间是：；
【小问2详解】
由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增，
所以最小值为，
又，
所以最大值为.
所以函数在区间上的最小值为，最大值为.
16. 用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
【正确答案】（1）156个；（2）216个.
【分析】（1）偶数末位数字为当中的一个，因为不能放首位，可分为两大类，即末位为和或两种，分别计算出对应的数字个数，根据加法原理可得结果；（2）为的倍数的数字末位为或，分别计算对应的数字个数，根据加法原理可得结果.
【详解】(1)无重复数字的四位偶数可分为两大类：
个位数字为，共有：个
个位数字为或，共有：个
由分类加法计数原理知无重复数字的四位偶数共有：个
（2）符合题意的五位数可分两大类：
个位数字为，共有：个
个位数字为，共有：个
由分类加法计数原理知满足题意的五位数共有：个
本题考查分类加法计数原理、排列组合知识的综合应用问题，易错点是忽略零不能排在首位的问题.
17. 已知曲线.
（1）求在处的切线方程.
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程；
（2）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数的取值范围.
【小问1详解】
因为，
所以，，即切点为，
又，所以切线方程为，即；
【小问2详解】
因为，
函数有两个零点，
相当于曲线与直线有两个交点，
又，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以时，取得极小值，
又时，，且当时，，
所以的图象如下所示：
由图可得实数的取值范围为．
18. 设函数f（x）＝tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．
（Ⅰ）求f （x）的最小值h（t）；
（Ⅱ）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．
【正确答案】（Ⅰ）h（t）＝﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）m＞1．
【分析】（Ⅰ）由f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），根据配方法即可求出最小值；
（Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m，对其求导后讨论即可得出答案．
【详解】解：（Ⅰ）∵f（x）＝t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），
∴当x＝﹣t时，f（x）取最小值f（﹣t）＝﹣t3+t﹣1，
即h（t）＝﹣t3+t﹣1；
（Ⅱ）令g（t）＝h（t）﹣（﹣2t+m）＝﹣t3+3t﹣1﹣m，
由g′（t）＝﹣3t2+3＝0得t＝1，t＝﹣1（不合题意，舍去）
当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：
∴g（t）在（0，2）内有最大值g（1）＝1﹣m
h（t）＜﹣2t+m在（0，2）内恒成立等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成立，
即等价于1﹣m＜0
所以m的取值范围为m＞1．
本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，难度一般，掌握运用数学知识分析问题解决问题的能力．
19. 已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明．
【正确答案】（1）当时，在处取得的极大值；函数无极小值. （2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）求出，令求得 的范围，可得函数增区间，令求得 的范围，可得函数的减区间，从而可得函数的极值；（2）对进行讨论：，，，，针对以上四种情况，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性讨论函数有两个零点情况，排除不是两个零点的情况，可得有两个零点时，的取值范围是，由（1）知在单调递减，故只需证明即可，又，只需利用导数证明即可.
试题解析：（1）由得，
当时，，若；若 ，
故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.
（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.
当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.
当时，，则仅有一个零点.
当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.
综上，有两个零点时，的取值范围是.
两零点分别区间和内，不妨设.
欲证，需证明，
又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.
，
又，
所以，
令，则，
则在上单调递减，所以，即，
所以.
增
极大值
减
极小值
增
t
（0，1）
1
（1，2）
g′（t）
+
0
﹣
g（t）
递增
极大值1﹣m
递减