2022-2023学年江西省上饶市六校高二（下）联考数学试卷（5月份）（含解析）

2022-2023学年江西省上饶市六校高二（下）联考数学试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知数列满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知命题：，，若为假命题，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数且的图象恒过定点，若点的坐标满足关于，的方程，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线直到年，雅各布伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案年他的弟弟约翰伯努利和莱布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式一双曲余弦函数：，为自然对数的底数当，时，记，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知数列，，，若数列的前项和为，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  设实数，，为自然对数的底数，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设等差数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的是(    )

A. 数列为单增数列 B. 数列为单减数列
C. 对任意正整数，都有 D. 对任意正整数，都有

10.  是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法中错误的是(    )

A. 的单调递增区间为
B.
C. 的最大值为
D. 的解集为

11.  如图，正方体的棱长为，点为的中点，下列说法正确的是(    )

A.
B. 平面
C. 点到平面的距离为
D. 与平面所成角的正弦值为

12.  已知关于的方程有且仅有两解，，且，则(    )

A. 函数与的图象有唯一公共点
B.
C. ，
D. 存在唯一满足题意，且

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知幂函数在上为单调减函数，则实数的值为______ ．

14.  已知函数，的最大值为，最小值为，则 ______ ．

15.  函数在区间上有最大值，则的取值范围是        ．

16.  已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为，则椭圆的离心率为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知集合，，．
若，求集合；
在，两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题：，命题：______，求使是的必要非充分条件的的取值范围．

18.  本小题分
已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为．
求数列的通项公式；
若，求数列前项和．

19.  本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：；
已知是边长为的等边三角形，已知点在棱的中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．

20.  本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围．

21.  本小题分
已知坐标原点为，抛物线为：与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为．
求抛物线的方程；
已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．

22.  本小题分
已知函数，．
若直线与曲线相切，求的值；
用表示，中的最小值，讨论函数的零点个数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由得：，即；
由得，即，则；
．
故选：．
先解一元二次不等式及对数不等式求解集合，，再利用交集的定义求解结果．
本题考查一元二次不等式、对数不等式以及交集相关知识，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为数列满足，，
则，，，
以此类推可知，，因此，．
故选：．
写出数列的前项，可得出数列为周期数列，利用数列的周期性可求得的值．
本题主要考查数列递推式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为命题：，，
所以：，，
又因为为假命题，所以为真命题，
即，恒成立，
所以，即，
解得．
故选：．
先由为假命题，得出为真命题，即，恒成立，由，即可求出实数的取值范围．
本题主要考查了符合命题真假关系的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为函数图象恒过定点，
又点的坐标满足关于，的方程，
所以，
即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
故选：．
根据对数函数的定点确定，从而代入并利用均值不等式即可得解．
本题考查了对数函数的性质，重点考查了均值不等式，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：当，时，，其定义域为，所以，则为偶函数，
所以，
又当时，恒成立，所以在上单调递增，
又，，所以，则，故．
故选：．
确定双曲余弦函数的奇偶性与单调性，根据指对幂大小关系，即可得，，的大小关系．
本题主要考查函数值大小的比较，考查函数的奇偶性与单调性的综合，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：是定义在上的奇函数，可得，；
当时，，为增函数，可得；
则时，，
所以在的值域为．
函数的对称轴为，
则在的值域为，即．
由任意，存在，使得，
可得，即，
即有，
解得．
故选：．
由奇函数的定义和性质，结合指数函数的单调性求得在的值域，由二次函数的性质可得在的值域，再由题意可得，解不等式可得所求取值范围．
本题考查函数的奇偶性的定义和性质、运用，以及不等式恒成立问题、存在性问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，可得，
两边取倒数，可得，
即有，
则，
即有，
，
所以．
故选：．
由原数列的递推式可得，两边取倒数，再两边同时减去，结合等比数列的定义和通项公式，由数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，，．
令，式可化为
则恒成立，
在上单调递增，
，即，
故选：．
，可等价转化为，令，求导分析其单调性，可得，整理可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想、构造函数思想及逻辑推理能力与运算求解能力，是一道好题，属于难题．
 

9.【答案】 

【解析】解：在等差数列中，因为，，
可得，，
即且，即且，
所以，，且，此时数列为递减数列，
可得对任意正整数，都有
故选：．
根据题意求得且，得到，，且，即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，当时，，
又由为偶函数，则的草图如图：
由此分析选项：
对于，的单调递增区间为，A正确；
对于，在区间上，为减函数，则有，B错误；
对于，的最大值为，C正确；
对于，的解集为，D错误；
故选：．
根据题意，由函数的奇偶性和解析式作出函数的草图，由此分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项，因为四边形是正方形，所以，
连接、，在正方体中，平面，平面，所以，
因为、平面，，所以平面，又平面，所以，
故A正确；
对于选项，在正方体中，，且与平面相交，故FG与平面不平行，
故B错误；
对于选项，连接、交于，在正方体中，平面，又平面，
所以，
因为四边形是正方形，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
所以点到平面的距离即为点到平面的距离，即为，
又正方体棱长为，则，则点到平面的距离为，
故C正确；
对于选项，取中点，连接、，
因为四边形是正方形，点为的中点，
所以，因为平面，所以平面，
又平面，所以，所以与平面所成角即为，则
，
则与平面所成角的正弦值为，
故D正确．
故选：．
对于选项，通过证明平面，推出，判断；
对于选项，通过，且与平面相交，判断；
对于选项，连接、交于，说明点到平面的距离即为点到平面的距离，即为，
然后转化求解即可判断；
对于选项，取中点，连接、，说明与平面所成角即为，转化求解即可判断；
本题考查直线与平面所成角的求法，空间点、线、面距离的求法，直线与平面的位置关系的应用，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，若关于的方程有且仅有两解，，
则和的图象有且仅有两个交点，
作出和的草图如下图所示：

