江西省上饶市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效．
3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．
4．本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解不等式组，化简集合，再利用交集的运算即可求得.
【详解】由得，解得，故，
又因为，所以，
故选：C.
2. 已知数列是等差数列，若，则（ ）
A. 14B. 21C. 28D. 42
【答案】B
【解析】
【分析】由等差中项的性质即可求解.
【详解】因为数列是等差数列，所以，解得，
所以.
故选：B.
3. “”是“且”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过特例说明充分性不成立，根据不等式的性质说明必要性是成立的.
【详解】可令，，，则满足，但“且”不成立，所以“”不是“且”的充分条件；
根据不等式的性质：由且，可得：.所以“”是“且”的必要条件.
故选：A
4. 设为上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. 12B. C. 13D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据为上的奇函数，求出.
【详解】因为为上的奇函数，所以，，
所以.
故选：C
5. 函数的导数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助导数公式计算即可得.
【详解】，则.
故选：A.
6. 已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析】根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解.
【详解】由题意可得：，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
7. 已知，，，则a，b，c大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造，，求导，结合函数单调性分析，即可判断.
【详解】令，则，
令，有，令，有，
故函数在单调递增，在单调递减，
故，即，，
令，则，
令，有，令，有，
故函数在单调递增，在单调递减，
故，即，，
综上：.
故选：C
8. 意大利数学家斐波那契（1175年~1250年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.设是不等式的正整数解，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】将不等式化为，即，再根据斐波那契数列为递增数列，进而可得答案.
【详解】由，
得，
得，得，
得，，
所以，
令，则数列即为斐波那契数列，
，则，
因为函数都是增函数，
所以函数是增函数，
故数列为递增数列且，
所以数列亦为递增数列，
由，得，，，
，，，
因为，，
所以使得成立的的最小值为8．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据斐波那契数列的通项公式，利用对数知识将不等式化为斐波那契数列进行求解是本题解题关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 函数在上单调递增B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极大值D. 函数有最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可得的单调性，进而逐项分析判断.
【详解】由题意可知：当时，（不恒为0）；
当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增.
可知：A错误；B正确；
且函数在处取得极大值，故C正确；
虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；
故选：BC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 设已知随机变量满足，则
B. 若，则
C. 若，设，则
D. 若事件相互独立且，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据期望的性质，可判定A正确；结合二项分布方差的公式，可判定B错误；根据正态分布曲线的对称性，可得判定C正确；根据条件概率的计算公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B错误；
对于C中，由，所以，所以C正确；
对于D中，因为相互独立，所以，
且，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的单调递增区间是
B. 的值域为
C.
D 若，，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】对于，求出导函数，由导函数的正负即可判断单调性；对于，由的单调性即可求解值域；对于，计算，即可计算；对于，变形，由，的范围即可证.
【详解】的定义域为，
在定义域上恒成立，
所以的单调递增区间为，，故错误；
当趋近于0时，趋于，
当趋近于1，且在1的左侧时，趋于，
所以的值域为，故正确；
，
所以，
又，
所以，故错误；
，
因为，所以，又，
所以，即，故正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：函数的单调区间不能用并集符号，要用“和”或“，”连接.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 某种产品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
根据上表数据得到关于的经验回归方程，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求样本中心点,再由过,计算可得 .
【详解】可得样本中心点
过,可得,所以.
故答案为: .
13. 若是奇函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到，即可求出的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质，求出的值，即可得到结果.
【详解】因为是奇函数，
定义域关于原点对称，
由可得，
1
3
4
5
7
15
20
30
40
45
所以且，
所以，解得，
所以函数定义域为，
则，即，解得，
此时，
符合题意，
所以.
故答案为：.
14. 数列中，，．设是函数（且）的极值点．若表示不超过x的最大整数，则______．
【答案】1011
【解析】
【分析】根据题意可求出，由裂项相消法求得代数式和等于，根据的定义即可求出答案.
【详解】，又是的极值点，所以，即，
又，所以，即．
数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故．
故，
所以
．
故答案为：1011
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求，；
（2）求的单调区间和极值.
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，，单调递减区间为；极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）计算出，求导，根据切线斜率得到方程，求出的值；
（2）在（1）的基础上，解不等式，得到函数单调区间和极值.
【小问1详解】
定义域为，，
将点代入中，
，∴.
所以，解得
【小问2详解】
，
，
的单调递增区间为，，单调递减区间为；
的极大值为，极小值为.
16. 求下列函数的最值．
（1）求函数的最小值．
（2）已知，求函数的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最小值；
（2）将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最大值.
【小问1详解】
，，而，
当且仅当，即当时，该函数取得最小值；
【小问2详解】
，，则，
当且仅当时，即当时，该函数取得最大值.
17. 已知数列的前n项和为，且
（1）求数列的通项公式；
2
＋
0
－
0
＋
极大值
极小值
（2）若，求数列的前n项和
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用数列的递推关系求出数列是公比为3的等比数列，即可求出数列的通项公式,
（2）求出，再由错位相减法求出数列的前n项和
【小问1详解】
当时，，得，
当时，，得，
数列是公比为3的等比数列，
;
【小问2详解】
由（1）得：，
又①
②
两式相减得：，
故，
.
18. 二手车经销商小王对其所经营的型号二手汽车的使用年数与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：
使用年数
下面是关于的折线图：
（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）求关于的回归方程并预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约为多少？（、小数点后保留两位有效数字）
（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于元，请根据（2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？
参考数据：
，，，
，，
，，.
参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，.
，、为样本平均值.
【答案】（1）；（2）万元；（3）年.
【解析】
售价
【分析】（1）根据题中所给公式，计算出关于的相关系数，利用相关系数的绝对值来说明关于线性相关性的强弱；
（2）利用最小二乘法公式计算出关于的回归方程，再由可得出关于的回归方程为，再将代入回归方程得出的值，可得出结果；
（3）令，得出，解出的取值范围，可得出二手车时车辆的使用年数不得超过的年数.
【详解】（1）由题意，计算，
，
且，，，
所以，
所以与的相关系数大约为，说明与的线性相关程度很高；
（2）利用最小二乘估计公式计算
，
所以，
所以关于的线性回归方程是，
又，所以关于的回归方程是.
令，解得，即预测某辆型号二手车当使用年数为年时售价约万元；
（3）当时，，
所以，解得，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过年．
【点睛】本题考查相关系数的计算、非线性回归方程的求解以及回归方程的应用，解题时要理解最小二乘法公式及其应用，考查计算能力，属于中等题.
19. 函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；
（3）盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后对分类讨论即可得；
（2）借助斜率公式表示出后化简，可转化为证明，借助换元法令，构造函数，结合（1）问中所的即可得解；
（3）借助概率公式可得，借助放缩法可得，结合（2）中所得可得，即可得证.
【小问1详解】
定义域为，，
对于方程，，
当，即时，，，在上单增，
当，即或时，方程有两不等根，
，，而，，
所以当时，，在上恒成立，在上单增；
当时，，或时，，时，，
所以在和上单增，在上单减，
综上，当时，在上单增；
当时，在和上单增，
在上单减；
【小问2详解】
，
所以要证，即证，即证，
也即证（*）成立．
设，函数，由（1）知在上单增，且，
所以时，，所以（*）成立，原不等式得证；
【小问3详解】
由题可得，
因为，，…，，
所以，
又由（2）知，，
取，有，
即，即，
所以．
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得出后，借助（2）问中所得，取，代入可得，即可得解.