易知，当，即时，
函数与的图象相切于唯一公共点，A正确；
对于，，，可知，
所以，所以，即，所以，B错误；
对于，设，，
由图可知：与相切于点，
所以有，即，即，
设，则，
所以在上是增函数，，，
所以，使得，即，
即，又，所以，C正确；
对于，，，
设，，
当时，，
所以在上是增函数，
因为，，
所以，且唯一，D正确．
故选：．
由函数图象可判断A正确；
由，所以，即，所以可判断；
由零点存在性定理可判断；
由，根据函数的单调性可知，可判断．
本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：为幂函数，
则，解得，
当时，，在上单调递增，不符合题意，舍去，
当时，，在上单调递减，符合题意，
综上所述，的值为．
故答案为：．
根据已知条件，结合幂函数的定义，以及函数的单调性，即可求解．
本题主要考查幂函数的定义，以及函数的单调性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，且，
，
所以为奇函数，且在上连续，
根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，
则，故．
故答案为：．
构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果．
本题考查了函数的奇偶性，构造函数是关键，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
令解得；令，解得或，
由此可得在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处有极大值，在处有极小值，
，即，解得，
即的取值范围是．
故答案为：．
求函数导数，研究函数单调性，判断其取最大值的位置，由于函数在区间上有最大值，故最大值对应的横坐标应在区间内，由此可以得到参数的不等式，解不等式即可得到的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由已知及平面几何知识得：圆心、在的角平分线上，如图，
设圆、与轴的切点分别为，，
由平面几何知识得，直线为两圆的公切线，切点也在的角平分线上，
所以，
由椭圆的定义知，则，
有，，
，
，
又圆与圆的面积之比为，所以圆与圆的半径之比为：，
因为，所以，
即，整理得，
故椭圆的离心率．
故答案为：．
设圆、与轴的切点分别为，，圆心，在的角平分线上，从而切点也在的角平分线上，所以，由切线的性质求得，，由圆面积比得半径比，然后由相似形得出，的关系式，从而求得离心率．
本题考查椭圆性质的应用及角平分线性质的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：由及得；
解得
所以
又，
所以．
若选B：
由．
得，

；
由是的必要非充分条件，得集合是集合的真子集．
．
若选C：由．
得；
．
由是的必要非充分条件，得集合是集合的真子集
，
即． 

【解析】本题考查交集的运算，不等式的求解，充分、必要条件的判定，属于中档题．
代入求出集合，进而求出结论；
若选B，求出，再根据范围的大小即可求出的取值范围；同样的方法求出选C时对应的的取值范围．
 

18.【答案】解：关于的不等式的解集为，
，是方程的两根，
则，，
解得，，
则，
即；
由得，则，
数列前项和为，
，
由得，
故． 

【解析】利用根与系数的关系可得，，即可得出答案；
利用错位相减法求和，即可得出答案．
本题考查等差数列和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：，为的中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，；
取的中点，
因为为等边三角形，所以，
过作，与交于，则，
由可知平面，
因为，平面，所以，，
所以，，两两垂直，
所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，因为，．
所以，取，
因为二面角的大小为，
所以，解得，
所以． 

【解析】证明，结合平面平面，平推出平面，然后证明；
根据线面关系，建立空间直角坐标系，利用二面角的余弦值的坐标运算求得锥体的高度，即可求得三棱锥的体积．
本题考查线面垂直的判定定理与性质，向量法求解二面角问题，三棱锥的体积的求解，属中档题．
 

20.【答案】解：，
，且，
令，得，，
当时，令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，得；令，得，
故在上单调递减，在和上单调递增；
当时，，
故在上单调递增；
当时，令，得；令，得；
故在上单调递减，在和上单调递增．
，，
又恒成立，即恒成立，
等价于，
令，
，
令，得．
令，则，当时，，单增，当时，，单减，所以，即
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，
． 

【解析】求出，令，解出两根，，再分与的大小进行讨论；将代入，将表示出来，再求函数的最值．
函数的增减区间即是导数大小于零的解集定义域内；利用导数求参时，将所求参数表示成的函数，就是求这个函数的最值．
 

21.【答案】解：由双曲线，双曲线的上焦点，
联立，化为，
，
解得，舍去，
的面积为，
，，
解得，
抛物线为：．
设过点作抛物线的切线方程为，
代入抛物线方程化为，
令，
解得或，
取，，
，
直线的方程为，
化为：，
点到直线的距离，
．
切线，的方程分别为：，，
分别令，解得，．
，
，
． 

【解析】联立，化为，解得，根据的面积为，解得设过点作抛物线的切线方程为，代入抛物线方程化为，令，解得，可得点，坐标，可得与直线的方程，进而得出由切线，的方程分别令，解得，，可得，，进而得出．
本题考查了抛物线与双曲线的相交问题、直线与抛物线相切问题、切线方程、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 

22.【答案】解：设切点为，
，，得，
直线与曲线相切，
，得，，
；
当时，，，在上无零点；
当时，，．
若，，此时，是的一个零点，
若，，此时，不是的零点；
当时，，此时的零点即为的零点．
令，得，令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，且当时，，
若，即时，在上无零点，即在上无零点；
若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点；
若，即时，在上有两个零点，即在上有两个零点；
若，即时，在上有一个零点，即在上有一个零点．
综上所述，当或时，在上有唯一零点；
当或时，在上有两个零点；
当时，在上有三个零点． 

【解析】设切点为，由题意列关于与的方程组，求解得答案；
当时，，在上无零点；当时，，，然后根据与的大小分析；当时，，此时的零点即为的零点．令，得，令，利用导数求最值，再对分类分析得答案
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，考查分类讨论思想，属难题．